高一集合讲义

高一集合讲义③所有小于5的自然数；④中国的所有省份。哪些是集合，哪些不是？为什么？解析：①不是集合，因为没有明确的标准来判断是哪些人。②是集合，因为可以明确标准为身高超过1.8米的同学。③是集合，因为可以明确标准为小于5的自然数。④是集合，因为可以明确标准为中国的所有省份。考点2：集合间的基本关系例3、已知集合A={1,2,3,4}，B={2,3,4,5}，C={3,4,5,6}，D={1,2,3}，E={4,5,6}，F={1,3,5}，G={2,4,6}，H={1,2,3,4,5,6}，I={}，则：（1）A是B的子集，B是A的超集；（2）C是B的真子集，B是C的真超集；（3）D和E互不相交，D∩E=∅；（4）F和G互不相交，F∩G=∅；（5）H是全集，I是空集；（6）A∪B={1,2,3,4,5}，A∩B={2,3,4}；（7）C的补集是{1,2}，G的补集是{1,3,5}；（8）A、B、C的交集是{3,4}，A、B、C的并集是{1,2,3,4,5,6}。例4、小明和小红分别喜欢篮球和足球，用集合表示他们的爱好，用交集和并集表示两人共同的爱好和不同的爱好。解析：设小明的爱好集合为A，小红的爱好集合为B，则：A={篮球}，B={足球}两人共同的爱好为A∩B=∅，不同的爱好为A∪B={篮球,足球}。考点3：集合的基本运算例5、已知集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，C={2,4,6}，则：（1）A∩B={3,4}，A∪B={1,2,3,4,5,6}；（2）A-B={1,2}，B-A={5,6}；（3）A∩C={2,4}，A∪C={1,2,3,4,6}；（4）B∩C={4,6}，B∪C={2,3,4,5,6}；（5）(A∩B)∪C={2,3,4,6}，A∩(B∪C)={3,4}。例6、用韦恩图表示集合A、B、C的关系，其中A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，C={2,4,6}。解析：韦恩图如下：（图略）2008年北京奥运会的比赛项目包括哪些？（删除明显有问题的段落）集合可以用不同的表示方法来表示，例如：（改写每段话）例3：下列四个集合的含义分别是什么：①A={xy|x=y=1}②B={yy|y=1,2,3}③C={(x,y)|y=x^2}④D={n|n是3的倍数}例4：用适当的方法表示下列对象构成的集合（1）方程x-2x-3=0的解集；（2）小于10的所有正奇数；（3）不等式3x+2>8的解集；（4）直角坐标系中一、三象限内的点；（5）方程2x-1+y-1=0的解集。例5：下列命题中哪些是正确的：①集合{1,2,3,4,5}和集合{5,4,3,2,1}表示同一个集合。②{2,5}和{2,1,3,6}这些数组成的集合有五个元素。③方程(x-2)(x+2)(x-3)=0的解集中含有4个元素。④方程x-2x+1=0的解集为{x|x=1}。答案：①正确，②错误，③正确，④正确。例6：已知集合A={b,a}，则2∈()，5∈()。答案：2∈A，5∉A。例7：已知集合{x|ax^2+2x+1=0}，则：（1）若集合A中只有一个元素，求a的取值范围；（2）若集合A中至多有一个元素，求a的取值范围；（3）若集合A中至少有一个元素，求a的取值范围。二、集合间的基本关系1.子集(1)子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么就称集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作A⊆B，集合A叫做集合B的子集。(2)空集：我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做∅，规定空集是任何集合的子集。(3)子集的性质：①反身性：任何一个集合都是它自身的子集，即A⊆A。②传递性：若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。即：若A⊆B且B⊆C，则A⊆C。(4)集合相等：对于集合A、B，如果A⊆B且B⊆A，那么A=B，即A、B里元素均相等。2.真子集(1)真子集：如果A⊆B且存在元素x∈B，且x∉A，即A⊆B且A≠B，就说集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。(2)真子集的性质：①规定空集是任何非空集合的真子集。②传递性：若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。3.子集、真子集、非空真子集个数的求法若某个集合有n个元素，则它的所有子集个数为2^n，真子集个数为(2^n-1)个，非空真子集个数为2^(n-1)个。典型例题考点1：子集的基本符号例1、在下列横线上填上适当的符号：nB.1,3{1,2,3}{}{a}{a}{}{1}[x<x<3]{}考点2：参数范围的确定例2、已知A={x|x是菱形}，B={x|x是正方形}，C={x|x是平行四边形}，那么A,B,C之间的关系是什么？例3、设集合A={2,-1,3,2m-1}，集合B={3,m,2}，若B⊆A，求实数m的值。