中国矿业大学《高等数学》课件-第九章

中国矿业大学（北京）高等数学推广第九章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用

第九章第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念一、区域1.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径

,也可写成点P0

的去心邻域记为在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.2.

区域(1)

内点、外点、边界点设有点集

E

及一点

P:若存在点P

的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点

P

的任一邻域U(P)既含

属于E中的点也含不属于E则称P为E

的内点；则称P为E

的外点;则称P为E

的边界点.的点,显然,E

的内点必属于E,

E

的外点必不属于E,E

的边界点可能属于E,也可能不属于E.(2)

聚点若对任意给定的,点P

的去心邻域内总有E

中的点,则称P

是E

的聚点.孤立点一定是边界点，内点和非孤立的边界点一定是聚点，即不是聚点又不是孤立点，则必为外点。

所有聚点所成的点集成为E

的导集

.若点但不是E的聚点，即存在某一正数使得则称P

是E

的孤立点.D(3)开区域及闭区域若点集E

的点都是内点，则称E

为开集；若点集E

E

,则称E

为闭集；

若集D

中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,

开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D

是连通的;

连通的开集称为开区域

,简称区域;。。

E

的边界点的全体称为E

的边界,记作E;例如，在平面上开区域闭区域

整个平面点集是开集，

是最大的开域,也是最大的闭域;但非区域.

对平面点集E,若存在正数

r,使一切点PE与坐标原点O的距离OPr,则称

E为有界集

,

无界集

.否则称为*3.n

维空间n元有序数组的全体所构成的集合记作即中的每一个元素用单个粗体字母x

表示,即定义:线性运算其元素称为点或n维向量.xi称为x

的第i

个坐标或第i

个分量.称为n

维空间,的距离定义为中点

a

的

邻域为与零元0

的距离为记作则称x显然趋于a,二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积一定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式定义1.

设非空点集点集D

称为函数的定义域;数集称为函数的值域

.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在

D

上的n

元函数,记作例如,

二元函数定义域为圆域说明:

二元函数

z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面

.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球三、多元函数的极限定义2.

设n

元函数点,则称A

为函数(也称为n

重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有对任意正数

,总存在正数,切例1.

设求证:证:故总有要证例2.

设求证：证：故总有要证

若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:

设P(x,y)沿直线y=kx

趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k

值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例3.

讨论函数函数如果两个二次极限都存在但不相等，则二重极限不存在。若二重极限与一个二次极限存在，则二者必相等。注.二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.例3四、

多元函数的连续性定义3

.

设n元函数定义在D

上,如果函数在D

上各点处都连续,则称此函数在

D

上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点

.则称n

元函数连续.连续,例如,

函数在点(0,0)极限不存在,又如,

函数上间断.

故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：若f(P)在有界闭域D

上连续,则在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)有界闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:解:原式例5.求例6.

求函数的连续域.解:第二节一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数偏导数

第九章定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意:同样可定义对y

的偏导数若函数z=f(x,y)在域D

内每一点

(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数

,记为或

y

偏导数存在,例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x

轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续.上节例在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!例1.

求解法1解法2在点(1,2)处的偏导数.先求后代先代后求例2.

设证:例3.

求的偏导数.解:求证偏导数记号是一个例4.

已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D

内存在偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数

.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y

的一阶偏导数为例5.

求函数解

:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及例如,二者不等则定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n

元函数的高阶混合导数也成立.等函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为可导初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初(证明略)证明

第九章*二、全微分在近似计算中的应用应用第三节一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差本节内容:一、全微分的定义全微分一、全微分的定义

定义:

如果函数z=f(x,y)在定义域D

的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于

x,

y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D

内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D

内可微.(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微当函数可微时:得函数在该点连续偏导数存在函数可微即定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点的偏导数必存在,且有反例:函数易知

但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不一定成立.偏导数存在函数不一定可微

!即:定理2(充分条件)若函数的偏导数则函数在该点可微分.推广:

类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例2.计算函数的全微分.解:

内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续定义思考与练习1.P76题5；P129题1函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.

