带电粒子在有界磁场中运动课件

带电粒子在有界磁场中的运动

一、圆心的确定V0PMOVVPMO基本思路：圆心一定在与速度方向垂直的直线上，通常有三种方法：方法一：利用两个速度垂线的交点找圆心。方法二：利用速度的垂线与弦的中垂线的交点找圆心.V0PMOVO方法三、利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心,一速度的延长线与另一速度的反向延长线夹角的平分线必过轨迹的圆心。vAvCOOvCfCfAvACA一.圆心的确定①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力f⊥v，分别确定两点处洛伦兹力

f

的方向，其交点即为圆心．例1、如图所示,一束电子以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中,穿出磁场时的速度方向与原来电子的入射方向的夹角为30°,电子的电荷量为e,则电子的质量是多少?电子穿过磁场的时间又是多少?ODBACvvd定圆心OvCfCCA②若已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向，则可作出此两点的连线（即过这两点的圆弧的弦）的中垂线，再画出已知点v的垂线，中垂线与垂线的交点即为圆心．例2、如图所示,一质量为m、带电荷量为q的粒子水平射入磁感应强度为B,方向垂直纸面向外的匀强磁场中,如果粒子经时间t到达P点,且OP与入射方向夹角为θ,则θ与t的关系如何?Pθv0OOvCvACA③若已知粒子入射方向和出射方向，及轨迹半径R，但不知粒子的运动轨迹，则可作出此两速度方向夹角的平分线，在角平分线上与两速度方向直线的距离为R的点即为圆心．例3、（04全国）一匀强磁场,磁场方向垂直于xy平面,在xy平面上,磁场分布在以O为圆心的一个圆形区域内.一个质量为m、电荷量为q的带电粒子,由原点O开始运动,初速度为v,方向沿x轴正方向.后来,粒子经过y轴上的P点,此时速度方向与y的夹角为30°,P到O的距离为L,如图所示.不计重力的影响.求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R.vvxyPOLACQRrr——对称性二、带电粒子在直边界磁场中的运动图示从一边界射入的粒子，从同一边界射出时，入速度与边界的夹角（弦切角）与出速度与边界的夹角（弦切角）相等。1、直线边界（进出磁场具有对称性）BθυνθαααO1θ02ανθ有用规律一例6.如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B。一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ。若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子的电量和质量之比q/m。OypvθO'θLθ做出粒子运动轨迹如图。解：根据牛顿第二定律：由几何关系知：由上式解得：2、平行边界（存在临界条件）3、圆形边界（沿径向射入必沿径向射出）OBOdθBdOBθdOBvO边界圆

带电粒子在圆形磁场中的运动

特殊情形：带电粒子沿圆形磁场径向进入圆形磁场轨迹圆O′αθθ有用规律二在圆形磁场内,入射速度沿径向,出射速度也必沿径向.Θ/2有用规律三：磁场圆心O和运动轨迹圆心O′都在入射点和出射点连线AB的中垂线上。或者说两圆心连线OO′与两个交点的连线AB垂直。BO边界圆轨迹圆BCAO＇

特殊情形：带电粒子沿任意方向进入圆形磁场BO边界圆

BA作图方法练、某离子速度选择器的原理图如图，在半径为R=10cm的圆形筒内有B=1×10－4

T

的匀强磁场，方向平行于轴线。在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a、b。现有一束比荷为q/m=2×1011C/kg的正离子，以不同角度α入射，其中入射角α=30º，且不经碰撞而直接从出射孔射出的离子的速度v大小是（）

A．4×105m/sB．2×105m/sC．4×106m/sD．2×106m/s解：rmv2qvB=αaObO′rr

作入射速度的垂线与ab的垂直平分线交于O′点，O′点即为轨迹圆的圆心。画出离子在磁场中的轨迹如图示：∠a

O′b=2=60º，则r=2R=0.2mC例3.如图，半径为r=3×10-2m的圆形区域内，有一匀强磁场B=0.2T，一带正电粒子以速度v0=106m/s的从a点处射入磁场，该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计重力则：（1）粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少？（2）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v0与oa的夹角θ表示）？最大偏转角多大？（2）半径确定时，通过的弧越长，偏转角度越大。根据几何知识得知，当粒子从b点射出磁场时，此时轨迹的弦最长，恰好等于圆形区域的直径．baov0B解：（1）带电粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得解得：

