2019年高考复习题提升练习之数学考点讲解与真题分析-函数

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析

01指数函数复习指导

一重难点：

1、指数鬲的运算性质：特别注意式中a>Q,h>0这一重要条件，显然，对XeR,下面

的运算就是错误的：（/）5=,这是因为，朽=户=x只有当xNO时才能使

用,当X<（）时，Vp-=-X

2.指数函数的图像：指数函数图像都在x轴上方，印证值域是（0,+8）,需要记住图像方

便解题。当a>1时，a的值越大，图像越靠近V轴，递增的速度越快，•当（）<“<1时，a

的值越小，图像越靠近y轴，递减的速度越快。多个指数函数在同一直角坐标系中的图像

的相对位置与底数大小的关系：在y轴的右侧，图像从下到上相应的底数由小变大；在y

轴的左侧，图像从上到下相应的底数由小变大；即在y轴的左侧或右侧，底数按逆时针方

向变大。

3.指数函数的性质：（1）定义域为全体实数（-8,+00）；（2）值域为正实数（0,+8）,从

而指数函数没有最大值与最小值，但y>0；（3）单调性：当。>1时为增函数；当0<a<1

时为减函数；（4）无奇偶性，是非奇非偶函数。（5）对称性丁=优与丫=尸的图像关

于y轴对称；y=优与y=-优的图像关于X轴对称；y=优与y=-d'的图像关于坐标

原点*t称；（6）有两个特殊点：零点（0,1）,不变点（1,a）.

二.方法策略注意点

1.判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y="（。〉0且。*1）这一

结构。

2,、分数指数黑与根式的运算：在进行根式运算时，常常转化为分式指数鬲的运算，求值

时一般要遵循先化简再计算的原则，运算中要注意运算顺序和灵活运用公式及运算法则，

结果要化为根式。

解既含有分数指数幕、又含有根式的问题时，应该把根式统一化为分数指数鬲的形式，这

样便于运算，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示。

在进行指数运算时，还应注意平方差公式及立方和、立方差公式的应用，对于带有附加条

件的求值问题，应注意运用整体代入的思想。在分数指数幕中，要特别注意«>0的规定。

3.利用性质比较函数值的大小：指数函数的单调性常用来比较两个实数的大小，对底数相

同，事指数不同的两个实数，可直接利用指数函数的单调性；对底数不同，鬲指数相同的

两个实数（实质上是我们以后要学习的黑函数），可利用图象法；对底数不同，黑指数也

不同的两个实数，可利用中间数值搭桥法。

4.要分清VF与既）"的不同含义，对于后者，利用姬"a（n>1,〃eN*）进行计算；

对于前者，要注意n是奇数还是偶数，即利用下列等式："=[“'〃"巴。

[|。|,〃为偶数

指数函数是一个基本初等函数。试题往往把指数函数与对数函数、抽象函数、函数性

质等结合起来进行考查，在解决指数函数问题时要善于从函数的总体知识出发。

三指数函数典例剖析

例1、函数/（幻=<弓）""'4，贝i」/（iog23）=（）

/（x+l）,x<4

例2、已知函数/(x)=2'-2,则函数y="(x)|的图像可能是()

1]0

例3、已知函数/(x)=为R上的单调函数，则实数a的取值范围是

.(a+2)e",x<0

()

A、[-1,0)B、(0,+8)C,(-2,0)D、(-«>-2)

四指数函数综合性问题求解策略

1.等价转化

例1(2018斗门一中高三)已知定义域为R的函数/(尤)=善且是奇函数

(I)求。力的值；(n)若对任意的reR,不等式/(r-2。+/(2/-Q<0恒成立，

求k的取值范围；

2.分离参数策略

例2(2018江苏•泰州实验)已知函数/(x)=«|v|-4(其中a>0且aH1,a为实数常

a

数).

(1)若/。)=2，求x的值(用。表示)；

(2)若a>1,且"/⑵)+mf(t)»0对于X［1,2］恒成立，求实数初的取值范围(用a表

示).

