2023版新高考新教材高考总复习 第3章 函数的概念与基本初等函数

第三章函数的概念与基本初等函数

考情探究

1真题多维细目表

考题考点考向情境载体关键能力考查要求核心素养

2022新高考函数奇偶性与周利用奇偶性求函数学运算

数学原理习得运算求解综合性

I,12期性数值逻辑推理

2022新高考函数奇偶性与周数学运算

利用周期性求值数学原理习得运算求解创新性

n,8期性逻辑推理

2021新高考函数奇偶性与周利用奇偶性求解

数学运算学习运算求解基础性数学运算

I,13期性参数的值

2021全国乙函数奇■偶性与周

判断函数奇偶性数学运算学习运算求解基础性数学运算

理,4期性

2020新高考函数奇偶性与周

解不等式数学运算学习运算求解综合性数学运算

【，8期性

2020新高考函数的单调性与利用单调性求参

数学运算学习运算求解综合性数学运算

11,7最值数的取值范围

2命题规律与备考策略

本章内容一般不会出现单一知识点的考题,常综合综合应用，其次对常见的结论或方法要加强记忆与

函数的单调性、奇偶性、周期性命制.或将函数的性质融理解.例如:①基本初等函数的解析式;②常见函数

人函数的图象进行考查,函数的零点是考查的热点之定义域的求法;③函数解析式的求法;④函数图象的

一,需要结合导数、不等式等知识进行求解.变换；⑤周期函数的常用结论;⑥函数零点的常见求

针对本章的知识特点，备考时首先将学习重点放在法等.最后,要注重函数知识与不等式、方程、导数知

以下几方面：函数的基本性质、二次函数与骞函数、指数识的综合问题.对于函数模型及综合应用则需掌握

函数与对数函数、函数的零点与方程的根、函数模型及解题思路与常见的几类函数模型.

3.1函数的概念及表示

考点清单令竽室用至中知识结构化考点清单化

■考点一函数的有关概念5考点二分段函数

1.函数的定义:一般地,设.4书是非空的实数集，如果对F集合若函数在其定义域的不同子集匕因对应关系不同而分别

4中的一个数%按照某种确定的对应关系/,在集合8中都有用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数

唯一确定的数,和它对应,那么就称/：月一8为从集合.4到集的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数

合B的一个函数，记作.)==/(X),xEA.的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一

2.函数的三要素:定义域、值域和对应关系.个函数.

题型方法会生用书P9题型经典方法实用

一、函数定义域的求法(2)已知函数/(1+cosx)=cos2x-3sin2x+1,则/(x)的解析

1.求给定解析式的函数定义域式为()

以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式A/(.r)=5x2-10.r+2,xe[0,2]

(组)求解;对于实际问题,定义域应使实际问题有意义.B/(x)=5x2-x+1e[-1,2]

2.求某些抽象函数的定义域C/(x)=Zr2+3.r+2,xe[-2,2]

(1)若函数/(.*)的定义域为[〃》],则复合函数〃g(x))的定D/(X)=5X2-10A+2.X€[-1,1]

义域由〃Wg(.t)求出；(3)定义在R上的函数/(.*)满足/(%+l)=3/(x),当OCxCl

(2)若函数/(g(》))的定义域为[明口，则/")的定义域为时./(x)=4(),则当一IW4<0时，/(%)=.

g(%)在％e[°,6]上的值域.(4)已知函数/(x)满足/(9)r：)=2武4X0),贝加-2)

[WT](1)(2019江苏,4,5分)函数尸j7+6x-/的定义域是

(2)已知函数/(x)的定义域为(-1,()),则函数/(2x-2)的定义0解析(1)由题意设/(4)=h+/，,AW0,

域为.W«J/(2)=2^+6./(1)=A+6,/(0)==-k+b,

(2/-(2)-y(l)=5,

®解析(I)要使函数y=/7+6U义.则7+6.LFNO.

*l2f(0)V(-l)=1，

*2

即-6i-7这0,解之得TWA:W7,所以函数y=>/7+6.r-x的|(4A+2/>)-(3A+36)=5.

定义域为[7,7].l2/>-(-Zr+6)=I.

(2”//(力)的定义域为(-1.0)".由-1<2(-2<0,解得解得A=3/=-2,.、/(%)=3x-2,故选C.

(2)因为/(1+cosx)=2cos:x-1-3(1-cos2x)+1=5co『M-3,令1

I..-.函数/(2.L2)的定义域为(十，1).+co»x=/./e[0,2],WOcos#=1,从而得/(，)=5(L1>-3=

“-I0/+2,故/(1)=5/-l(h+2,4W[0,2],故选A.

9答案(1)[T,7](2)(yjj

(3)由-IW4<0得0W#+l<],从而/(、)=y/(.r+l)=

二、求函数解析式的常用方法

g(x+1)[1-(x+I)]=--(x+1)=---y-,故当一]WN<0

1.待定系数法：已知函数的类型，利用所给条件列出方程

(组)，用待定系数法确定系数.