由几何知识得，偏转角β=2θ=74°．

例1、如图1所示，一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（，0）点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。解析：分别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段，其交点O即为粒子做圆运动的圆心，由图可以看出，轨道半径为

①洛仑兹力是向心力

②由①②解得射出点的纵坐标为（r+rsin30°）=1.5r,因此射出点坐标为（0，）。例2、电子自静止开始经M、N板间（两板间的电压为U）的电场加速后从A点垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离为L，如图2所示，求：（1）正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图；（2）匀强磁场的磁感应强度.（已知电子的质量为m，电量为e）解析：（1）轨迹如图所示：（2）在M、N间加速后获得的速度为v，由动能定理得：①电子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半径为r，则：②在△AQP中：③在△ACO中：④由①②③④解得：例3.（04全国）一匀强磁场,磁场方向垂直于xy平面,在xy平面上,磁场分布在以O为圆心的一个圆形区域内.一个质量为m、电荷量为q的带电粒子,由原点O开始运动,初速度为v,方向沿x轴正方向.后来,粒子经过y轴上的P点,此时速度方向与y的夹角为30°,P到O的距离为L,如图所示.不计重力的影响.求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R.vvxyPOLACQRrr解：根据牛顿第二定律：画出粒子的运动轨迹如图，根据几何关系：由上式解得：思考:1.试求磁场分布圆形区域的半径R

2.粒子在磁场中运动时间例4.一质量为m，带电量为q的粒子以速度v从O点沿y轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正向夹角为30°，如图所示．(粒子重力忽略不计)．试求：(1)圆形磁场区的最小面积；(2)粒子从O点进入磁场区到达b点所经历的时间；

(3)b点的坐标

v30°xvOybACD30°60°rr解（1）在磁场中①粒子运动轨迹如图：由图可知，②磁场区域最小半径③磁场区域最小面积④①②③④联立（2）粒子从O至a做匀速圆周运动的时间，

从a飞出磁场后做匀速直线运动,有几何关系：(3)由几何关系所以故b点的坐标为（

，0）rrCDyvxvOba例5.一带电质点，质量为m，电量为q，以平行Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域．为了使该质点能从x轴上的b点垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当地方加一垂直xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这个圆形区域的最小半径．重力忽略不计．解：根据牛顿第二定律：画出粒子的运动轨迹如图，解得：根据几何关系,所求的圆形磁场区域的最小半径为：例7、如图所示，在平面直角坐标系中，第一象限内有竖直向下的匀强电场，场强为E=20N/C，第四象限内有一个圆形区域的匀强磁场，方向垂直纸面向外，大小为

T，未画出来．一个带正电的粒子质量为m=2×10-5kg，电量为q=5×10-3C，重力不计，从y中上的a点以v0=10m/s的速度垂直y轴射入电场．Oa长度为h=0.01m，粒子通过x轴上的b点进入第四象限，粒子经圆形磁场后从c点射出第四象限，出射的速度方向与y轴负方向成75°．（π=3.14）求：

（1）粒子通过b点时的速度大小及方向．

（2）磁场的最小面积是多少．

解：（1）在电场中，粒子做类平抛运动．

y轴方向有：①②③①②③联立得：④过b点的速度大小为：⑤过b点的速度与x轴的夹角为：，即θ=45°⑥

所以通过b点速度方向为与x轴成45°角；

（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，设圆周运动的半径为R，由牛顿定律得：⑦解得：R=0.01m；

设粒子在磁场中圆周运动的圆弧对应的弦长为2r，由作图可知：⑧

当磁场以2r为直径为时，磁场的面积是满足题意的最小面积，即最小面积为：S=πr2=2.355×10-4m2

，，(1)电场强度的大小.(2)N点的坐标.例8。如图甲所示,xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场,一个质量为m、带电荷量为+q的粒子从坐标原点O以速度v0沿x轴正方向

开始运动.当它经过图中虚线上的M(2 a,a)点时,撤去电场,粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域(图中未画出),又从虚线上的某一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点.已知磁场方向垂直xOy平面(纸面)向里,磁感应强度大小为B,不计粒子的重力.