3.合理换元

例3(2018山东潍坊)定义在［一1,1］上的奇函数/(x)，当一l〈x<0时，/(*)=—I币,

(1)求/(幻在(0,1］上的解析式

(2.)/")在(0,1］上的单调性

(3)当xe(O,l］时，关于x的方程‘--2、+2=0有解,试求力的取值范围

f(x)

五走进高考

_e_4

1.(2018年新课标II理)函数｛X)=丛的图象大致为()一

2（2015•四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关

系y=（e=2.718…为自然对数的底数，k,b为常数）.若该食品在的保鲜时间

是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是_____。

六测试题

一.选择题

1.函数的值域为（）

A.[2,+oo）B.[1,+oo）C.（0,+oo）D.（0,1]

2.某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y=10e”,其中

k为常数，t表示时间（单位：小时），y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达

到的个数为（）

A.640B.1280C.2560D.5120

(2-Q)x+1

3.已知fM=<满足对任意“孙都有以隼詈＞。成立，

axm

那么a的取值范围是（）o

11]3

A.L-,2]B.[-,2)C.(-,2)D.-,2

4.函数£「)=2卜+”2>0,29)的值域为口，+8)，则f(-4)与f(l)的关系

是(.)

A.f(-4)>f(1)B.f(,-4)=f(1),C.f(-4)<f(1)D.不

能确定

二.填空题

5.函数y=,16-4、的值域是

6.函数,=（5，1的增区间为

三解答题

7.已知函数/（无

2X

2

⑴若/5)=2+齐,求x的值；

(2)若2/⑵)+时(。20对于任意实数y1,2］恒成立，求实数m的取值范围.

8.设awR,/(x)为奇函数，f(2x)=----------.

4+1

(1)写出函数/(x)的定义域；(2)求。，并写出f(x)的表达式；

(3)用函数单调性定义证明：函数/(X)在定义域上是增函数.

(可能用到的知识：若X<%，贝110<2*<2应,0<甲<4*)

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析

01指数函数复习指导

一重难点：

1、指数鬲的运算性质：特别注意式中a>Q,b>0这一重要条件，显然，对xeR,下面

的运算就是错误的：(/)2=x,这是因为，G=/=X只有当x20时才能使

用，当X<()时，=-X.

2.指数函数的图像：指数函数图像都在x轴上方，印证值域是(0,+8),需要记住图像方

便解题。当a>1时，a的值越大，图像越靠近y轴，递增的速度越快，•当0<a<1时，a

的值越小，图像越靠近y轴，递减的速度越快。多个指数函数在同一直角坐标系中的图像

的相对位置与底数大小的关系：在V轴的右侧，图像从下到上相应的底数由小变大；在y

轴的左侧，图像从上到下相应的底数由小变大；即在y轴的左侧或右侧，底数按逆时针方

向变大。

3.指数函数的性质：(1)定义域为全体实数(-8,3)；(2)值域为正实数(0,+8),从

而指数函数没有最大值与最小值，但y>0；(3)单调性：当a>1时为增函数；当()<a<1

时为减函数；(4)无奇偶性，是非奇非偶函数。(5)对称性y=优与y=的图像关

于y轴对称；y=优与y=-优的图像关于X轴对称；y=优与y=-「的图像关于坐标

原点对称；(6)有两个特殊点：零点(0,1),不变点(1,a).

二.方法策略注意点

1.判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y=a'(。>0且。工1)这一

结构。

2、分数指数事与根式的运算：在进行根式运算时，常常转化为分式指数幕的运算，求值。

时一般要遵循先化简再计算的原则，运算中要注意运算顺序和灵活运用公式及运算法则，

结果要化为根式。

解既含有分数指数幕、又含有根式的问题时，应该把根式统一化为分数指数鬲的形式，这

样便于运算，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示。

在进行指数运算时，还应注意平方差公式及立方和、立方差公式的应用，对于带有附加条

件的求值问题，应注意运用整体代入的思想。在分数指数幕中，要特别注意«>0的规定。

3.利用性质比较函数值的大小：指数函数的单调性常用来比较两个实数的大小，对底数相

同，幕指数不同的两个实数，可直接利用指数函数的单调性；对底数不同，鬲指数相同的

两个实数（实质上是我们以后要学习的幕函数），可利用图象法；对底数不同，幕指数也

不同的两个实数，可利用中间数值搭桥法。，

4.要分清VF与既）"的不同含义，对于后者，利用姬"a（n>1,〃eN*）进行计算；

对于前者，要注意n是奇数还是偶数，即利用下列等式："=[“'〃"巴。

[|。|,〃为偶数

指数函数是一个基本初等函数。试题往往把指数函数与对数函数、抽象函数、函数性

质等结合起来进行考查，在解决指数函数问题时要善于从函数的总体知识出发。

三指数函数典例剖析

例1、函数/（幻=<弓）""'4，贝i」/（iog23）=（）

/（x+l）,x<4

分析：根据函数值的递推关系，把所求的函数值转化为定义域在[4,+8)上的函数值

的计算，再根据指数与对数的关系进行计算。

例2、已知函数〃x)=2,—2,则函数y="(x)|的图像可能是()