例4、已知集合A={-1,3,2m-1}，集合B={2,3,m}，若B⊆A，求实数m的值。例5、设集合A={x|x^2+4x=0}，集合B={x|x^2+2(a+1)x+a^2-1=0}，若B⊆A，求实数a的范围。例6、已知A={x|x<3}，B={x|x<a}。(1)若B⊆A，则a的取值范围是多少？(2)若A⊆B，则a的取值范围是多少？例7、若A={x|-3≤x≤4}，B={x|x^2-1≤mx≤m+1}，当B⊆A时，求实数m的取值范围。例8、已知A={x|-2≤x-2≤5}，B={x|m+1≤x^2≤2m-1}，且B⊆A，求m的取值范围。考点3：子集个数问题例9、下列集合中，只有一个子集的集合是（）{}、{1}、{1,2}、{1,2,3}。三、集合的基本运算1、交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。2、并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。3、补集：集合A是集合U的子集，由集合U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集，记作CU，即CU={x|x∈U且x∉A}。4、集合中元素的个数：-若A、B为有限集，则有card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B)；card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)。-若A、B为无限集，则有card(A∩B)=card(B∩A)；card(A∪B)=card(B∪A)。5、运算性质：（1）A⊆B⇔A∪B=B；(2)A⊆B⇔A∩B=A。【例题】例1、设集合M={m|m∈Z，-3<m<2}，N={n|n∈Z，-1≤n≤3}，则M∩N=（）。A.{1}B.{-1,1}C.{-1,1,2}D.{-1,1,2,3}例2、已知M={-3,x+1,x+2}，N={x,-x-1,2x-1}，若M∩N={-3}，则x的值为（）。A.-2B.-1C.1D.2例3、已知集合A={x,2x-1,-4}，B={x-5,1-x,9}，若A∩B={9}，求A∪B。例4、已知集合A={x|x-p(x+15)=0}，B={x|x-ax-b=0}，若A∪B={2,3,5}，A∩B={3}，分别求实数p、a、b的值。例5、满足M⊆{a1,a2,a3,a4}且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数为（）。A.1B.2C.3D.4例6、已知全集U={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}，集合A={(1,2),(2,3)}，集合B={(2,3),(3,4),(4,5)}，C∪B={(1,5),(5,6)}，则正确的结论是（）。A.3∉A，且3∉BB.3∈A，且3∉BC.3∉A，且3∈BD.3∈A，且3∈B例7、已知集合U={A,B,C,D}，A={ABBA}，B={BB,AC}，C={CU,D}，D={CD}，求集合表达式（A∪B)∩(C∪D)的元素。解：首先求出A∪B={ABBA,BB,AC}，C∪D={CU,D,CD}，然后将它们取交集，得到（A∪B)∩(C∪D)={D}，所以集合表达式（A∪B)∩(C∪D)的元素为{D}。例8、设集合A={x|x+4x=0}，B={x|x+2(a+1)x+a-1=0}。（1）若A∩B=B，求a的范围。解：首先解出A和B的元素，A={0}，B={-1,1-a}。由于A∩B=B，所以B中的元素必须包含在A中，即-1和1-a都必须等于0，所以a=1。（2）若A∪B=B，求a的范围。解：由于A∪B=B，所以B中的元素必须包含在A中，即-1和1-a都必须是A的元素，所以-1=0，1-a=0，解得a=1。例9、集合A={x|-1<x<1}，B={x|x<a}。（1）若A∩B=∅，求a的范围。解：由于A∩B=∅，所以A和B没有交集，即A中的元素都小于a，所以-1<a<1。（2）若A∪B={x|-1<x<1}，求a的范围。解：由于A∪B={x|-1<x<1}，所以B中的元素必须包含在A中，即B中的最大元素必须小于1，所以a<1。例10、某班有学生55人，其中音乐爱好者有34人，体育爱好者有43人，还有4人既不爱体育也不爱好音乐，班级中即爱好体育又爱好音乐的有多少人？解：根据容斥原理，即爱好体育又爱好音乐的人数等于音乐爱好者数加体育爱好者数减去既不爱体育也不爱好音乐的人数，即34+43-4=73。所以即爱好体育又爱好音乐的人数为73人。例11、某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49%，电视机拥有率为85%，洗衣机拥有率为44%，拥有上述三种电器中的任意两种的占63%，三种电器齐全的有25%，那么一种电器也没有的农户占比例为多少？解：设拥有电冰箱、电视机、洗衣机的农户数为a，只拥有两种电器的农户数为b，只拥有一种电器的农户数为c，一种电