试求:甲三、带电粒子在矩形形磁场区域中的运动【解析】粒子在电场中做类平抛运动,轨迹是一条抛物线,粒子在磁场中做匀速圆周运动,轨迹是一部分圆弧,据此画出粒子的运动轨迹如图乙所示.(1)粒子从O到M做类平抛运动,设时间为t,则有X方向:y方向:得E= .(2)设粒子运动到M点时速度为v,与x方向的夹角为α,则

,即α=30°

由题意知,粒子从P点进入磁场,从N点离开磁场,粒子在磁场中以O‘点为圆心做匀速圆周运动,根据牛顿第二定律得粒子做圆周运动的半径为由几何关系知,β= ∠PMN=30°即N点的坐标为

试球矩形磁场区域的最小面积？如图30°OPAv0例9.如图，倾角30º的斜面OA的左侧有一竖直档板，其上有小孔P，质量m=4×10－20kg，带电量q=+2×10－14C的粒子，从小孔以速度v0=3×104m/s水平射向磁感应强度B=0.2T、方向垂直纸面向里的一正三角形区域。该粒子在运动过程中始终不碰及竖直档板，且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上，粒子重力不计。求：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径；（2）粒子在磁场中运动的时间；（3）正三角形磁场区域的最小边长。abco160°egf

作图指导：根据粒子受力先画一上切圆，做上切圆切线与OA垂直，过两切点根据题意画出三角形磁场的区域，做相应的辅助线找出粒子轨道半径与三角形边长的关系。

30°OPAv0abco160°egf解：（1）由得：（2）画出粒子的运动轨迹如图，可知（3）由数学知识可得：

得：

例1、如图，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的带电粒子，但由于环状磁场的束缚，只要速度不很大，都不会穿出磁场的外边缘。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径为R2=1.0m，磁场的磁感应强度B=1.0T，若被缚的带电粒子的荷质比为q/m=4×107C/kg，中空区域中带电粒子具有各个方向的速度。试计算：（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。OBR2R1R2rvv◆带电粒子在环形磁场区域中的运动解：1、粒子运动轨迹如图中蓝色轨迹所示，由几何关系可得：，解得：

由

可得，2、粒子运动轨迹如图中下面黑色轨迹所示，可得：

由

可得，4、【2015山东-24】.如图所示，直径分别为D和2D的同心圆处于同一竖直面内，O为圆心，GH为大圆的水平直径。两圆之间的环形区域（Ⅰ区）和小圆内部（Ⅱ区）均存在垂直圆面向里的匀强磁场。间距为d的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开有一小孔。一质量为m，电量为+q的粒子由小孔下方d/2处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v射出电场，由点紧靠大圆内侧射入磁场。不计粒子的重力。（1）求极板间电场强度的大小；（2）若粒子运动轨迹与小圆相切，求区磁感应强度的大小；（3）若Ⅰ区，Ⅱ区磁感应强度的大小分别为2mv/qD，4mv/qD，粒子运动一段时间后再次经过H点，求这段时间粒子运动的路程。解（1）粒子在电场中，根据动能定理：解得（2)设Ⅰ区内磁感应强度大小为B，粒子做圆周运动的半径为R.由牛顿第二定律:，如图所示粒子的运动轨迹与小圆相切有两种情况，若粒子的运动轨迹与小圆外切，由几何关系

解得若粒子的运动轨迹与小圆内切，由几何关系

解得（3）设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的半径分别为R1和R2

由题意可知，Ⅰ区和Ⅱ区内地磁感应强度大小分别为

；由牛顿第二定律可得，代入解得,设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的周期分别为T1和T2

