(完整版)三角函数知识点总结

(完整版)三角函数知识点总结三角函数知识要点：1.角度集合：①与角度α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：β|β=k×360°+α，k∈Z②终边在x轴上的角的集合：β|β=k×180，k∈Z③终边在y轴上的角的集合：β|β=k×180+90，k∈Z④终边在坐标轴上的角的集合：β|β=k×90°，k∈Z⑤终边在y=x轴上的角的集合：β|β=k×180°+45°，k∈Z⑥终边在y=-x轴上的角的集合：β|β=k×180°-45°，k∈Z2.角度关系：⑦若角度α与角度β的终边关于x轴对称，则α=360°k-β⑧若角度α与角度β的终边关于y轴对称，则α=360°k+180°-β⑨若角度α与角度β的终边在一条直线上，则α=180°k+β⑩角度α与角度β的终边互相垂直，则α=360°k+β±90°3.角度与弧度的互换关系：360°=2π，180°=π，1°=0.01745≈57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。4.弧长与扇形面积公式：弧长公式：l=|α|×r扇形面积公式：s=lr=|α|×r²5.三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P(x,y)，与原点的距离为r，则sinα=y/r；cosα=x/r；tanα=y/x；cotα=x/y；secα=r/x；cscα=r/y。6.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）7.三角函数线：正弦线：MP；余弦线：OM；正切线：AT。8.重要结论：|sinx|>|cosx|。三角函数的定义域：对于三角函数f(x)=sinx、f(x)=cosx、f(x)=tanx、f(x)=cotx、f(x)=secx、f(x)=cscx，它们的定义域分别为{x|x∈R}、{x|x∈R}、{x|x∈R且x≠kπ+π，k∈Z}、{x|x∈R且x≠kπ，k∈Z}、{x|x∈R且x≠kπ+π/2，k∈Z}、{x|x∈R且x≠kπ，k∈Z}。同角三角函数的基本关系式：sin²α+cos²α=1，tanα·cotα=1，cscα·sinα=1，secα·cosα=1。诱导公式：将kπ±α的三角函数化为α的三角函数，可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”。三角函数的公式：对于sinx、cosx、tanx、cotx，有一些基本关系式和角与角之间的互换公式。其中，基本关系式包括sin²x+cos²x=1，tanx=sinx/cosx，cotx=cosx/sinx，cscx=1/sinx，secx=1/cosx。角与角之间的互换公式包括cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ和sin2α=2sinαcosα。cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβcos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβtan2α=sin2α/(1-cos2α)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)cos2(π-α)=sin²αsin(π-α)=cosαcos(π-α)=-cosαsin2(π-α)=sin²αcos(π+α)=-sinαsin(π+α)=-sinαcos(α+β)=2cosαcosβ-cos(α-β)sin(α-β)=2cosαsinβ-sin(α+β)sin15°=cos75°=(6-2)/4sin75°=cos15°=(6+2)/4tan15°=cot75°=2-√3tan75°=cot15°=2+√3正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：函数名定义域值域周期性奇偶性单调性y=sinxR[-1,1]2π奇函数周期内单调增加，周期外不单调y=cosxR[-1,1]2π偶函数周期内单调减少，周期外不单调y=tanxRRπ奇函数每个周期内单调增加，周期外不单调y=cotxRRπ奇函数每个周期内单调减少，周期外不单调y=Asin(ωx+φ)R[-A,A]2π/ω非奇非偶周期内单调变化，周期外不单调注意事项：1.删除了明显有问题的第二段；2.对每段话进行了小幅度的改写，使其更加通顺易懂。文章已修改如下：注意：①函数y=-sinx与y=sinx的单调性正好相反；y=-cosx与y=cosx的单调性也同样相反。一般地，若y=-f(x)，则y=-f(x)在[a,b]上递减（增），y=f(x)在[a,b]上递增（减）。②函数y=sinx与y=cosx的周期均为π。③函数y=sin(ωx+φ)或y=cos(ωx+φ)（ω≠0）的周期T=2π/ω。④函数y=sin(ωx+φ)的对称轴方程为x=kπ+π/2（k∈Z），对称中心为(kπ,0)；函数y=cos(ωx+φ)的对称轴方程为x=kπ（k∈Z），对称中心为(kπ+1/2π,0)；函数y=tan(ωx+φ)的对称轴方程为x=kπ/2（k∈Z），对称中心为(kπ/2,0)。⑤当tanα·tanβ=1，α+β=kπ+π/2（k∈Z）；当tanα·tanβ=-1，α-β=kπ+π/2（k∈Z）。⑥函数y=cosx与y=sinx+2kπ是同一函数，而函数y=sin(ωx+φ)是偶函数，则y=sin(ωx+φ)=sin(ωx+kπ+π)=±cos(ωx)。⑦函数y=tanx在某些单调区间上为增函数，但在整个定义域上并非增函数。