选择题2.答案:也可写作:当x=2,y=1,△x=0.01,△y=0.03

时△z=0.02,dz=0.03

3.P130题7

设解:同理可得注意:x,y,z

具有轮换对称性

4.在点(0,0)可微.备用题在点(0,0)连续且偏导数存在,续,证:1)因故函数在点(0,0)连续;但偏导数在点(0,0)不连

证明函数所以同理极限不存在,在点(0,0)不连续;同理,在点(0,0)也不连续.2)3)题目4)下面证明可微:说明:

此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目

第九章第五节一、一个方程所确定的隐函数及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数的求导公式1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,

方程C<0时,能确定隐函数C>0时,不能确定隐函数2)方程能确定隐函数时,研究其连续性,可微性及求导方法问题.本节讨论:一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.

设函数则方程连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足②③满足条件导数两边对x求导在的某邻域内则若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则还可求隐函数的

验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个可导隐函数解:

令连续;由定理1可知,①导的隐函数则②③在x=0

的某邻域内方程存在可且并求例1.两边对x求导两边再对x求导令x=0,注意此时导数的另一求法—利用隐函数求导定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确两边对x求偏导同样可得则例2.设解法1利用隐函数求导再对x

求导解法2

利用公式设则两边对x求偏导设F(x,y)具有连续偏导数,解法1利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程故例3.对方程两边求微分:解法2微分法.二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由F、G

的偏导数组成的行列式称为F、G的雅可比行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即雅可比定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组③的连续函数且有连续偏导数，公式为:①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；定理证明略.仅推导偏导数公式如下：(P86)可确定隐函数组则两边对x求导得设方程组在点P

的某邻域内解的公式故得系数行列式同样可得例4.

设解:方程组两边对x求导，并移项得求练习:

求答案:由题设故有例5.设函数在点(u,v)的某一1)证明函数组(x,y)的某一邻域内2)求解:1)令对x,y的偏导数.在与点(u,v)对应的点邻域内有连续的偏导数,且唯一确定一组连续且具有连续偏导数的反函数①式两边对x求导,得则有由定理3

可知结论1)成立.2)求反函数的偏导数.①②②从方程组②解得同理,①式两边对y求导,可得例5的应用:计算极坐标变换的反变换的导数.同样有所以由于内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式.思考与练习设求提示:

解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.作业

P893,6，7,*9,10(1);(3)，11第六节由dy,dz

的系数即可得备用题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,

设解:两个隐函数方程两边对x

求导,得(2001考研)解得因此1.

设是由方程和所确定的函数,求解法1

分别在各方程两端对x

求导,得(1999考研)2.解法2

微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去可得二元线性代数方程组解的公式解:雅可比(1804–1851)德国数学家.他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分中.他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.二、空间曲线的切线与法平面第六节一、一元向量值函数及其导数三、曲面的切平面与法线

多元函数微分学的几何应用

第九章一、一元向量值函数及其导数引例:已知空间曲线的参数方程:的向量方程

对上的动点M,即是此方程确定映射,称此映射为一元向量的终点M

的轨迹,此轨迹称为向量值函数的终端曲线.值函数.

要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向量值函数的极限、连续和导数的概念.定义:给定数集D

R,称映射为一元向量值函数（简称向量值函数）,记为定义域自变量因变量向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关,进行讨论.极限：连续：导数：严格定义见P91因此下面仅以n

=3的情形为代表向量值函数的导数运算法则:(P92)设是可导向量值函数,是可导函数,则C

是常向量,c

是任一常数,向量值函数导数的几何意义:在R3中,设的终端曲线为,切线的生成点击图中任意点动画开始或暂停表示终端曲线在t0处的切向量,其指向与t的增长方向一致.,则设例2.设空间曲线的向量方程为

求曲线上对应于解:的点处的单位切向量.故所求单位切向量为其方向与t

的增长方向一致另一与t

的增长方向相反的单位切向量为=6二、空间曲线的切线与法平面过点M

与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.置.空间光滑曲线在点M

处的切线为此点处割线的极限位给定光滑曲线在点法式可建立曲线的法平面方程利用点M(x,y,z)处的切向量及法平面的法向量均为点向式可建立曲线的切线方程1.曲线方程为参数方程的情况因此曲线在点M处的则在点M的导向量为法平面方程给定光滑曲线为0,切线方程例4.

求曲线在点M(1,1,1)处的切线方程与法平面方程.解：点(1,1,1)对应于故点M处的切向量为因此所求切线方程为法平面方程为即思考:

光滑曲线的切向量有何特点?答:切向量2.曲线为一般式的情况光滑曲线曲线上一点,且有

可表示为处的切向量为则在点切线方程法平面方程有或也可表为法平面方程(自己验证)例5.