由运动学公式的：由题意粒子与大圆两次相切时间间隔和运动轨迹如图乙，由对称性可知，Ⅰ区两段圆弧所对圆心角相同，设为θ1

，Ⅱ区所对圆心角为θ2

，圆弧和大圆的两个切点与圆心O连线的夹角为α由几何关系可得;θ1=1200,θ2=1800

α=600.α粒子重复交替运动的H点设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的时间分别为t1和t2,可得：,设粒子运动的路程为S，由运动学公式的联立解得;α12001800例3．（18分）如图所示，两个同心圆是磁场的理想边界，内圆半径为R，外圆半径为R，磁场方向垂直于纸面向里，内外圆之间环形区域磁感应强度为B，内圆的磁感应强度为B/3。t=0时一个质量为m，带－q电量的离子（不计重力），从内圆上的A点沿半径方向飞进环形磁场，刚好没有飞出磁场。（1）求离子速度大小（2）离子自A点射出后在两个磁场间不断地飞进飞出，从t=0开始经过多长时间第一次回到A点？（3）从t=0开始到离子第二次回到A点，离子在内圆磁场中运动的时间共为多少？（4)画出从t=0到第二次回到A点离子运动的轨迹。7、一个美丽的吸顶灯罩（2)离子从A出发经C、D第一次回到A的轨迹如图

在内圆的磁场区域④

得⑤

在内圆转动的周期⑥

由几何关系可知，⑦在内圆转动的时间为⑧解：(1)依题意，外磁场中轨迹与外圆相切，如图

由牛顿第二定律：①

由图中几何关系得解得②

由以上各式得③o2oßo1r2r1ACD在外磁场区域的周期⑨

由几何关系可知，在外磁场偏转一次的偏角为，则离子经历A→C→D→A的时间⑩

解得⑾

(3)从t=0开始到离子第二次回到A点，离子在内圆磁场中共运动6次，时间为⑿

得⒀

(4)轨迹如图

o2oßo1r2r1ACD例1、如图，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于纸面向里，PQ为该磁场的右边界线，磁场中有一点O到PQ的距离为r。现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不同的方向射出，它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带电粒子打在边界PQ上的范围（粒子的重力不计）。分析：从O点向各个方向发射的粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r相同，O为这些轨迹圆周的公共点。O2rPQPQOrO2rrQPMN一、带电粒子在直边界磁场中的运动1.同源等速异向带电粒子在磁场中的运动

PQOO2rrQPMN由于从O点向各个方向发射的带电粒子速度大小相同，在磁场中做匀速圆周运动的半径r相同，O为这些轨迹圆周的公共点。在这个基础上再将边界线PQ复原就可以得到带电粒子打在边界线上的范围。注意:打到边界线上的最上边的点是大圆（虚线）与PQ的交点，打到最下面的点是小圆与PQ的切点。实际上由于带电粒子都带负电，它们在纸面内都是做顺时针方向的匀速圆周运动，边界线右侧没有磁场，粒子穿出PQ线后已飞离磁场，边界右边的轨迹不可能存在，因此打到边界上的范围并不对称。分析：带电粒子的运动受到磁场右侧边界的限制，打在PQ上的范围不易确定。假设磁场没有边界PQO2rO带电粒子能运动到的范围是以O点为圆心，2r为半径的大圆(虚线)。PQ

例2.如图所示，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为d=1.0×10-2m，A板上有一电子源P，Q点为P点正上方B板上的一点，在纸面内从P点向Q点发射速度在0～3.2×107m/s范围内的电子。若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度B=9.1×10-3T，已知电子的质量m=9.1×10-31kg，电子的电量q=1.6×10-19C，不计电子的重力和电子间的相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地，求电子击在A、B两板上的范围。2.同源异速同向带电粒子在匀强磁场中的运动AQPBv分析：本题中电子的速度方向相同，速度大小不同。只需画出半径分别是d和2d的两个特殊圆，所求范围即可求得。BQAPvrm=2d假设电子在无界匀强磁场中运动根据左手定则可以判断：沿PQ方向以大小不同的速度射出的电子均做顺时针方向的匀速圆周运动，这些半径不等的圆均相内切于点P，并与PQ相切，它们的圆心都在过P点的水平直线上。设电子运动的最大轨迹半径为rm因qvB=mv2/rm代入数据得

