2021年北京市中考数学试卷（含答案与解析）

2021年北京市中考数学试卷（含答案与解析）1．如图是某几何体的展开图，该几何体是()A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱2．党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014−2018年，中央财政累计投入"全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件"专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为()A．0.1692×B．1.692×C．1.692×D．16.92×3．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC=120°，则∠BOD的大小为()A．30°B．40°C．50°D．60°4．下列多边形中，内角和最大的是()A．B．C．D．5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是()A．a>−2B．|a|>bC．a+b>0D．b−a<06．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是()A．1B．1C．1D．27．已知432=1849，442=1936，452=2025，462=2116．若nA．43B．44C．45D．468．如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是(A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系9．若x−7在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．分解因式：5x211．方程2x+3=112．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(1,2)和点B(−1,m)，则m13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P=50°，则∠AOB=．14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF=EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．15．有甲、乙两组数据，如下表所示：甲1112131415乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2s乙2（填"16．某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为(4a+1)小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为(2b+3)小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则mn的值为17．计算：2sin18．解不等式组：4x−5>x+13x−419．已知a2+2b20．《淮南子?天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在ΔABC中，BA=，D是CA的中点，∴CA⊥DB()（填推理的依据）．∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．21．已知关于x的一元二次方程x2（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m>0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．22．如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE//DC，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC，BE=5，cosB=45，求BF23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=1（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．24．如图，⊙O是ΔABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD=∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE=3，求GC和OF的长．25．为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6⩽x<8，8⩽x<10，10⩽x<12，12⩽x<14，14⩽x⩽16):b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10⩽x<12这一组的是：10.010.010.110.911.411.511.611.8c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：平均数中位数甲城市10.8m乙城市11.011.5根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．26．在平面直角坐标系xOy中，点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax（1）若m=3，n=15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点(−1,y1)，(2,y2)，(4,y3)27．如图，在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B'C'(B'，C'分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2（2）ΔABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t)，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在ΔABC中，AB=1，AC=2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用参考答案1．B[※解析※]根据几何体的展开图可直接进行排除选项．∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，∴展开图可得此几何体为圆柱．2．C[※解析※]确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．将169200000000用科学记数法表示应为1.692×103．A[※解析※]根据平角的意义先求出∠BOC的度数，再根据垂直的意义求出∠BOD的大小．∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=120°，∴∠BOC=180°−120°=60°，又∵OC⊥OD，∴∠COD=90°，∴∠BOD=∠COD−∠BOC=90°−60°=30°.4．D[※解析※]根据多边形的内角和公式先求出每个图形的内角和，再找出最大的．A．三角形的内角和为180°；B．四边形的内角和为360°；C．五边形的内角和为：(5−2)×180°=540°；D．六边形的内角和为：(6−2)×180°=720°；5．B[※解析※]由数轴及题意可得−3<a<−2,0<b<1，依此可排除选项．A．由图象可得数a表示的点在−2左侧，∴a<−2，A选项错误，不符合题意．B．∵a到0的距离大于b到0的距离，∴|a|>b，B选项正确，符合题意．C．∵|a|>b，a<0，∴−a>b，∴a+b<0，C选项错误，不符合题意．D．∵b>a，∴b−a>0，D选项错误，不符合题意．6．C[※解析※]根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项．画树形图得：由树形图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为247．B[※解析※]先写出2021所在的范围，再写2021的范围，即可得到n的值．