《单位圆与诱导公式》 省赛获奖

单位圆与诱导公式运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：用诱导公式求三角函数值设计好解题思路，记准用准公式是解题的关键.【例1】求下列各角的三角函数值:(1)cos(-1290°)(2)sin1230°(3)(4)【审题指导】解答本题可依据负角化正角，任意角化0°～360°间的角，最后化为0°～90°间的角的过程计算.【规范解答】(1)cos(-1290°)=cos1290°=cos(210°+3×360°)=cos210°=cos(180°+30°)=-cos30°=.(2)sin1230°=sin(150°+3×360°)=sin150°=sin(180°-30°)=sin30°=.(3)(4)【变式训练】已知cos69°=a，sin15°=b，cos62°=c，sin2°=d，试用a、b、c、d表示sin(-699°)cos(-1515°)-sin(-872°)cos92°.【解析】sin(-699°)cos(-1515°)-sin(-872°)cos92°=sin(-2×360°+21°)cos(4×360°+75°)+sin(2×360°+152°)cos(90°+2°)=sin21°cos75°+sin152°(-sin2°)=sin(90°-69°)cos(90°-15°)-sin(180°-28°)sin2°=cos69°sin15°-sin28°sin2°=cos69°sin15°-cos62°sin2°=ab-cd.【误区警示】计算cos(-1515°)，-sin(-872°)和cos92°时，符号容易出现错误.另外的应用容易忽视.化简三角函数式的策略角多、函数类型多是三角函数式化简问题的特点，据此解答此类问题时要注意以下几点：(1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小，能求值的要求值.用诱导公式化简三角函数式(2)认真观察有关角之间的关系，根据需要变角，如可写成也可写成，不同的表达方法，决定着使用不同的诱导公式.

求角的正弦、余弦函数值，按“奇变偶不变，符号看象限”的方法更快，要注意训练这种方法.【例2】(2011·长春高一检测)化简【审题指导】解答本题的关键是化简角，3π-α，3π+α，的三角函数值，实际上这些角依次可看作

,2π+π-α，2π+π+α，,由此可设计化简思路.【规范解答】原式【变式训练】化简：

【解题提示】解答本题要特别关注sin(α-180°)=-sin(180°-α),cos(-180°-α)=cos(180°+α).【解析】原式===-1.【例】若k∈Z，化简【审题指导】由于k为偶数与k为奇数时，解题过程不同，所以解答本题要注意分类讨论思想的应用.【规范解答】当k为偶数时，设k=2n(n∈Z)，则原式当k为奇数时，设k=2n+1(n∈Z),同理可得原式=-1.【变式备选】求证：对任意的整数k，【解析】左边(1)当k为偶数时，设k=2n(n∈Z),∴左边(2)当k为奇数时，设k=2n+1(n∈Z),同理可得左边=-1,综上,原等式成立.单位圆的应用利用单位圆及正弦、余弦函数的定义推导正弦、余弦函数诱导公式，十分直观.这充分体现了数形结合思想.实际上，用好单位圆还可以巧妙地解决很多问题，例如下列问题:(1)解三角不等式(2)判断三角函数式的符号(3)根据已知条件判断两个角终边之间的关系单位圆的应用【例3】(2011·惠州高一检测)若集合M＝{θ|sinθ≥,0≤θ≤π}，N＝{θ|cosθ≤,0≤θ≤π}，则M∩N=_______.【审题指导】在单位圆中根据正弦、余弦函数的定义，找出集合N和集合M对应的角的范围，然后求M∩N.【规范解答】由任意角的正弦函数的定义可知，角θ与单位圆的交点坐标为(cosθ,sinθ)，所以为使，只要角θ与单位圆的交点在直线的上方(如下图所示)，又因为0≤θ≤π，所以由单位圆可知.与此类似，使，只要角θ与单位圆的交点在直线的左侧(如下图所示)，又因为0≤θ≤π，所以由单位圆可知.所以答案:【互动探究】将本题中的0≤θ≤π去掉，如何解答？【解析】由，得

.由,得

.所以.【典例】(12分)已知,求，的值.【审题指导】注意到，可以用诱导公式转化.规范警示提升【规范解答】∵,

…………2分

……6分

………8分

………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】(2011·大同高一检测)已知，则的值为()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.1.已知sin25.7°=m，则cos64.3°等于()(A)m(B)-m(C)m2(D)【解析】选A.cos64.3°=cos(90°-25.7°)=sin25.7°=m基础自主训练2.若y=lg[-sin(-θ)]+lg[-cos(-θ)],那么θ是()(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角【解析】选B.由题意得-sin(-θ)＞0，-cos(-θ)＞0,所以sinθ＞0，-cosθ＞0，cosθ＜0，所以θ是第二象限的角.3.如果α+β=180°，那么下列等式中成立的是()(A)cosα=cosβ(B)cosα=-cosβ(C)sinα=-sinβ(D)sinα=cosβ【解析】选B.cosα=cos(180°-β)=-cosβ.4.已知