2.配凑法或换元法:已知复合函数/[«(*)]二5(*)的解析式，把

-%)配凑成关于g(约的表达式，再用x代替g(x),称为配凑

(4心心-X)=2①,令-*=>(杼0).则有十=-，.代

法吓:接令g(%)〃,解方程把x表示成关于，的函数.再代H.

称为换元法,此时要注意新元，的取值范I乱

人①可得/(-，)-川：)■，即/(_,)_必(+)=—%，第

3.转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将

三

待定(求)变量转化到已知区间匕利用函数满足的等量关系2i章

由①x.r+②，得2f[-x)=2x'--^f()-r"-----2)-2"函

间接获得解析式.XX

数

4.解方程组法(或赋值法)：已知关于/(“)与/(：)或/Xr)的_1_J_的

概

念

表达式，可通过对自变量赋值构造出不同的等式，通过解方程jr"r7

。答案(1)C(2)A(3)~~(4)y与

组求出/(%).基

[W2](1)已知/(、)是一次函数，邑M2)-"(1)=5,"(())-三、分段函数问题的解题策略本

初

/(-1)=1,则/(%)的解析式为()1.求函数值.弄清自变量所在区间.然后代入对应的解析式.求等

A/(%)=2x+3By(x)=3v+2“层层套”的函数值.要从最内层逐层往外计算.函

数

C/(x)=3x-2D/(x)=2t-32.求函数最值.分别求出每个区间上的最值，然后比较大小，从

19

而得出最值.=1-3a=4,解得。=-1,与a>一，矛盾，舍去；

3.解不等式.根据分段函数中自变量取值范围的界定.代人相

应的解析式求解.当!-aN1,即aW-4~时，)=/(9-")二2i':4,则

4.求参数.分段处理，利用代人法列出各区间上的方程或不

131

等式.——a=2.即a=——，满足aW---.

0z»i

2,]]'若3

{所以〃=-彳.

/（O）=4M=--------.

。答案-y

9解析十十）=2x十

吗即a〉-；时,〃十））=耳；_。）=2X（D〃

五年考点式编排五年考点式编排三年考点基础练一年甄选情境素养

高考高考题组式训练模拟综合提升练创新专家独家命制

2018—2022期2012—2017

各考点一函数的有关概念今学生用书P128A.(-x,-1]B.(0.+8)

1.（21118上海，16,5分，综合性）设O是含数1的有限实数集,C.(-l.O)D.(-x.0)

@答案D

/（*）是定义在〃上的函数，揪x）的图象绕原点逆时针旋转£■后与

62.(20172东文,9,5分，综合性)设/(*)=忤，—若

原图象币:分.则布以下各项中J⑴的可能取值只能是（）l2(x-I)1.

/（"）=/（"+1）,则./«）=

Q答案BC.6

2.（2022北京，11,5分，息础性）函数/（*）=」-+斤7的定义。答案C

X

:‘若

域是.（x-2）\x^a.

。答案（-oo.O）U（O.l]/（1）存在最小值，则“的一个取值为;〃的最大

3（.2020北京，11,5分,基础性）函数/（*）=-5-+ln,v的定义域值为.

#+1◎答案子（[0,1]中任意一个实数都可以，答案不唯一）；1

是.

Q答案（0,+8）4.（202!浙江，12,4分，综合性）已知awR.函数/（#）=

x2-4,.r>2,

4（.2018江苏，5,5分，基础性）函数/（、）=4幅x-l的定义若/（/（而））=3,则"=

域为.IA—31+a.式W2.

@答案[2,+oo）◎答案2

5.（2018课标I文，13,5分，基础性）已知函数〃4）=Iog2（£+5.（2017课标UI.15,5分，综合性）设函数/（*）=

a）.苟X3）=1,则。=.「"W。•则满足/⑴+/1

X>1的x的取值范围

。答案-712'.x>0.~T.

是.

杉考点二分段函数々学生用书P128

5Q答案（一~）

1.（2018课标I文，12,5分，综合性）设函数/（*）=

年

高H则满足/口+口叭入）的*的取值范围是（）

考（1,”>0,

3

年

模

拟

B

版

(

教

师

用

书

)

20

三年考点基础练五年考点式编排三年考点基础练一年甄选情境素养

高考题组式训练模拟综合提升练创新专家独家命制

模拟综合提升练

2020—2022

A组考点基础题组令学生用书P128

/(-2)+f(log6)=()

9考点一函数的有关概念2

1.（2022上海金山一模，2）函数y=logNx-1）的定义域A.2B.6C.81).10

是.&答案B

。答案（1,+8）3.(2022湖南师大附中段考(七)，5)已知函数f⑺=

2.（2022海南三模，13）已知函数/（#）=的定义域为：2,(T)"乜则/(岫12)=()

+8），则〃=.