rm=2d在此基础上再加上直线BQ，AP与BQ相当于磁场的两条边界线代入数据得故电子击中A板P点右侧与P点相距0～2×10-2m的范围，即PH段击中B板Q点右侧与Q点相距2.68×10-3m～1.0×10-2m的范围，即MN段。速度更大的电子打到B板上的点在N点的左侧，设速度最大的电子打在图中大圆与B板相交的位置M，这样电子打在B板上的范围是MN段。由图根据几何关系，有APQBMNH电子速度大小不同，其运动半径也不同。轨迹半径r<d的电子运动半个圆后打到A板上；当电子的运动半径r=d（即图中的小圆）时，轨迹圆正好与B板相切，切点为N，这是电子打到B板上的临界点；运动半径大于d的电子将被B板挡住，不再打到A板上。故PNH所在的圆是电子打到A板上最远点所对应的圆，这样电子打在A板上的范围应是PH段。OyxBv60º例3、如图，在第I象限范围内有垂直xOy平面的匀强磁场B。质量为m、电量大小为q的带电粒子(不计重力)，在xOy平面里经原点O射入磁场中，初速度为v0，且与x轴成60º角，试分析计算：穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？带电粒子在磁场中运动时间多长？如粒子带正电，则：如粒子带负电，则：带电粒子60º120ºyxOvvaB60º练、

一个质量为m电荷量为q的带电粒子（不计重力）从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x正方向成60º的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。Bqmvar32==aqmvB23=得射出点坐标为（0，）a3O′解析：例4．如图，在足够大的屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，P为屏上一小孔，PC与MN垂直。一束质量为m、电荷量为－q的粒子（不计重力）以相同的速率v从P处射入磁场区域，粒子入射方向在与磁场垂直的平面里，且散开在与PC夹角为θ的范围内，则在屏MN上被粒子打中区域的长度为（）qB2mvA.qB2mvcosθB.qB2mv(1-sinθ)C.qB2mv(1-cosθ)D.MNCθθPθθθθD例5、如图，长为L的水平不带电极板间有垂直纸面向内的匀强磁场B，板间距离也为L，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁场以速度v平行极板射入磁场，欲使粒子不打在极板上，则粒子入射速度v应满足什么条件？+q,mvLBL例、如图，若电子的电量e，质量m，磁感应强度B及宽度d已知，若要求电子不从右边界穿出，则初速度v0应满足什么条件？deBv0deBv0r+rcos60º

=ddeBv0变化1：若v0向上与边界成60º角，则v0应满足什么条件？变化2：若v0向下与边界成60º角，则v0应满足什么条件？r－rcos60º

=d练、如图，在POQ区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，有一束正离子流(不计重力)，沿纸面垂直于磁场边界OQ方向从A点垂直边界射入磁场，已知OA=d，∠POQ=45º，离子的质量为m、带电荷量为q、要使离子不从OP边射出，离子进入磁场的速度最大不能超过多少？

POQAv0BAQBPvB代入数据得：3=(2－)dQM

=rm-rm2－d2PH=2d，QN

=d，例、如图，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为d=1.0×10－2m，A板上有一电子源P，Q点在P点正上方B板上，在纸面内从P点向Q点发射速度在0～3.2×107m/s范围内的电子。若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度B=9.1×10－3T，已知电子质量m=9.1×10－31kg，电子电量q=1.6×10－19C，不计电子重力和电子间的相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地，求电子击在A、B两板上的范围。解析：rmrmMNH电子打在A板上的范围是PH段。电子打在B板上的范围是MN段。因qvB=mv2/rm得：rm=2dqaOdbcBv0R1例、如图，一端无限伸长的矩形区域abcd内存在着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。从边ad中点O射入一速率v0、方向与Od夹角θ=30º的正电粒子，粒子质量为m，重力不计，带电量为q，已知ad=L。（1）要使粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围。（2）取不同v0值，求粒子在磁场中运动时间t的范围？（3）从ab边射出的粒子在磁场中运动时间t的范围。R1+R1sin30º=L/2解：（1）得R1=L/3R2R2－R2cos60º=L/2得：R2=L。（1）≥v0≥例、如图，一端无限伸长的矩形区域abcd内存在着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。从边ad中点O射入一速率v0、方向与Od夹角θ=30º的正电粒子，粒子质量为m，重力不计，带电量为q，已知ad=L。（1）要使粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围。（2）取不同v0值，求粒子在磁场中运动时间t的范围？（3）从ab边射出的粒子在磁场中运动时间t的范围。解：（2）qaOdbcBv0R1R2解：（3）≤t≤5m6Bq4m3Bq≤t≤m3Bq5m3Bq练、如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小B=0.6T的匀强磁场，内有与磁场方向平行的板ab，在距ab距离为l=16cm处，有一点状的放射源S向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106m/s，已知

