北京海淀区北京一零一中学2022-2023学年数学高二第二学期期末复习检测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在极坐标系中，方程表示的曲线是（）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线2．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数，组成复数，其中虚数有（）A．30个 B．42个 C．36个 D．35个3．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直分别为直角三角形的斜边，直角边，.若，，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）（）A． B．C． D．4．已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为A．34B．C．74D．5．已知函数，其中为自然对数的底数，则对任意，下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．6．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A． B． C． D．7．在一次试验中，测得的四组值分别是A（1,2），B（3,4），C（5,6）D（7,8），则y与x之间的回归直线方程为（）A． B． C． D．8．已知随机变量，若，则分别是（）A．6和5.6 B．4和2.4 C．6和2.4 D．4和5.69．设全集为，集合，，则（）A． B． C． D．10．已知直线与双曲线分别交于点，若两点在轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为（）A． B． C．4 D．11．双曲线的渐近线的斜率是()A． B． C． D．12．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若（其中i为虚数单位），则z的虚部是________.14．已知复数，其中是虚数单位，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若是关于的方程的一个根，求实数与的值.15．集合，满足，，若，中的元素个数分别不是，中的元素，则满足条件的集合的个数为____．（用数字作答）16．已知随机变量，则___________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列，其前项和为；（1）计算；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.18．（12分）已知数列满足：，（R，N*）．（1）若，求证：；（2）若，求证：．19．（12分）已知函数，，若直线与函数，的图象均相切.（1）求实数的值；（2）当时，求在上的最值.20．（12分）已知命题：.（Ⅰ）若为真命题，求实数的取值范围；（Ⅱ）设命题：；若“”为真命题且“”为假命题，求实数的取值范围.21．（12分）如图，平面，，，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）（衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷）如图，在三棱柱中，侧棱底面，且，是棱的中点，点在侧棱上运动.（1）当是棱的中点时，求证：平面；（2）当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】方程，可化简为：，即.整理得，表示圆心为(0,，半径为的圆.故选B.2、C【解析】

解：∵a，b互不相等且为虚数，∴所有b只能从{1，2，3，4，5，6}中选一个有6种，a从剩余的6个选一个有6种，∴根据分步计数原理知虚数有6×6=36（个）．故选C3、D【解析】

首先计算出图形的总面积以及阴影部分的面积，再根据几何概型的概率计算公式计算可得.【详解】解：因为直角三角形的斜边为，，，所以，以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为.所以图形总面积，，所以.故选：【点睛】本题考查面积型几何概型的概率计算问题，属于基础题.4、D【解析】略视频5、A【解析】

，可得在上是偶函数.函数，利用导数研究函数的单调性即可得出结果.【详解】解：，在上是偶函数.函数，，令，则，函数在上单调递增，，函数在上单调递增.，，.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性，不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6、D【解析】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.7、A【解析】分析：根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程．详解：∵，∴这组数据的样本中心点是（4，5）把样本中心点代入四个选项中，只有y=x+1成立，故选A．点睛：本题考查求线性回归方程，一般情况下是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，但是对于一个选择题，还有它特殊的加法．8、B【解析】分析：根据变量ξ～B（10，0.4）可以根据公式做出这组变量的均值与方差，随机变量η=8﹣ξ，知道变量η也符合二项分布，故可得结论．详解：∵ξ～B（10，0.4），∴Eξ=10×0.4=4，Dξ=10×0.4×0.6=2.4，∵η=8﹣ξ，∴Eη=E（8﹣ξ）=4，Dη=D（8﹣ξ）=2.4故选：B．点睛：本题考查变量的均值与方差，均值反映数据的平均水平，而方差反映数据的波动大小，属于基础题．方差能够说明数据的离散程度，期望说明数据的平均值，从选手发挥稳定的角度来说，应该选择方差小的.9、C【解析】

利用分式不等式的解法求出集合，求出两个集合的公共部分即为两个集合的交集.【详解】由集合可知；因为，,故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.10、A【解析】

由直线与双曲线联立，可知x=为其根，整理可得.【详解】解：由．，两点在轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，．．故选：．【点睛】本题考查双曲线的离心率，双曲线的有关性质和双曲线定义的应用，属于中档题．11、C【解析】

直接利用渐近线公式得到答案.【详解】双曲线渐近线方程为：答案为C【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题.12、B【解析】分析：判断出为二项分布，利用公式进行计算即可．或，,可知故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】