分析：首先确定函数/(%)=2'-2的图像，然后把函数f(x)的图像中位于x轴下方

的部分翻折到x轴上方即可

例3、已知函数/(x)=fA"+1，X-0为R上的单调函数，则实数a的取值范围是

[(a+2)eax,x<0

()

A.[-1,0)B、(0,+oo)C.(-2,0)D、(-00,-2)

分析：分情况进行讨论，根据分段函数单调性，如在两端上具有相同的单调性时，还

要确定在定义域的分界点处的函数值的大小，列出不等式组即可求得a的取值范围。

解：若a=0,则f(x)在定义域的两个区间内都是常数函数，不具备单调性；若a>0,

函数f(x)在两段上都是单调递增的，要想使函数在R上单调递增，只要(a+2)e°W1,

即。4-1,与a>0矛盾，此时无解；若-2<a<0,在函数在定义域的两段上都是单调递减

的，要想使函数在R上单调递减，只要。+221,即a2-1即可让匕时一14a<0;当。4一2

时，函数f(x)不可能在R上单调。综上所述,a的取值范围是一1,0),故选A.

点评：在判断、求分段函数的单调区间时，应进行分段求解，若不是连续的单调区间，

要分开表达，不能将它们用并集的形式表述。

四指数函数综合性问题求解策略

1.等价转化

例1(2018斗门一中高三)已知定义域为R的函数/(%)=—是奇函数..…

(I)求。力的值；(n)若对任意的feR,不等式.“产—2f)+F(2产—幻<0恒成立，

求k的取值范围；

分析：综合考查指数函数的运算性质及函数的单调性和奇偶性，解决本题要熟练根据函

数的性质进行求解。

h-\

解析(I)因为/⑶是奇函数，所以"))=0,即一^=0=。=1；./(%)=

<7+2

,1-1

1-21-2。

—T又由f(l)=-f(-l)知二=——2-=>«=2.(H)由(I)知

a+2V+1a+4a+\

1-2V11

/(幻=二3=\+牙、，易知/(外在(7,”)上为减函数。又因/(x)是奇函数，

从而不等式：/(/一2。+/(2/-Q<0例介于/(尸一2。<一/(2/一幻=/(左一2/)，

因/(幻为减函数，由上式推得：产一2t>左一2产.即对一切feR有:3t2-2t-k>0,

从而判别式A=4+12女<0=上<一%

点评：第二问是涉及不等式问题，首先要去掉f,转化为关于t的不等式利用判别式求

解。需要挖掘隐含f(x)的单调性。

2.分离参数策略

例2(2018江苏•泰州实验)已知函数/(x)=。国-4(其中a>0且aW1,。为实数常

a

数).

(1)若/。)=2，求x的值(用。表示)；

,(2)若a>1,且//⑵)+mf(t)20对于fw［1,2］恒成立，求实数m的取值范围(用a表

,1、)■•

【分析】考查分离变量求参数的范围及利用单调性法求函数的值域。

点评：分类参数，构造函数利用函数的单调性求解参数范围是解决初等函数常用手段。这

种题型求解一定掌握。

3.合理换元

例3(2018山东潍坊)定义在［-1,1］上的奇函数f(x)，当-1Wx<0时，

2X

/(%)=-示,(1)求/*)在(0,1］上的解析式…

(2)/(%)在(0,1］上的单调性

(3)当x40,l］时，关于x的方程;一一2、+九=0有解，试求4的取值范围

/(幻

分析：首先根据奇函数的定义求出函数/(X),求力的取值范围时，使用分离变量的方法,

即将A放到一侧，将其余的移到另一侧，转化为求函数的值域问题，因为xe(0』，所以

不能使用△法

点评：解决需要把参数移向，再通过换元，注意自变量的取值范围对还原后参数的影响。

五走进高考

e*_e_X

1.(2018年新课标II理)函数/(»=)"的图象大致为()