/(X-1),1>2,

@答案4

A.-r-B.-6C.--D.-3

各考点二分段函数36

1.（2022山东省部分学校2月联考，3）已知函数/（x）=。答案A

*2+]YV0

''若f(a)

{1g%,%>0.

A.2B.9C.65D.513=0,则a=.

。答案A。答案1

(k)g,(6-x),x<1.

2.(2022广东梅州二模，3)设函数/(#)=]；>]则

B组综合应用题组令学生用书P129

G）IO分钟015分

一、单项选择题（每小题5分，共K）分）A.(-1.0)U(0.l)

1.（2022福建漳州二模，7）已知函数/（#）=B.(-x,-l)U(l.+x)

|（,与函数以,）=）（）工的值域相同,则实数“的；C.(-l,0)U(l,+x)

（3'I1).(-x.-DU(O.l)

取值范刖是（）|

◎答案c

A.（-oo.0）B.（-oc,-1j二、填空题(共5分)

D.（-oo,-l]U[2.+x）f-e**>0

3.(2022江苏秦州二调，14)设函数/(x)=|2''若

Q答案Bl/+2x+4,a：W0,

2.（2021福州一中期中,5）设函数/（x）=｛："；；,＜（）若/（“）＞/:(/("))=4.则a=.

◎答案In2

/（-a）,则实数«的取值也围是（）：

一年甄选情境素养五年考点式编排三年考点基础练一年甄选情境素养

创新专家独家命制高考题组式洲练模拟综合提升练创新专家独家命制

学生用书P129

1.（20225-3原创题）若函数）=4-sinx的定义域为R.则

2(2。225・3改编题)设/(")=1/，若/5)=3,则

实数〃的取值范围为（）(log2(x*-l)(x>3),第

A.（-00,-l]B.（-8J]X的值为()三

章

C.[-l,+oc）D.[l,+8）A3B.lC.-3D.l或3函

6）答案D@答案B数

的

概

念

与

基

本

初

等

函

数

21

3.2函数的基本性质

考点清单令学生用书P11知识结构化考点清单化

各考点一函数的单调性与最值2函数的最值

1.单调函数的定义前提设函数］=/(")的定义域为/,如果存在实数时，满足

增函数减函数(1)对于任意xe/.都有

(1)对于任意*e/,都有

一般地，设函数/(%)的定义域为/,区间对于任意的条件

(2)存在/w/.使得

(2)存在/w/,使得/(%)=4/

X|,x2W。，且x,<x2

定义都有/(%)</(&)都有/(*,)»■(.、)结论M是>=/(*)的最大值W是y=/(x)的最小值

/(“)在区间/)上是增函数/(4)在区间〃上是底函敷与考点二函数的奇偶性与周期性

1.函数的奇偶性及图象特点

"尹㈤奇偶性定义图象特点

/引

图象浮J”.)一般地,设函数/(*)的定义域为

描述/,如果都市'rW/.且/

小I1~0~K~X偶函数关于y轴对称

(-X)=/(£),那么函数/(X)是偶

国效

自左向右国象是上升的自左向右图求是下降的

一般地.设函数/(a)的定义城为

如果函数y=/G)在区间。上是增函数或减函数.那么就

/,加果7.¥€，，都有-*€/.且f

说函数y=/(x)在这一区间具布.(严格的)单调性.区间D叫做奇函数关于原点对称

函数),=/(*•)的单湖区间.(r)=m］),那么函数/(l)是

专函救

单调函数的定义有以下两种等价形式

2.与奇偶性仃关的几个结论

V町，町e［4•〃］,且阳力.，

(I)若/(x)是奇函数，且“0)/意义，则”0)=0.(2)若/(4)是

①---------------->0<=>/(.r)在［%6］上是增函数;-----------偶函数，则/(*)=/().(3)奇函数在关于原点对称的区间上

Xj-xx)-x

22的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性

<0u/(1在［"，外上是减函数.

相反.

②(阳-)［/(X\)1>0旬(X)在上是增函数；

3.对于函数/=/(*)>如果存在一个非零常数3使得当x取定

［］在［"»］上是减函数.

/(*l)V(*2)<OU/(X)义域内的任何值时.都有/("7)=/(x).那么就称函数)•=/(“)

为周期函数"为这个函数的周期,如果在周期函数/(«)的所

有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它

的最小正周期.

题型方法々学生用书P12题型经典方法实用

一、函数的单调性及其应用用“和”或“J连接,不能用“U”连接.