求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1

令则即切向量法平面方程即解法2

方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量三、曲面的切平面与法线

设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则

在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线可以证明:此平面称为在该点的切平面.

上过点

M

的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.曲面

在点M的法向量:

法线方程

切平面方程

过M点且垂直于切平面的直线称为曲面在点M的法线.曲面时,则在点故当函数法线方程令特别,

当光滑曲面

的方程为显式

在点有连续偏导数时,切平面方程法向量法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,复习例6.

求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:令所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量即(可见法线经过原点，即球心)1.空间曲线的切线与法平面

切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2)一般式情况.空间光滑曲面曲面

在点法线方程1)隐式情况.的法向量切平面方程2.曲面的切平面与法线空间光滑曲面切平面方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦法向量思考与练习

如果平面与椭球面相切,提示:

设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)1.证明曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:

在曲面上任意取一点则通过此

作业

P1002，4，6，7，10，11，12

设

f(u)可微,第七节证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为2.备用题

证明曲面与定直线平行,证:

曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒1.

求曲线在点(1,1,1)

的切线解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.2.

第九章第七节一、方向导数

二、梯度三、物理意义方向导数与梯度一、方向导数定义:若函数则称在点处沿方向l

(方向角为)存在下列极限:记作为函数在点

处沿方向l

的方向导数.定理:则函数在该点沿任意方向

l

的方向导数存在,证明:由函数且有在点P

可微,得故对于二元函数为,)的方向导数为特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向向角

求函数

在点

P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:

向量

l

的方向余弦为例1.

求函数在点P(2,3)沿曲线朝x

增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P

的切向量为例2.

设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:

方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数例3.二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:

f的最大变化率之值方向导数取最大值：1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P

处的梯度记作(gradient),在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:向量其中称为向量微分算子或Nabla算子.(为方向l上的单位向量)2.梯度的几何意义称为函数f

的等值线或等高线

.则L*上点P处的法向量为举例函数在一点的梯度垂直于该点等值线同样,的等值面(等量面).当其各偏导数不同其上点P处的法向量为称为时为零时,等高线图举例这是利用数学软件Mathematica绘制的曲面及其等高线图,带阴影的等高线图中,亮度越大对应曲面上点的位置越高等高线图带阴影的等高线图

设函数解:(1)点P处切平面的法向量为在点P(1,1,1)处的切平面方程.故所求切平面方程为即(2)求函数f在点P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数.求等值面(2)函数f在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为思考:

f在点P处沿什么方向变化率为0?注意:

对三元函数,与垂直的方向有无穷多例4.3.梯度的基本运算公式例5.证:试证处矢径r的模,三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数量函数)场向量场(向量值函数)可微函数势场(势)如:温度场,电势场等如:力场,速度场等(向量场)注意:

任意一个向量场不一定是势场.已知位于坐标原点的点电荷q

在任意点试证证:利用例5的结果这说明场强:处所产生的电势为垂直于等势面,且指向电势减少的方向.例6.内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微梯度在方向l

上的投影.方向:

f变化率最大的方向模:

f的最大变化率之值•梯度的特点练习P131题

16提示:P1082，3，6，7，8，9，10

作业第八节备用题

1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z

具有轮换对称性(1992考研)指向B(3,－2,2)方向的方向导数是

.在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示:其单位向量为(1996考研)

第九章

一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值多元函数的极值及其求法第八节一、多元函数的极值

定义:

若函数则称函数在该点取得极大值例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有(极小值).提示:

由题设

已知函数(D)根据条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.则()的某个邻域内连续,且A(2003考研)例1.说明:

使偏导数都为0的点称为驻点

.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值

但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故时,具有极值定理2

(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当证明见第九节(P122).

时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数且例2.求函数解:

第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;

讨论函数及是否取得极值.解:

显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为例3.二、最值应用问题函数f

在有界闭域上连续函数f

在有界闭域上可达到最值

最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据例4.解:设水箱长,宽分别为x,ym

,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.例5.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:

设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为

,积最大.为问怎样折法才能使断面面令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制例如,转化方法2拉格朗日乘数法.分析：如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极故极值点必满足记例如,值问题,故有引入辅助函数辅助函数F

称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,

求函数下的极值.在条件例6.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:

设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问得唯一驻点由