直接根据虚部定义即可求出．【详解】解：z＝﹣2+3i（其中i为虚数单位），则z的虚部是3，故答案为：3【点睛】本题考查了虚数的概念，属于基础题．14、(1)；(2)或.【解析】

(1)先写出的表示，然后将模长关系表示为对应的不等式，即可求解出的取值范围；(2)根据是关于的方程的一个根，先求出方程的根，根据复数相等的原则即可求解出实数与的值.【详解】(1)因为，，所以，所以，所以，所以；(2)因为是关于的方程的一个根，所以方程有两个虚根，所以，因为是方程的一个根，所以，所以或.【点睛】本题考查复数模长的计算以及有关复数方程的解的问题，难度一般.(1)已知，则；(2)若两个复数相等，则复数的实部和实部相等，虚部和虚部相等.15、1．【解析】

分别就集合中含有共8个元素逐一分析，求和后得答案.【详解】含1元，含7元，则，，于是，，共；同理：含2元，含6元，共6个；含3元，含5元，共15个；含5元，含3元，共15个；含6元，含2元，共6个；含7元，含1元，共1个．【点睛】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键.16、【解析】

利用正态密度曲线的对称性得出，可得出答案。【详解】由于随机变量，正态密度曲线的对称轴为直线，所以，，故答案为：。【点睛】本题考查正态分布概率的计算，解这类问题的关键就是要充分利用正态密度曲线的对称轴，利用对称性解题，考查计算能力，属于基础题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2），证明见解析【解析】

（1）根据已知条件，计算出的值；（2）由（1）猜想，根据数学归纳法证明方法，对猜想进行证明.【详解】（1）计算，，，（2）猜想.证明：①当时，左边，右边，猜想成立.②假设猜想成立.即成立，那么当时，，而，故当时，猜想也成立.由①②可知，对于，猜想都成立.【点睛】本小题主要考查合情推理，考查利用数学归纳法证明和数列有关问题，属于中档题.18、（1）见解析（2）见解析【解析】

（1）用数学归纳法证明结论即可；（2）因为（N*），则，然后用反证法证明当时有矛盾，所以原不等式成立即可.【详解】（1）当时，．下面用数学归纳法证明：①当时，，结论成立；②假设当时，有成立，则当时，因，所以时结论也成立．综合①②可知（N*）成立．（2）因为（N*），则，若，则当时，，与矛盾．所以．【点睛】本题考查数列的递推公式、数学归纳法证明、反证法等知识，属于中档题.19、（1），或；（2），.【解析】

（1）由直线与二次函数相切，可由直线方程与二次函数关系式组成的方程组只有一个解，然后由判别式等于零可求出的值，再设出直线与函数图像的切点坐标，由切点处的导函数值等于切线的斜率可求出切点坐标，从而可求出的值；（2）对函数求导，使导函数为零，求出极值点，然后比较极值和端点处的函数值大小，可求出函数的最值.【详解】（1）联立可得，，设直线与的图象相切于点，则，或当时，，当时，，或（2）由（1），，令则或；令则在和上单调递增，在上单调递减又，，，【点睛】此题考查导数的几何意义，利用导数求最值，属于基础题.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）若为真命题，结合对数函数的定义域可得，解不等式组求得答案；（Ⅱ）“”为真命题且“”为假命题，则真假或假真，解出命题，对真假和假真两种情况进行讨论，从而得到答案．【详解】（Ⅰ）因为，所以可得，所以当命题为真命题时，解得；（Ⅱ）易知命题：.若为真命题且为假命题，则真假或假真，当真假时，，方程组无解；当假真时，，解得；综上，为真命题且为假命题时，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用命题与复合命题的真假关系求变量的取值范围，属于一般题．21、（1）证明见解析；（2）.【解析】

可以以为轴、为轴、为轴构建空间直角坐标系，写出的空间坐标，通过证明得证平面通过求平面和平面的法向量得证二面角的余弦值．【详解】（1）根据题意，建立以为轴、为轴、为轴的空间直角坐标系，则，，，因为，所以．因为平面，且，所以平面．（2）设平面的法向量为，则因为，所以．令，则．所以是平面的一个法向量．因为平面，所以是平面的法向量．所以由此可知，与的夹角的余弦值为．根据图形可知，二面角的余弦值为．【点睛】在计算空间几何以及二面角的时候，可以借助空间直角坐标系．22、（1）见解析；（2）.【解