α粒子的电荷与质量之比q/m=5.0×107C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。baSlB即：2R>l>R。P1NP2∴P1P2=20cm解：α粒子带正电，沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径R为例如图所示，在y<

0的区域内存在匀强磁场，磁场方向如图，磁感应强度为B。一带正电的粒子以速度v从O点射入磁场，入射方向在xoy平面内，与x轴正向的夹角为θ。若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子的比荷q/m。xyopθvθθvθ入射速度与边界夹角=出射速度与边界夹角

例、一正离子,电量为q,质量为m，垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与其原来入射方向的夹角是30°，（1）离子的运动半径是多少？（2）离子射入磁场时速度是多少？（3）穿越磁场的时间又是多少？v30°OBθdv答案:双边界磁场（一定宽度的无限长磁场）yxOvvaB60º练一个质量为m电荷量为q的带电粒子（不计重力）从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x正方向成60º的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。Bqmvar32==aqmvB23=得射出点坐标为（0，）a3O′解析：BvO边界圆从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。

带电粒子在圆形磁场中的运动

特殊情形：轨迹圆O′αθθ有用规律二在圆形磁场内,入射速度沿径向,出射速度也必沿径向.从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。

带电粒子在圆形磁场中的运动

一般情形：有用规律三：磁场圆心O和运动轨迹圆心O′都在入射点和出射点连线AB的中垂线上。或者说两圆心连线OO′与两个交点的连线AB垂直。BO边界圆轨迹圆BCAO＇O1Rθ2例如图虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场B。电子束沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，经过磁场区后，电子束运动的方向与原入射方向成θ角。设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间的相互作用力及所受的重力。求：（1）电子在磁场中运动轨迹的半径R；（2）电子在磁场中运动的时间t；（3）圆形磁场区域的半径r。vBOrvθ解：（1）（2）由几何知识得：圆心角：α=θ（3）由如图所示几何关系可知，所以：BvOBqT=2m2t=θT练、如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心O射入这个磁场；结果，这些质子在该磁场中运动的时间有的较长，有的较短，其中运动时间较长的粒子（）

A．射入时的速度一定较大

B．在该磁场中运动的路程一定较长

C．在该磁场中偏转的角度一定较大

D．从该磁场中飞出的速度一定较小θ1R1s1θ2R2s2BqmvR=CD练、某离子速度选择器的原理图如图，在半径为R=10cm的圆形筒内有B=1×10－4

T

的匀强磁场，方向平行于轴线。在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a、b。现有一束比荷为q/m=2×1011C/kg的正离子，以不同角度α入射，其中入射角α=30º，且不经碰撞而直接从出射孔射出的离子的速度v大小是（）

A．4×105m/sB．2×105m/sC．4×106m/sD．2×106m/s解：rmv2qvB=αaObO′rr

作入射速度的垂线与ab的垂直平分线交于O′点，O′点即为轨迹圆的圆心。画出离子在磁场中的轨迹如图示：∠a

O′b=2=60º，则r=2R=0.2mC练、一磁场方向垂直于xOy平面，分布在以O为中心的圆形区域内。质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿x正方向。粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30º，P到O的距离为L。不计重力。求磁感强度B和磁场区域的半径R。基本思路：ByxvOPLv30°Rr解析：2）找出有关半径的几何关系：1）作出运动轨迹；L=3r3）结合半径、周期公式解。qvB=Rmv2qLmvB3=LR33=例3.如图，半径为r=3×10-2m的圆形区域内，有一匀强磁场B=0.2T，一带正电粒子以速度v0=106m/s的从a点处射入磁场，该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计重力则：（1）粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少？（2）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v0与oa的夹角θ表示）？最大偏转角多大？半径确定时，通过的弧越长，偏转角度越大。而弧小于半个圆周时，弦越长则弧越长。思考：若R<r，最大偏角是多少？什么时候偏角最大？baov0B例4.如图所示，在半径为R的圆筒内有匀强磁场，质量为m，带电量为q的带电粒子在小孔A处以速度v向着圆心射入，问磁感强度为多大，此粒子才能从原孔射出？粒子在磁场中的运动时间是多少？（设相碰时电量和动能皆无损失）AOvR