CD

【答案】B

e*_e->

【解析】｛-力==一.=-4X）,则｛X）为奇函数,图象关于原点对称,排除

A;当x=1时,《1）=e-30,排除D;当尸+8时,外）一+8,排除C故选B.…

2（2015•四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：C）满足函数关

系y=6切”（e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数）.若该食品在0C的保鲜时间

是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，贝!］该食品在33℃的保鲜时间是_____。

【答案】24

六测试题

一.选择题

1.函数丁=3内的值域为（.）

A.[2,+oo)B.[1,+oo)C.(0,+oo)D.(0,1]

【答案】.B

【解析】：令t=g,则y=31，又由g20,则120,贝ijy=3，l,即f(x)的值域为［1,+oo),

腌B.

2.某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y=10e",其中

k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达

到的个数为()

A.640B.1280C.2560D.5120

【答案】.B

3.已知/•(x)=!(2~<Z)X+1*<I满足对任意西WX,,者B有/(*)一)>°成立,

x

a(x>l)%)-x2

那么。的取值范围是()。

A.l1,2JB.g,2)C.(p2)>I，2)

【答案】D

【解析】，对任意x产x,,都有"刈一外切>0成立,说明此函数是一个增函数，对于

玉~X2

「>1

(2-a)x+l(x<l)3

函数/'(》)=，只要满足不等式2-a>0解得:«a<2,故选

ax(%>1)c2

L［2-a+l<a

择D。

4.函数£(丁)=2阳113>0,2,1)的值域为［1,+8),则£(-4)与£(1)的关系

是()

A.f(-4)>f(1)B,f(-4)=f(1)C.f(-4)<f(1)D.不

能确定

【答案】A

【解析】：,..|x+l|20,函数f(x)=a,x+l1(a>0,awl)的值域为［1,+°°),

.,.a>1.

由于函数f(x)=a+"在(-1,+8)上是增函数，且它的图象关于直线x=-1对称，可得函

数在(-8,-1)上是减函数.再由f(1)=f(-3),可得f(-4)>f(1),故选：A.

二.填空题

5.函数y=/16-4”,的值域是________

【答案】•［0,4)

【解析】：若函数有意义，则16-4x>0,又因为4'>0,所以0W16-4X<16,即函数

的值域为［0,4)。“

6.函数)、2的增区间为一……，

【答案】.(9,—2)

三解答题

7.已知函数/5)=2、一二.

2

2

⑴若/5)=2+彳，求x的值；

⑵若2/⑵)+机/⑺之。对于任意实数f以1,2］恒成立，求实数〃z的取值范围.

17

【解析】：(1)有条件可知2、一二=2+二

22

(2x-3)(2r+l)=0,

2'=3,x=log23

(2)当VI,2］时，2(2”一表+m2T20,

•：\<t<2,2'>0.

2'

2'[2,+77J+W-0,小2一(4'+1)・

v^[1,2],-(l+22z)e[-17,-5],

故，〃的取值范围是［-5,+00).

n-4'+o—2

设为奇函数,

8.awRJ(x)/(2x)-V+l

(1)写出函数/(幻的定义域；(2)求。，并写出/(x)的表达式；

(3)用函数单调性定义证明：函数/(x)在定义域上是增函数.

(可能用到的知识：若玉<%，则0<2“<2'0<4*<4。)

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析

01集合的含义与表示

考试说明：①了解集合的含义、元素与集合的属于关系.

②能用自然语育、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.

［基本知识］------夯基础

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L元素与集合

(1)元素与集合的关系［胃已含

''［不属于记为“臼1.

(2)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

(3)集合的分类：有限集、无限集.特别地,我们把不含任何元素的集合叫做室集，记作0.

(4)常见雌及其表示桢

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

N或凶土)ZQR

(5)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

［考向探究］-----培能力

典例精析

例L已知非空集合“满足：若废”，则六印，则当4G闻时,集合闻的所有元素之

积等于()

A.0B.1C.-1D.不确定

变式题

设P、。为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+4若P={0,2,5},Q

={1,2,6）,则P+Q中元素的个数为（）

A.9B.8C.7D.6

拓展提升

［分类讨论思想在集合中的应用］

ax-1

已知集合A=3——<0},若2WA,3M,则实数a的取值范围是—.____

x-a

考点2集合间的基本关系

考试说明：①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

②在具体情境中，了解全集及空集的含义.

