新教材高中数学第六章计数原理6.2.36.2.4.1组合与组合数素养检测（含解析）新人教A版选择性

四组合与组合数(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对得3分,有选错的得0分)1.(多选题)下列等式正确的是 ()A.QUOTE=QUOTEB.QUOTE=QUOTEC.QUOTE=QUOTED.QUOTE=QUOTE【解析】选ABC.由组合数公式知A,B,C正确,D中QUOTE=QUOTE,而QUOTE=QUOTE,故D错误.QUOTE-4QUOTE的值为 ()A.0 B.1 【解析】QUOTE-4QUOTE=7QUOTE-4QUOTE=7×QUOTE-4×QUOTE=140-140=0.3.在1,2,3,4,5,6,7这组数据中,随机取出五个不同的数,则数字5是取出的五个不同数的中位数的所有取法种数为 ()A.6 B.12 【解析】选A.根据题意,数字5是取出的五个不同数的中位数,则取出的数字中必须有5,6,7,在1,2,3,4中有2个数字,则不同的取法有QUOTE=6种.4.某社区为预防新冠肺炎疫情反弹,决定从本社区的5男3女骨干干部中,选派2男1女组成一个督查巡视小组,对本社区每天进行巡视督导,则不同的选法共有 ()【解析】选C.从5名男干部中选出2名男干部,有QUOTE=10种选法,从3名女干部中选出1名女干部,有QUOTE=3种选法,则共有10×3=30种不同的选法.5.5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A盒,则不同的放法种数是 ()A.120 B.72 【解析】选C.将甲球放入A盒后分两类:一类是除甲球外,A盒还放其他球,共QUOTE=24种放法;另一类是A盒中只有甲球,则其他4个球放入另外三个盒中,有QUOTE·QUOTE=36种放法,故总的放法有24+36=60种.6.将含有甲、乙、丙、丁等共8人的浙江援鄂医疗队平均分成两组安排到武汉的A,B两所医院,其中要求甲、乙、丙3人中至少有1人在A医院,且甲、丁不在同一所医院,则满足要求的不同安排方法共有 ()【解析】选A.从甲、乙、丙3人在A医院的人数进行分类:若三人中只有一人在A医院,则甲在A医院时有QUOTE=4种方案,乙、丙两人之一在A医院时有QUOTE=12种方案;若三人中只有两人在A医院,则含有甲时有QUOTE=12种方案,乙、丙两人同时在A医院时有QUOTE=4种方案;若三人均在A医院,则有QUOTE=4种方案;所以共有36种安排方案.二、填空题(每小题5分,共10分)7.计算:QUOTE-QUOTE的值为.

【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=35,QUOTE=5×4=20,则QUOTE-QUOTE=35-20=15.答案:15QUOTE=(n+7)QUOTE+3QUOTE,则n=.