[解析]带电粒子从小孔A射入后，由于洛仑兹力的作用，它将沿圆弧线运动，并将与筒壁碰撞，然后以不变速率反弹回来。根据对称性可以看出粒子与筒壁碰撞时其速度方向一定是沿圆筒半径方向的。粒子与筒壁碰撞次数最少是两次，也可能出现3次、4次、5次……n次碰撞。若粒子经两次碰撞后从A孔射出，设粒子轨道半径为r1，则：若粒子经3次碰撞后从A孔射出，则粒子轨道半径若经n次碰撞后从A射出，则：因为粒子只受洛仑兹力作用做匀速圆周运动,qvB=mv2/rnrn=mv/qB所以思考：粒子做上述运动所需最短时间是多少？

无论经过多少次碰撞，因粒子最终从原孔返回，故粒子在磁场中的各段轨迹圆弧对应的圆心角的总和一定是3600思考？上述解答是基于粒子在筒壁内绕筒壁一周经n次碰撞射出的情况，若粒子在筒壁内绕筒壁一周不能射出呢？（1）设带电粒子在圆筒内绕筒壁k周、与筒壁经n次连续碰撞后仍能从A孔射出，则每连续相邻两次碰撞点所对应的圆心角为α=2kπ/(n+1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，其运动轨迹为(n+1)段圆弧，其轨迹半径为r，由牛顿第二定律qvB=mv2/rnrn=mv/qB设其圆心为O′，连O′A，O′C，如图所示，在直角三角形O′AO中由以上三式联立解之得依题意，所以与k相对应的n的取值范围为n>2k-1的正整数。（2）如图所示，<AOC=θ,而θ+α=π，有所以带电粒子在磁场中运动的时间为将B代入后可得式中k为大于零的正整数，与k相对应的n取大于(2k-1)的一系列正整数。AOvRrO′αθθC三、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动例5、如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场方向垂直纸面向外，右侧区域匀强磁场方向垂直纸面向里，两个磁场区域的磁感应强度大小均为B。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求：（1）中间磁场区域的宽度d;（2）带电粒子的运动周期.B1EOB2Ld带电粒子运动过程分析O1O2O3B1EOB2Ld下面请你完成本题解答由以上两式，可得（2）在电场中运动时间在中间磁场中运动时间在右侧磁场中运动时间则粒子的运动周期为带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律得：O1O2O3B1EOB2Ld解：（1）如图所示，带电粒子在电场中加速，由动能定理得：粒子在两磁场区运动半径相同，三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO1O2O3是等边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为：我们学了什么1.带电粒子进入有界磁场,运动轨迹为一段弧线.3.注意圆周运动中的对称性:(1)粒子进入单边磁场时,入射速度与边界夹角等于出射速度与边界的夹角,并且两个速度移到共点时，具有轴对称性。(2)在圆形磁场区域内,沿径向射入的粒子,必沿径向射出.2.解题的基本步骤为：找圆心——画轨迹——定半径4、解题经验：运动轨迹的半径R往往跟线速度V联系在一起，进而跟磁感应强度B、质荷比q/ml有关。运动轨迹对应的圆心角θ往往跟运动时间t有关。总而言之：几何量用几何方法求。几何量与物理量有关。临界问题1.电性不确定引起的分类讨论问题。2.入射点不确定引起的临界问题。3.出射点不确定引起的临界问题。4.入射速度方向确定、大小不确定，从而使得轨迹多样，并且出射点不确定，引起的临界问题。5.入射速度大小确定，方向不确定，从而引起的临界问题OyxBv60º例、如图，在第I象限范围内有垂直xOy平面的匀强磁场B。质量为m、电量大小为q的带电粒子(不计重力)，在xOy平面里经原点O射入磁场中，初速度为v0，且与x轴成60º角，试分析计算：（1）穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？（2）带电粒子在磁场中运动时间多长？如粒子带正电，则：如粒子带负电，则：一、电性不确定引起的分类讨论60º120º例如下图所示，两块长度均为5d的金属板相距d，平行放置，下板接地，两极间有垂直只面向里的匀强磁场，一束宽为d的电子束从两板左侧垂直磁场方向射入两极间，设电子的质量为m，电量为e，入射速度为v0，要使电子不会从两极间射出，求匀强磁场的磁感应强度B应满足的条件。