［基本知识］-----夯基础

教材链接

1.集合间的基本关系

名称自然语言描述符号语言表示Veen图表示

如果集合A中所“

AcBD

子集有元素都是集合3中

（或5卫A）

的元素，则称集合A为------

集合8的子集.

如果集合A=B,

AuB

但存在元素ae8,且,

真子集

aeA,则称集合A为(或B=)A)

集合B的真子集.

集合A和集合B

集合相等中元素相等，那么就说

A=B

集合A与集合8相等.」

2,设有限集合4,card(A)=〃(〃GN*)，则

(1)/的子集个数是二；

(2)/的真子集个数是2"-1;

(3)/的非空子集个数是2"-1;

(4)/1的非空真子集个数是2"-2.

［考向探究］-----培能力

典例精析

例2设集合A={x|f+4x=0,xWR},B={x|x+2(a+l)%+a2-1=0,aWR,xWR},

若则实数a的取值范围____________.

变式题

已知集合A={x\-2&W7},B={x\m+\<x<2,m-1},若B=A,则实数m的取值范围

拓展提升

［数形结合思想在集合中的应用］

已知集合A=[y\y=yj-x2+2x},B={x||x-m\<2013},若AC8=A,贝!|m的取值范围是

()

A.[-2012,2013]B.(-2012,2013)

C.[-2013,2Oil]D.(-2013,2Oil)一

考点3集合的基本运算

考试说明：①理解两个集合的并集和交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集.

②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

③能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算.

［基本知识］-----夯基础

教材链接

1.集合间的基本运算

对于两个给定的

集合A、B,由所有

并集属于集合A或属于集AU3={X|XGA,GB}

合8的元素组成的集

合.

对于两个给定的

交集.{X|XGA,且xeb}

集合A、B,由所有

属于集合A且属于集

合8的元素组成的集

合.

对于一个集合A,

由全集U中所有属于

集合U但不属于集合

补集CCJA={x}xeU,且XEA}

4的元素组成的集合

称为集合A在全集U

中的补集，记作

2.集合的运算性质

并集的性质：

AU。=A；AUA=A；4U8=BUA；A=(AB)；Bc(AB)；AUB=A^B^_A.

若xe(AB)，则xeA或xeB.

交集的性质：

AC。。；4nA=A；AAB=_BAA；(AB)cA；(AB)cB；AC)B=A^A^_B.

若xe(AB)，则xeA且re8.

补集的性质：

ZU(CM=。；4c(CM=2；C&CM=4;CdnQB=Q(4U8)；

CUA{JCUB=QCAAB)一

考题展示：

1.(2018年新课标HI文)已知集合A={x\x-1>0},8={0,1,2},则4C夕=()

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2)

2.(2018年北京)已知集合/={MIM<2},氏{-2,0,1,2},则/C8=()

A.{0,1}B.{-1,0,1)C.{-2,0,1,2)D.{-1,0,1,2)

3.（2018年新课标II文）已知集合4={1,3,5,7},8={2,3,4,5},则/C6=（）

A.{3}.B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}

4.（2018年新课标I文）已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则4C夕=（）

A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2）

5.（2018年天津）设集合力={1,2,3,4},^={-1,0,2,3},O{xGR|-l<x<2},

则（/us）na（）

A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4）

6.(2018年江苏)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么4CB=.

[考向探究]-----培能力

典例精析

例3(1)牍合加={犬|/=》},N={x|lgx«O},贝!N=()

A.[0,1]B.(0,1]C.f0,l)D.(-oo,l]

(2)设全集。=1<.若集合4={1,2,3,4},6={x|2Wx<3},则

An(c*)=.

2.在解决有关AcB=0,AqB等集合问题时，一定先考虑/或6是否为空集，以防漏

解.另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

变式题已知集合A={y\户0},AB=B,则集合6可能是()

A.bIy=->/x,B.{y|，尤eR}

C.{y|y=Inx,x>0}D.R

拓展提升.