定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件，但不是充分条件。奇偶性有两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数为f(-x)=f(x)，奇函数为f(-x)=-f(x)。奇偶性的单调性为奇同偶反。例如，y=tan(x)是奇函数，y=tan(x+π)是非奇非偶（定义域不关于原点对称）。奇函数有特有性质：若x∈定义域，则f(x)一定有f(-x)=-f(x)（若x不在定义域，则无此性质）。y=sin(x)不是周期函数，y=sin(x)为周期函数（T=π），y=cos(x)为周期函数（T=π），y=cos(x)是周期函数（如图）。并非所有周期函数都有最小正周期，例如y=cos(2x)+1/2的周期为π（如图）。若f(x)=5，则f(x+k)=5，其中k∈R。三角函数图象的作法有几何法、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线），以及利用图象变换作三角函数图象。三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等。函数y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|，周期T=2π，频率f=1/|ω|，相位为ωx+φ，初相为φ（即当x=|ω|T/2π时的相位）。当A>0，ω>0时，以上公式可去绝对值符号。通过振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换，由y=sin(x)的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|>1）或缩短（当0<|A|<1）到原来的|A|倍，得到y=Asin(x)的图象（用y/A替换y）。通过周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换，由y=sin(x)的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0<|ω|<1）或缩短（|ω|>1）到原来的|1/ω|倍，得到y=sin(ωx)的图象（用ωx替换x）。通过相位变换或叫做沿x轴方向的平移，由y=sin(x)的图象上所有的点向左（当φ>0）或向右（当φ<0）平行移动|φ|个单位，得到y=sin(x+φ)的图象（用x+φ替换x）。通过沿y轴方向的平移，由y=sin(x)的图象上所有的点向上（当b>0）或向下（当b<0）平行移动|b|个单位，得到y=sin(x)+b的图象（用y+(-b)替换y）。反三角函数是指将三角函数的结果作为自变量，求出使结果为该自变量的角度值。其中，反正弦函数记作y=arcsinx，定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。反余弦函数记作y=arccosx，定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。反正切函数记作y=arctanx，定义域为(-∞,+∞)，值域为[-π/2,π/2]。反余切函数记作y=arcctgx，定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,π]。需要注意的是，反三角函数具有特殊的性质。例如，反正弦函数是奇函数，反余弦函数非奇非偶，反正切函数是奇函数，反余切函数非奇非偶。此外，反余弦函数有一个重要的性质，即arccos(-x)+arccos(x)=π+2kπ，其中k为整数。反正切函数和反余切函数也有类似的性质。在使用反三角函数时，需要注意其定义域和值域的限制。例如，反正弦函数的定义域为[-1,1]，如果超出这个范围，就不存在反正弦函数。因此，需要对函数的定义域进行限制，以保证函数有意义。一、三角函数的性质和解集①cot(arccotx)=x，x∈(-∞,+∞)。②y=arcsinx和y=arcsin(1-x)互为奇函数，y=arctanx同理为奇，而y=arccosx和y=arccotx非奇非偶，但满足arccos(-x)+arccosx=π+2kπ，x∈[-1,1]，arccotx+arccot(-x)=π+2kπ，x∈[-1,1]。⑵正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a的取值范围解集a的取值范围解集①sinx=a的解集a>1∅=1{x|x=2kπ+arcsina，k∈Z}<1{x|x=kπ+(-1)karcsina，k∈Z}②cosx=a的解集a>1∅=1{x|x=2kπ+arccosa，k∈Z}<1{x|x=kπ±arccosa，k∈Z}③tanx=a的解集：{x|x=kπ+arctana，k∈Z}，cotx=a的解集：{x|x=kπ+arccota，k∈Z}。二、三角恒等式组一sin(2n+1)α=ncosαcos2αcos4α...cos2nα=(n+1/2)sinα组二sin3α=3sinα-4sin3α，cos3α=4cos3α-3cosαsin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β)=cos2β-cos2αΠcos2kα=cosαcos2αcos4α...cos2nα=sinα/2nsin2nαΣcos(x+kd)=cosx+cos(x+d)+...+cos(x+nd)=sin((n+1)d)cos(x+nd)/sin(d)Σsin(x+kd)=sinx+sin(x+d)+