2022-2023学年辽宁省大连市两洋高级中学高三数学文联考试卷含解析

2022-2023学年辽宁省大连市两洋高级中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如下图，在矩形中，点为边上任意一点，现有质地均匀的粒子散落在矩形内，则粒子落在内的概率等于A．

B． C．

D．参考答案：C2.已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={﹣1，0，1，2，3，4}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】列举出A中的元素，求出两集合的交集，即可作出判断．【解答】解：∵A={x|x=2k﹣1，k∈Z}={…，﹣3，﹣1，1，3，5，…}，B={﹣1，0，1，2，3，4}，∴A∩B={﹣1，1，3}，则集合A∩B中元素的个数为3，故选：C．3.已知函数，若，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：当时，恒成立，由得，，整理得，由于恒成立，，，解得，时，由于最小值是0，若恒成立，满足，即，同时满足以上两个条件，故答案为D考点：1、一元二次不等式的应用；2、分段函数的应用4.已知在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3πC．D．2π参考答案：B【分析】求出P到平面ABC的距离为，AC为截面圆的直径，AC=，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，求出R，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC=，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．5.已知复数f（n）=in（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．无数参考答案：A【考点】虚数单位i及其性质；集合中元素个数的最值．【分析】直接利用复数的幂运算，化简求解即可．【解答】解：复数f（n）=in（n∈N*），可得f（n）=，k∈Z．集合{z|z=f（n）}中元素的个数是4个．故选：A．【点评】本题考查复数单位的幂运算，基本知识的考查．6.设复数则在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D7.已知函数（其中），若，则在同一坐标系内的大致图象是参考答案：B8.在中，，且，则=(

)

A．

B．

C．3

D．-3参考答案：B略9.平面四边形中，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一个球面上，则该球的体积为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A略10.（5分）（2012?山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A．232B．252C．472D．484参考答案：C由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将函数y=sinx的图象向右平移三个单位长度得到图象C，再将图象C上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到图象C1，则C1的函数解析式为

．参考答案：y=sin（2x﹣3）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：函数y=sinx的图象向右平移三个单位长度得到图象C，求出函数解析式，再将图象C上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到图象C1，求出函数的解析式，即可．解答： 解：将函数y=sinx的图象向右平移三个单位长度得到图象C，对应函数的解析式为：y=sin（x﹣3），再将图象C上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到图象C1，对应函数的解析式为：y=sin（2x﹣3）．故答案为：y=sin（2x﹣3）．点评：本题是基础题，考查函数图象的平移与伸缩变换，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．同时注意伸缩变换，ω与φ的关系，仔细体会．12.某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种在点Pk(xk,yk)处，其中x1=1,y1=1,当k≥2时，，T(a)表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0。则第2011棵树的种植点的坐标为

。参考答案：(1,403)13.已知数列与的前项和分别为，且，，若恒成立，则k的最小值是

A.7

B.

C.

49

D.参考答案：B14.已知且，则___________.参考答案：略15.已知向量与的夹角是120°，||=3，|+|=，则||=．参考答案：4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的平方即为模的平方，以及向量的数量积的定义，解方程即可得到．【解答】解：向量与的夹角是120°，||=3，|+|=，则（+）2=13，即有++2=13，即9+||2+2×3||?cos120°=13，即||2﹣3||﹣4=0，即有||=4（﹣1舍去），故答案为：4．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．16.已知△ABC满足BC?AC=2，若C=，=，则AB=．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值化简可得b=，由BC?AC=2，可解得a，b的值，利用余弦定理即可得解．【解答】解：设三角形的边AB，BC，AC所对的边分别为c，a，b，∵=，C=，∴=﹣，解得：cosC=﹣=﹣，∴b=，∵BC?AC=2，可得：ab=2，解得：a=，b=2．∴c2=a2+b2﹣2abcosC=5a2=10，∴c=．即AB的值为．故答案为：．17.执行上面的框图，若输入的是6，则输出的值是

.