[分类讨论、数形结合思想在集合中的应用]

设常数acR,集合A={x[(x—l)(x—a)20},8={x|x2a—1},若AU6=R，则。的取

值范围为()

A.(-oo,2)B.(-oo,2]C.(2,+oo)D.[2,+8)

-.选择题(每小题6分，共60分)

1.已知集合A={x|0WxW2},8={y[l<y<3},则403=()

A.[1,2)B.[0,3)

C.(1,2]D.[0,3]

2.已知集合/={x|*-2M0},6=3在a},若/U6=8,则实数a的取值范围是()

A.(-8,0)B.(-8,o]

C.(0,+8)D.[0,+8)

3.已知集合A={1,3,,B={1,m},AUB=A,则nr=()

A.O或6B.O或3C.l或gD.l或3

4..已知非空集合M满足：若恒附，则则当4GM时，集合用的所有元素之积

等于()

A.0B.1C.-1D.不确定

5.设全集U是实数集R,M={x|x〉2或x<—2},N={xkN3或无<l)都是U的子集，

则图中阴影部分所表示的集合是()

A.{.r|-2<x<1}B.{乂-24尤42}

jC.{x|l<x<2}D.{x|x<2}

6.若集合八={0,1,2,3},集合B={x|-xCA,1-x&A},则集合B的元素的个数为()

A.,.lB.2C.3D.4

7.已知集合A={x|y=J1-X、，xGz},B={p-qlpGA,qGA},则B中元素个数为()

A.1B.3C.5D.7

8.设集合A={1,2,3},B={0,1,2,4},定义集合S={(a,b)|aSA,b^B,a+b>ab},

则集合S中元素的个数是()

A.5B.6C.8D.9

'2x-y+\>0

9.设集合P={(x,y)|(x+加<0}H0,集合Q={(x,y)|x-2y<2},若PqQ,则实

y-m>0

数m的取值范围是()

A.(-co,-)B.(--,+oo)C.[-—,-)D.[--,+co)

33333

10设集合A={xM-(a+2)x+2a=0},B={x|x2-5x+4=0},集合AUB中所有元素之和为7,

则实数a的取值集合为()

A.{0}B.{0,2}C.{1,2,4}D.{0,1,2,4)

二.填空题(每小题6分，共18分)

11.已知集合A={x*+x-2=0},B-{x|ax=1},若AC\B=B,则a-

12.若xeA《WA,就称A是“亲密组合”集合，集合M={-L,0J,/,1,2,3,

4}的所有非空子集中，"亲密组合”集合的个数为.

13.已知集合4={(羽口||》—a|+|y—l|Wl},B={(x,y)|(x—iy+(y—Wl},若

AcB手@,则实数a的取值范围为.

三.解答题

14.已知集合4={幻,一4X+2/%+6=0},8={x|x<0},若AplB7。,求

实数m的取值范围。

15.已知集合“={x|x(x-a-1)<0(aeR)},N={x|f—2x-3〈0},若MuN=N,

求实数。的取值范围.

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析

01集合的含义与表示

考试说明：①了解集合的含义、元素与集合的属于关系.

②能用自然语育、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.

［基本知识］-----夯基础

教材链接

L元素与集合

属于记为

元素与集合的关系

(1)不属于记为做A

(2)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

(3)集合的分类：有限集、无限集.特别地,我们把不含任何元素的集合叫做里,记作0.

(4)常见数集及其表示符号

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号.N心(或凶士)ZQR

(5)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

［考向探究］-----培能力

典例精析

例1.已知非空集合用满足：若则六七附，则当4WM时，集合闻的所有元素之

积等于()

A.0B.1C.-1D.不确定

【答案】C

总结反思：研究集合问题，首先要弄清集合内的元素是什么，再弄清元素个数是多少，对于

含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性.

变式题

设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b\a^P,,若P={0,2,5},Q

={1,2,6},则P+。中元素的个数为()

A.9B.8C.7D.6

【答案】B

拓展提升

［分类讨论思想在集合中的应用］

ax-1

已知集合A=3----<0},若26A,3M,则实数a的取值范围是__________

x-a

r2a-1

<0,

2-〃

解析：由题意得《或”=3,解得"W|,|)U(2,3].

3a-1

20,

、3

答案：佳，3)U(2,3］

考点2集合间的基本关系

考试说明：①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

②在具体情境中，了解全集及空集的含义.

［基本知识］-----夯基础

教材链接

L集合间的基本关系

名称自然语言描述符号语言表示Veen图表示

如果集合A中所

有元素都是集合8中4s竺

子集

的兀素，则称集合A为(或B?A)

集合8的子集.