【解析】因为5QUOTE=(n+7)QUOTE+3QUOTE,所以5×QUOTE=(n+7)×QUOTE+3×(n+3)(n+2),所以QUOTE=QUOTE+3,由n∈N*,解得n=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.判断下列问题是排列问题,还是组合问题.(1)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个?(2)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,然后把这三个数字相加得到一个和,这样的和共有多少个?(3)5个人规定相互通话一次,共通了多少次电话?【解析】(1)当取出3个数字后,如果改变三个数字的顺序,会得到不同的三位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是排列问题.(2)取出3个数字之后,无论怎样改变这三个数字之间的顺序,其和均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安排顺序无关,是组合问题.(3)甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,无顺序区别,为组合问题.10.某医院有内科医生8名,外科医生6名,现选派4名参加抗击新冠肺炎疫情医疗队,(1)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法?(2)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?【解析】(1)不考虑甲、乙两人,从所有14名医生中选派4名共有QUOTE=1001种;甲、乙两人都没被选派共有QUOTE=495种;故甲、乙两人至少有一人参加,有1001-495=506(种).(2)此时4名医生的组成为:第一类:1名内科医生、3名外科医生,共有QUOTE·QUOTE=160(种);第二类:2名内科医生、2名外科医生,共有QUOTE·QUOTE=420(种);第三类:3名内科医生、1名外科医生,共有QUOTE·QUOTE=336(种);故队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有160+420+336=916种选法.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共15分,多选题全部选对得5分,选对但不全对得3分,有选错的得0分)QUOTE=3QUOTE,则n的值为 ()A.4 B.5 【解析】QUOTE=3QUOTE,所以n(n-1)=QUOTE,即n=6.2.从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动,要求至少有一名女生参加,则不同的选派种数为 ()A.12 B.24 【解析】选C.由题可知:选派4人去的总的选派数为QUOTE=35,选派4人全部是男生的选派数为1,所以至少有一名女生参加的不同的选派种数为35-1=34.3.(多选题)在新高考方案中,选择性考试科目有:物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求,结合自身特长兴趣,首先在物理、历史2门科目中选择1门,再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门,考试成绩计入考生总分,作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目,下列说法正确的是 ()A.若任意选科,选法总数为QUOTEB.若化学必选,选法总数为QUOTEC.若政治和地理至少选一门,选法总数为QUOTED.若物理必选,化学、生物至少选一门,选法总数为QUOTE+1【解析】选BD.若任意选科,选法总数为QUOTE,A错;若化学必选,选法总数为QUOTEB正确;若政治和地理至少选一门,选法总数为QUOTE(QUOTE+1),C错;若物理必选,化学、生物至少选一门,选法总数为QUOTE+1,D正确.二、填空题(每小题5分,共15分)QUOTE+QUOTE=10,则QUOTE=.

【解析】由QUOTE+QUOTE=10得QUOTE+QUOTE=10,化简可得n(n+1)(n-1)=60,解得n=4,所以QUOTE=4×3=12.答案:12QUOTE=QUOTE,则x=.

【解析】因为QUOTE=QUOTE,所以8x-1=4x+7或8x-1+4x+7=12,解得x=2或x=QUOTE,当x=2时,4x+7>12无意义,故舍去.答案:QUOTE6.在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表,表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和.利用这一性质,QUOTE=,QUOTE=.(用数字作答)

【解析】由题中表可知,第7行数字为1,6,15,20,15,6,1,第8行数字为1,7,21,35,35,21,7,1,故QUOTE=10+10=20,QUOTE=20+15=35.答案:2035三、解答题(每小题10分,共30分)7.在下列问题中,哪些是组合问题?哪些是排列问题?(1)从a,b,c,d四名学生中选出2名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法?(2)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场?(3)a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果?【解析】(1)2名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题.(2)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题.(3)争夺冠亚军是有顺序的,是排列问题.8.某市工商局对35种商品进行抽样检查,鉴定结果有15种假货,现从35种商品中选取3种.(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种?(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种?(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种?【解析】(1)从20种真货中选取1件,从15种假货中选取2件,有QUOTE=2100(种).所以恰有2种假货在内的不同取法有2100种.(2)选取2件假货有QUOTE种,选取3件假货有QUOTE种,共有选取方法QUOTE+QUOTE=2555(种).(3)选取3件的种数有QUOTE,因此有选取方法QUOTE-QUOTE=6090(种).所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.9.男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名.选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)队长中至少有1人参加;(4)既要有队长,又要有女运动员.【解析】(1)分两步完成,首先选3名男运动员,有QUOTE=20种选法,再选2名女运动员,有QUOTE=6种选法,共有QUOTE·QUOTE=120种选法.(2)“至少有1名女运动员”的对立事件为“全是男运动员”,从10人中任选5人,有QUOTE=252种选法,全是男运动员有QUOTE=6种选法,所以“至少有1名女运动员”的选法有QUOTE-QUOTE=246种选法.(3)“只有男队长”的选法有QUOTE种,“只有女队长”的选法有QUOT