北京首师大附属丽泽中学2021-2022学年高三数学文联考试卷含解析

北京首师大附属丽泽中学2021-2022学年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（sinx+x2）dx=（）A．0 B． C． D．1参考答案：C【考点】定积分．【专题】导数的综合应用．【分析】根据积分公式进行求解即可．【解答】解：（sinx+x2）dx=（﹣cosx+x3）|=﹣cos1+﹣[﹣cos（﹣1）﹣]=，故选：C．【点评】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的积分，比较基础．2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为

A．6

B．7

C．8

D．23参考答案：B略3.数列{an}是公差不为零的等差数列，为等比数列，，则A.5

B.9

C.25

D.50参考答案：C4.函数y=f（x）的图象向右平移单位后与函数y=cos2x的图象重合，则y=f（x）的解析式是（）A．f（x）=cos（2x） B．f（x）=﹣cos（2x﹣） C．f（x）=﹣sin（2x+） D．f（x）=sin（2x﹣）参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意，将函数y=cos2x的图象向左平移单位后可得y=f（x）的图象，利用图象变换规律即可得解．【解答】解：由题意，将函数y=cos2x的图象向左平移单位后，可得y=f（x）的图象，可得：y=f（x）=cos[2（x+）]=cos（2x+）=cos（2x++）=﹣sin（2x+）．故选：C．5.若随机变量服从正态分布~，，则随机变量的期望是（

）A．

B.

C.

D.

参考答案：A6.已知正数、满足，则的最小值为

（▲）A．1

B．

C.

D.参考答案：C7.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，△ABC的面积为S，若，则C的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用面积公式、诱导公式、正弦定理将等式等价于，从而得到的关系，再根据三角形为锐角三角形，三个内角都是大于0小于，即可得到答案.【详解】因为，即，所以，因为，所以.由余弦定理，可得，再由正弦定理得.因为，所以，所以或，得或（舍去）.因为△ABC是锐角三角形，所以得.故选：D.【点睛】本题考查三角形的面积公式、诱导公式、正弦定理、解不等式等知识的交会，考查转化与化归思想、函数与方程思想的灵活运用，考查运算求解能力，求解时对三角恒等变形的能力要求较高.8.为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为A．增函数

B．周期函数

C．奇函数

D．偶函数参考答案：B9.随机变量，的分布列分别是（

）02

12当时，有（

）A.， B.，C.， D.，参考答案：A【分析】利用E（ξ）的公式及D（ξ）＝E（ξ2）﹣E2（ξ）求得期望方差，再比较大小即可．【详解】根据题意E（ξ）＝2，D（ξ）＝E（ξ2）﹣E2（ξ），E（）＝1，D（）＝E（2）﹣E2（），E（ξ）﹣E（），∵，∴，∴,∴E（ξ）E（），D（ξ）﹣D（），∴D（ξ）D（），故选：A．【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，考查了期望方差的公式的应用，属于中档题．10.函数f（x）=sin（2x+），则函数f（x）的图象(

)A．关于点（，0）对称 B．关于点（，0）对称C．关于直线x=对称 D．关于直线x=对称参考答案：A【考点】正弦函数的图象．【专题】数形结合；三角函数的图像与性质．【分析】写出函数的对称轴和对称中心，逐个选项验证可得．【解答】解：由2x+=kπ可得x=﹣，故函数的对称中心为（﹣，0），k∈Z，当k=1时，可得其中一个对称中心为（，0），故A正确；令﹣=可得k=?Z，故B错误；由2x+=kπ+可得x=+，故函数的对称轴为x=+，k∈Z，令+=可得k=?Z，故C错误；令+=可得k=﹣?Z，故D错误．故选：A【点评】本题考查正弦函数图象的对称性，属基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数(x∈[0，π])为增函数的区间是

..参考答案：略12.在中，分别为内角、、的对边,若，则角B为

.参考答案：试题分析：由正弦定理得，，而余弦定理，所以，得.考点：1.正余弦定理的应用.

13.已知向量，，则在方向上的投影等于

．参考答案：14.已知向量，若，则=

.参考答案：（-2，-1）15.函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：①

函数=（xR）是单函数；②

若为单函数，③

若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；④

函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.其中的真命题是

.（写出所有真命题的编号）参考答案：②③16.已知数列中，则_____________。参考答案：17.△ABC中，∠A=90°，AC=2，D为边BC的中点，则=．参考答案：2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的运算法则计算即可．【解答】解：△ABC中，∠A=90°，AC=2，D为边BC的中点，则=（+）?=2+?=×22=2，故答案为：2．【点评】本题考查了向量的数量积的运算，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）数列满足：对任意的正整数，若，则，且．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）记，求证：．参考答案：（Ⅰ）证明：由

①，得，即②…………………4分（Ⅱ）由②①得：，令，则：由于，所以：，所以：，即：，所以：=，所以

（）…8分（Ⅲ）==所以

………………12分略19.（本小题满分14分）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，且椭圆过点.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）直线过点M交椭圆于A、B两点，且，求直线的方程．参考答案：解：(1)设椭圆方程为（>b>0）．………1分双曲线的焦点坐标分别为和椭圆焦点坐标分别为和

c=1，即………①又椭圆过点，………②

………4分由①②得，，∴所求椭圆方程为．

………7分(2)若直线的斜率k不存在，即轴，由椭圆的对称性知，则不满足．当直线的斜率k存在时，设直线的方程为．………2分设A则---------①--------②

（点差法）由知M为AB的中点，

………4分①－②得∴，.∴直线的方程为：即．…7

20.已知函数f（x）=x2+ax+2，x∈[﹣5，5]，（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间．（2）若函数f（x）在[﹣5，5]上增函数，求a的取值范围．参考答案：【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）当a=﹣1时，根据函数f（x）=+，且x∈[﹣5，5]，求得函数的单调区间．（2）由题意可得函数的对称轴x=﹣≤﹣5，由此求得a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，∵函数f（x）=x2﹣x+2=+，且x∈[﹣5，5]，故函数的减区间为[﹣5，]，增区间为（，5]．（2）若函数f（x）在[﹣5，5]上增函数，则二次函数f（x）=x2+ax+2的对称轴x=﹣≤﹣5，解得a≥10，故a的取值范围为[10，+∞）．21.（12分）已知数列

1．当为何值时，数列可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式

2．若令求数列的前n项和

参考答案：解析：I．

Ⅱ．22.（本小题满分12分）如图3，中，点在线段上，且（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求的面积.参考答案：解：（Ⅰ）因为，所以.2分在中，设，则由余弦定理可得

①················5分在和中，由余弦定理可得，．·····