参考答案：720略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2016秋?台州期末）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，AA1=2，D为BC中点．（Ⅰ）若E为棱CC1的中点，求证：A1C⊥DE；（Ⅱ）若点E在棱CC1上，直线CE与平面ADE所成角为α，当sinα=时，求CE的长．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE⊥A1C．（Ⅱ）求出平面ADE的法向量，由CE与平面ADE所成角α满足sinα=，利用向量法能求出CE．【解答】（Ⅰ）证明：建立如图所示空间直角坐标系，A1（2，0，2），D（0，0，0），E（0，﹣2，），C（0，﹣2，0），=（0，﹣2，），=（﹣2，﹣2，﹣2），∴?=0+4﹣4=0，∴DE⊥A1C；（Ⅱ）解：CE=a（0），则E（0，﹣2，a），A（2，0，0），=（2，0，0），=（0，﹣2，a）设平面ADE的法向量=（x，y，z），则，取=（0，a，2），设CE与平面ADE所成角为α，满足sinα==，∴a=1，即CE=1．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.（本小题满分14分）设椭圆的左右焦点分别为，离心率，点到右准线为的距离为（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设是上的两个动点，，证明：当取最小值时，参考答案：解：因为，到的距离，所以由题设得

解得由，得

（Ⅱ）由得，的方程为故可设由知知

得，所以

当且仅当时，上式取等号，此时所以，

20.（本小题满分14分）已知数列和满足,若为等比数列,且.（1）求及数列的通项公式；（2）设,记数列的前项和为.①求；②若恒成立，求正整数的值.参考答案：(1),；(2)①；②.（2）①由（1）可知,则.②,当时,,而,故,即时,,综上所述,对任意恒成立,故正整数的值为.考点：等比数列的定义与数列的通项和前项和等有关知识的运用．21.若F1，F2是椭圆C：+=1（0＜m＜9）的两个焦点，椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（0，）的直线l与椭圆C交于两点A、B，线段AB的中垂线l1交x轴于点N，R是线段AN的中点，求直线l1与直线BR的交点E的轨迹方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）求出a=3，b=，设椭圆的下焦点F1，设线段PF1的中点为：M；由题意，OM⊥PF1，又OM=b，OM是△PF1F2的中位线，由椭圆定义，在Rt△OMF1中的勾股定理，求出b=2，得到m．然后求解椭圆C的方程．（Ⅱ）上焦点坐标（0，）．直线l的斜率k必存在．设A（x1，y1）B（x2，y2），弦AB的中点Q（x0，y0），利用平方差法得到AB的斜率，通过（1）当x0≠0时，k=kAB=，推出9x02+4y02﹣4y0=0，连结BN，则E为△ABN的重心，设E（x，y），利用重心坐标公式，推出代入9x02+4y02﹣4y0=0轨迹方程，（2）当x0=0时，验证即可．【解答】解：（Ⅰ）∵0＜m＜9，∴a=3，b=，不妨设椭圆的下焦点F1，设线段PF1的中点为：M；由题意，OM⊥PF1，又OM=b，OM是△PF1F2的中位线，∴|PF2|=2b，由椭圆定义，|PF1|=2a﹣2b=6﹣2b．∴=3﹣b，在Rt△OMF1中：，∴c2=b2+（3﹣b）2，又c2=a2﹣b2=9﹣b2．，∴b2+（3﹣b）2=9﹣b2交点b=0（舍去）或b=2，∴m=b2=4．∴椭圆C的方程：+=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）椭圆C的方程：+=1．上焦点坐标（0，）．直线l的斜率k必存在．设A（x1，y1）B（x2，y2），弦AB的中点Q（x0，y0），由，可得4（y1+y2）（y1﹣y2）=﹣9（x1+x2）（x1﹣x2），∴k==﹣=﹣（y0≠0）（1）当x0≠0时，k=kAB=∴k==?9x02+4y02﹣4y0=0，?又l1：y﹣y0=，∴N（），连结BN，则E为△ABN的重心，设E（x，y），则，∴代入9x02+4y02﹣4y0=0可得：48x2+3y2﹣2，（y≠0）．（2）当x0=0时，l：y=，N（0，0），E（0，）也适合上式，综上所述，点E的轨迹方程为：48x2+3y2﹣2，（y≠0）．22.（本小题满分13分）已知数列满足，，且．（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和公式．参考答案：（1）∵依题意只需证明，………1分

∵∴

∴只需证………3分

即只需证，即只需证

即只需证或………5分

∵不符合∴只需证

显然数列是等差数列，且满足，以上各步都可逆

∴数