如果集合AqB,

AciB

但存在元素aeB，且

真子集

a^A，则称集合4为(或3nA)

集合8的真子集.

集合4和集合一B

集合相等中元素相等，那么就说

A=3

集合4与集合8相等.

2.设有限集合4,wd(A)=〃(〃eN*)，则

(1)/的子集个数是第；

(2)/的真子集个数是2"-1;

(3)/的非空子集个数是2"-1;

(4)/1的非空真子集个数是2"-2.

［考向探究］-----培能力-

典例精析

例2设集合A-{xjx+\x=0,x£R},B=[x\x+2(a+l)x+4-1=0,aWR,x£R},若B

U4,则实数a的取值范围____________.

【答案】(-0o-1]{1}

(2)当，且8U4时，8={0}班={-4},并且△=43+1)2—4(/-1)=0，解得

a=l,此时8={()}满足题意；

(3)当B=0时，A=4(a+1)2—4(4—1)<0,解得a<l.

综上所述，实数a的取值范围为(7-1］{1}.

总结反思：⑴集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口；⑵对于数集关系问题，

往往利用数轴进行分析；(3)对含参数的方程或不等式求解，要对参数进行分类讨论.

变式题

已知集合A={x\-2WxW7},B={x\m+\<x<2m-1},若BWA,则实数m的取值范

围__________.

【答案】

拓展提升

［数形结合思想在集合中的应用］

已知集合A={y\y=yl-X2+2X},B={x\\x-m\<2013},若ACS=A,贝!|m的取值范围是

()

A.[-2012,20131B.(-2012,2013)

C.[-2013,2Oil]D.(-2013,2Oil)

【答案】B

222

解析：集合A表示函数y=1-X+2x的值域,由t=-x+2x=-(x-I)+Krl,可得

0辽户1,故4=[0,1].集合2是不等式仅-刑<2013的解集，解之得〃?-20134，+2013,

所以B=(m-2013,m+2013).

因为AAB=4,所以AUB.

如图，由数轴可得

_TOI_.

TTI-201301m+2013x

ZH-2013<0,

m+2013>l,

解得-2012<m<2013.

考点3集合的基本运算

考试说明：①理解两个集合的并集和交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集.

②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

③能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.

［基本知识］-----夯基础

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1.集合间的基本运算

对于两个给定的

集合A、B,由所有

并集属于集合A或属于集AU5={x|xeA，或xeb}

合8的元素组成的集

合.

对于两个给定的

集合A、B,由所有

交集属于集合A且属于集AOB={x}xeA,KxeB)

合8的元素组成的集

合.

对于一个集合A,

由全集U中所有属于

集合U但不属于集合

补集QA={x|xeU,班eA}

A的元素组成的集合

称为集合A在全集U

中的补集，记作QA

2.集合的运算顺

并集的性质：

AU(/)=A；AUA=A；Aq(AB)；B=(AB)；AUB=A<:^B^A.

若xe(AB),则XWA或xeB.

交集的性质：

AC。=。；AC\A=A；AAB=_BnA；(AB)o4；(4B)cB；AC\B=A^A^B.

若xe(AB),则xeAMXGB.

补集的性质：

/U(CM=";/n(C/)=2；C4cM=4;QAnQB=Q(AUB)；

CuAUCuB=Cu(ACB).

考题展示：

1.(2018年新课标III文汜知集合A={x|x-1“},B={O,1,2},则ACIB=()

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}

【答案】C

【解析】A={x|x-lN0}={x|x21}』(jAn3={x|xNl}n{0,1,2}={l,2}.

2.(2018年北京)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},贝!]ADB=()

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}

【答案】A

【解析】•••集合>={x||x|<2}={M-2Vx<2},B={-2,0,1,2},."D8={0,1}.故选A.

3.(2018年新课标II文)已知集合A={1,3,5,7},8={2,3,4,5},则AClB=()

A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}

C【解析】AnB={l)3,5,7}n{2>3,4,5}={3,5}.

4.(2018年新课标I文)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则的8=()

A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2)

【答案】A

【解析】，C8={0,2}n{-2,-1,0,1,2}={0,2}.故选A.

5.(2018年天津)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x£R|-lq<2},则

(AUB)nc=()

A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,