5dv0d二、入射点不确定引起的临界问题v0思考:1.假设磁场是无界的,各电子的运动轨迹怎样?2.磁场较小时，轨迹半径较大。哪个电子最有可能从右侧飞出?半径相等的圆所有运动轨迹的圆心在一条直线上最上面的电子3.当磁场很大,运动半径较小，哪个电子最有可能从左侧飞出?依然是最上面的电子综上所述，不管B取什么值，在同一磁场中的电子的运动轨迹的半径都是一样的，只是运动轨迹的位置不同，而且只要最上面的电子不飞出，其他电子都不会飞出。O1O2R1R2①B较大时，R较小，电子恰好从左侧飞出有:②B较小时，R较大，电子恰好从右侧飞出,有:5dd例、如图，长为L的水平不带电极板间有垂直纸面向内的匀强磁场B，板间距离也为L，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁场以速度v平行极板射入磁场，欲使粒子不打在极板上，则入射速度v应满足什么条件？+q,mvLBLO三、出射点不确定引起的临界问题例、如图，在PMN区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，有一束正离子流(不计重力)，沿纸面垂直于磁场边界MN方向从A点垂直边界射入磁场，已知MA=d，∠PMN45º，离子的质量为m、带电荷量为q、要使离子不从MP边射出，离子进入磁场的速度最大不能超过多少？

PMNAv0B四、速度方向确定，大小不确定引起的临界问题O例、如图，若电子的电量e，质量m，斜向上与边界成60º射入磁感应强度B，宽度d的磁场，若要求电子不从右边界穿出，则初速度v0应满足什么条件？斜向下与边界成60º射入时，初速度又应该满足什么条件？deBv0r+rcos60º

=ddeBv0r－rcos60º

=d例、如图，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于纸面向里，PQ为该磁场的右边界线，磁场中有一点O到PQ的距离为r。现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不同的方向射出，它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带电粒子打在边界PQ上的范围（粒子的重力不计）。O2rPQPQOrO2rrQPMN五、速度大小确定，方向不确定引起的临界问题总结:粒子以相同大小，不同方向的速度进入磁场之后的运动轨迹如何?它们的圆心位置有什么特点?①当同种粒子的射入速度大小确定，而方向不确定时，所有轨迹圆是一样的，半径都为R，只是位置不同。②所有轨迹圆绕入射点，向粒子运动方向旋转。③轨迹分布在一个半径为2R的圆形区域内。④所有轨迹圆的圆心在一个半径为R的圆上。练、如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小B=0.6T的匀强磁场，内有与磁场方向平行的板ab，在距ab距离为l=16cm处，有一点状的放射源S向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106m/s，已知

α粒子的电荷与质量之比q/m=5.0×107C/kg

，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。baSlB即：2R>l>R。P1NP2故P1P2=20cm解析：α粒子带正电，沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径R为解题经验1、临界问题，经常是运动轨迹圆与磁场边界相切时为临界状态。2.仔细审题，当电荷的正负不确定、或磁场的方向不确定时，会有两个解。3.注意磁偏转与电偏转的不同。电偏转是抛物线，一去不复返，但是磁偏转是圆，可以向前，也可以回头。特别是在矩形磁场中，既可以从左边飞出，也可以从右边飞出，也就是有两个临界状态。4.对于有多个粒子，或者相当于有多个粒子（如速度大小确定，方向不确定的题型），射入同一磁场时，有界磁场要先假设成无界磁场来研究，这样会得到更多灵感。也就是说，在画运动轨迹圆草图时，必须画完整的圆。O2r模型1：速度方向确定，大小不确定模型2：速度大小确定，方向不确定三种重要的模型Vv0模型3：速度大小、方向确定，入射点不确定极值问题

dm-qAvOαRd

对象模型：质点过程模型：匀速圆周运动规律：牛顿第二定律+圆周运动公式条件：要求时间最短wa==vst