∵1936<2021<2025，∴44<2021∴n=44，8．A[※解析※]由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项．由题意得，2(x+y)=10，∴x+y=5，∴y=5−x，即y与x是一次函数关系．∵S=xy=x(5−x)=−x∴矩形面积满足的函数关系为S=−x即满足二次函数关系，9．x⩾7．[※解析※]根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．由题意得：x−7⩾0，解得：x⩾7，10．5(x+y)(x−y)．[※解析※]先提公因式5，再利用平方差公式即可．原式=5(x11．x=3．[※解析※]先将分式方程化为整式方程，然后求解并检验．方程两边同时乘以x(x+3)得：2x=x+3，解得x=3，检验：x=3时，x(x+3)≠0，∴方程的解为x=3．12．−2[※解析※]根据反比例函数图象上点的坐标特征得到−m=1×2，然后解关于m的方程即可．∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(1,2)∴−m=1×2，解得<mathxmlns='/1998/Math/MathML'><mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></math>，即<mathxmlns='/1998/Math/MathML'>m=−2<mi>m</mi></math>的值为−2．13．130°[※解析※]先根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，然后根据四边形的内角和即可求出∠AOB的度数．∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P=360°，∴∠AOB=360°−90°−90°−50°=130°．14．AE=AF[※解析※]先根据矩形的性质得到AD//BC，即AF//CE，推出四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可得到结论．这个条件可以是AE=AF，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，即AF//CE，∵AF=EC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AE=AF，∴四边形AECF是菱形，15．>[※解析※]先由平均数的计算公式分别求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案．x甲s甲x乙s乙∵2>0.8，∴s16．2:3；12[※解析※]设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为(5−x)吨，依题意可得4x+1=2(5−x)+3，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为4(2+m)+1=2(3+n)+3，进而求解即可得出答案．设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为(5−x)吨，依题意可得：4x+1=2(5−x)+3，解得：x=2，∴分配到B生产线的吨数为5−2=3（吨)，∴分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为2:3；∴第二天开工时，给A生产线分配了(2+m)吨原材料，给B生产线分配了(3+n)吨原材料，∵加工时间相同，∴4(2+m)+1=2(3+n)+3，解得：m=1∴m17．3[※解析※]利用零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值，分别化简，再进行加减计算即可得出答案．原式=2×==3318．2<x<4[※解析※]先分别求出每一个不等式的解集，然后根据不等式组的解集的意义即可求出解集．解不等式4x−5>x+1，得：x>2，解不等式3x−42<x，得：则不等式组的解集为2<x<4．19．1[※解析※]根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把已知等式变形，代入即可．原式==a∵a∴a∴原式=1．20．（1）图见解析；（2）BC，等腰三角形的三线合一[※解析※]（1）如图，点D即为所求．（2）在ΔABC中，BA=BC，D是CA的中点，∴CA⊥DB（三线合一），∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．21．（1）见详解；（2）m=1[※解析※]（1）证明：由题意得：a=1,b=−4m,c=3m∴Δ=b∵m2∴Δ=4m∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0∵x1∴x1解得：m=±1，∵m>0，∴m=1．22．（1）见详解；（2）BF=4，AD=3[※解析※]（1）由题意易得AD∥CE，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由BE=5,cos（1）证明：∵∠ACB=∠CAD=90°，∴AD∥CE，∵AE//∴四边形AECD是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形AECD是平行四边形，∴CE=AD，∵EF⊥AB，AE平分∠BAC，∠ACB=90°，∴EF=CE，∴EF=CE=AD，∵BE=5,cos∴BF=BE⋅cos∴EF=B∴AD=EF=3．23．（1）y=12[※解析※]（1）把函数y=12x∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=1∴这个一次函数的表达式为y=1（2）把x=−2代入y=12x−1∴函数y=mx(m≠0)与一次函数y=12x−1把点(−2,−2)代入y=mx，求得m=1，∵当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=1∴124．（1）见详解；（2）GC=6，OF=[※解析※]（1）由题意易得BD⏜（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有OE=12CG,OE（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴BD⏜∴∠BAD=∠CAD；（2）解：由题意可得如图所示：由（1）可得点E为BC的中点，∵点O是BG的中点，∴OE=1∴△AOF∽△CGF，∴OACG∵OE=3，∴CG=6，∵⊙O的半径为5，∴OA=OG=5，∴56∴OF=525．（1）m=10.1；（2）p1[※解析※]（1）将甲城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是10.1，因此中位数是10.1，即m=10.1；（2）由题意得p1=5+3+4=12（家由于乙城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额的平均数是11.0，中位数是11.5，因此所抽取的25家邮政企业4月份营业额在11.5及以上的占一半，也就是p2∴p（3）11.0×200=2200（百万元），答：乙城市200家邮政企业4月份的总收入约为2200百万元．26．（1）x=−1；（2）y2[※解析※]（1）当m=3,n=15时，则有点1,3和点3,15，代入二次函数y=axa+b=39a+3b=15，解得：a=1∴抛物线解析式为y=x∴抛物线的对称轴为x=−b（2）由题意得：抛物线y=ax2+bxa>0始终过定点①当m>0,n<0时，由抛物线y=ax2+bxa>0始终过定点0,0可得此时的抛物线开口向下，即②当m<0,n>0时，∵抛物线y=ax2+bx∴此时抛物线的对称轴的范围为12∵点−1,y∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为32∵a>0，开口向上，∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，∴y227．（1）∠BAE=∠CAD，BM=BE+MD，理由见详解；（2）DN=EN，理由见详解．[※解析※]（1）∵∠DAE=∠BAC=α，∴∠DAE−∠BAD=∠B