1.判断函数单调性(单调区间)的常用方法3.推调性的应用

(I)定义法:先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序(I)比较大小:将自变量转化到同一个单调区间内，利用函数

5

得结论.的单调性比较大小；

年

高(2)图象法:若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可(2)解函数型不等式：例如/(&(#))N/(做工)).利用函数的单

考作出，可由图象的升、降判断它的单调性或写出单调区间.调性脱去“/”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与

3g(x)

年(3)复合函数法:根据“同增异减”判断，即内外层函数的单调6(*)的取值应在外层函数的定义域内；

模件相同时，为增函数，单调性不同时为减函数.(3)求参数值或取值范围：利用函数的单调性构建参数满足的

拟

(4)导数法：先求导，再利用导数的正负.确定函数的单调性方程(组)、不等式(组)，从而求解.

B(区间).4.分段函数的单调性

版(5)性质法:①在公共定义域内，增+增=增，减+减二减.增-减分段函数在定义域上单调时，不但要求各段上函数的单调性一

(二增,减-增二减；致，而且要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致，即如

教

②已知/(“)单调递增，若.则伙x)单调递增；若A<0,则

师果/(X)='若f(%)在R上递增，则在满足g(X)在

\h(x),x^x,

用软”)单调递减.n

书2.求函数的单调区间(-x./)上递增.6(翼)在［/，+8)上递增的同时还应满足

)

先求定义域,再在定义域内求单调区间.单调区间不连续时，要g(x0)(父o)；若/(工)在R［二递减，则在满足g(%)在(-8,

22

“0)上递减小(欠)在[3,+8)上递减的同时还应满足g(#o)N®解析(I)设g(X)=«sinx+b^/x+C*,.TeR,则g(-x)=

«sin(-x)+/>~/-x+c(-x)=-asinx-h^fx-cx=-(«sinx+b^/x+cx)

酗(1)已知定义在R上的函数/(工)=2右+1(£1i)为偶

/71=-g(x),

函数，记。=/(1%2),6=/(log4),C=/(2m),则。,6,C的大小关

;故g(-x)=-g(工).即函数g(x)为奇函数.

系为()又因为/(In2)=g(ln2)+l=4,

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<b[).c<b<a所以g(ln2)=3.

(2)(2020课标口文，10,5分)设函数/(x)=/一!.则/(x)又因为ln：=-ln2,故/(ing)=/(-ln2)=g(-ln2)+1

V

()-g(In2)+1=-3+1=-2,B|J/^ln=-2,故选

A.是奇函数,且在(0,+8)单调递增C.

B.是奇函数，且在(0.+8)单调递减(2)解法一：当x<0时.-x>0,则/(-2=丁-1,又：/(")是奇

C.是偶函数，且在(0,+8)单调递增函数.；./(*)="-*)=-(e-'-l)=-er+L故选D.

D.是偶函数，且在(0,+8)单调递减解法二：(特值法)令工=-1,则/(-1)=»(1)=-(e'-1)=

。解析(1)•「定义在R上的函数/(工):2"-*'+1(mwR)为-e+1,结合选项知.只有D正确.

偶函数,=0,.•./(%)=2"+1,易知当“€(-8.0)时，/(、)(3)Vin2>0,.-.-In2<0,.-./(-ln2)=-e*""=-e"'"?.夕(彳)是奇

是减函数；当XG(0,+8)时，/(第)是增函数.<a=f{log,2)=函数.2)=-f(\n2)=-8,即e""2=8,.-.-«ln2=In8=

/(I),%=./'(睡24)=/(2),r=/(2m)=/(0),且0<1<2,/.c<a<b,31n2,

故选B./.a=-3.

(2)解法一:由函数>=?和y=T•都是奇函数，知函为Xx)=。答案(1)C(2)D(3)-3

三、函数的周期性问题的求解策略

*'-4■是奇函数.由函数y=£和尸一■都在区间(0,+8)上单1.周期函数的几个结论

XX;周期函数),=/(*)满足：

调递增，知函数/(X)=尸--V在区间(0,+8)上单调递增，故函:(I)若/(x+")=/(x-a),则函数的周期为2«；

V；(2)若/(x+")=7X).则函数的周期为2«；

数/(*)=J--V是奇函数，且在区间(0,+8)上单调递增.故：(3)若/(x+a)=-」<(/(*)#0),则函数的周期为2a;

X

选A.[(4)函数/(*)的图象关于汽线.r="与"=对称，那么

解法二:函数/(.*)的定义域为(-8,0)U(0,+8),大于原点对称,:函数/(*)的周期为

：(5)若函数/(x)的图象关于点(”.0)对称.且关于点(/),0)对

/'(-%)=(-#)3—二1=_/+==_/(x),故/(x)=/--是奇函

(-«),X'X:称.则函数/(*)的周期是2U,-M；

3：(6)若函数/(x)的图象关于立线x="对称，且关于点(/,,())对

数・••/■)=短+丁>°，・'・/(》)在区间(°，+8)上单谢递增.故选A.