-中考数学圆切线的证明题题集(冲刺)

-中考数学圆切线的证明题题集(冲刺)1.已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连结DE、BE，且∠C=∠BED。（1）证明：AC是⊙O的切线。（2）已知OA=10，AD=16，求AC的长度。2.如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点。证明：GE是⊙O的切线。3.如图是⊙O的直径，∠A=30°，延长OB到D使BD=OB。（1）说明：ABC不是等边三角形。（2）证明：DC是⊙O的切线。4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点，交AD于点G，交AB于点F。（1）证明：BC与⊙O相切。（2）已知∠BAC=120°，求∠EFG的度数。5.如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°。（1）证明：CD是⊙O的切线。（2）已知⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积。6.在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O于点D。（1）求线段AD的长度。（2）说明：当点E在AC上时，直线ED与⊙O相切。7.如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=6，AB=8。以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。（1）证明：直线EF是⊙O的切线。（2）求sin∠E的值。8.如图，直线l与⊙O相交于A、B两点，且与半径OC垂直，垂足为H，已知AB=16cm，cos∠OBH=4/5。（1）求⊙O的半径。（2）说明：将直线l向下平移到与⊙O相切的位置，平移的距离为4cm。9.如图，⊙O的直径AB=4，C、D为圆周上两点，且四边形OBCD是菱形，过点D的直线EF∥AC，交BA、BC的延长线于点E、F。（1）证明：EF是⊙O的切线。（2）求DE的长度。10.如图，已知矩形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径。点E、F分别为线段AB、BC的中点，点O为⊙O上一点。（1）说明：OE是⊙O的切线。（2）求证：OF也是⊙O的切线。（2）小改写：在⊙O上，点N是点C通过沿BD所在直线翻折得到的，且BN与AD相交于点M，使得∠AMB=60°，⊙O的半径为3cm。求点O到线段ND的距离，并过点A作BN的平行线EF，判断直线EF与⊙O的位置关系并说明理由。2、（1）小改写：在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G。判断直线FC与⊙O的位置关系并说明理由，若OB=BG=2，求CD的长。3、（1）小改写：在△ABC中，∠BCD=∠A=30°，点D在半径OB的延长线上。试判断直线CD与O的位置关系，并说明理由。若O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积（结果保留π和根号）。4、（1）小改写：已知在矩形ABCD中，点E在对角线AC上，以OA长为半径的圆与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE。判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论。若tan∠ACB=2，BC=2，求⊙O的半径。5、（1）删除有问题的段落。（2）小改写：以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，且AB=AF·AC，cos∠ABD=3/5，AD=12。证明△ANM≌△ENM，证明FB是⊙O的切线，证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S。6、（1）小改写：在△ABC中，∠ABC=90，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F。证明ED是⊙O的切线。（2）小改写：若CF=1，CP=2，sinA=4/5，求⊙O的直径BC。已知四边形ABCD中，AD⊥BC，AE平分∠BAD，且OA=OE，求证BC是⊙O的切线。解：由AE平分∠BAD可得∠BAE=∠DAE（1）。又由OA=OE，得∠OAE=∠OEA（2）。结合（1）可得∠OEA=∠DAE，即OE∥AD（3）。又因为OE⊥AD，所以OE⊥BC（4）。根据切线定理可知BC是⊙O的切线（5）。又已知AB=AC，∠BAC=120°，求证∠EDC=∠OCD。解：由AB=AC可得∠B=∠C=30°（1）。又因为OA=OC，所以∠OCD=∠ACD-∠A=90-30=60°（2）。结合（1）可得∠ADC=∠ACB=30°。由于DE是Rt△ADC的中线，所以ED=EC，即∠EDC=∠ECD（3）。又因为∠OCD=60°，所以∠EDC=∠OCD（4）。因此，得证∠EDC=∠OCD。又已知Rt△ACB中，AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，求图中阴影部分的面积。解：由勾股定理可得AB=5cm（1）。连接CD，因为BC为直径，所以∠ADC=∠BDC=90°（2）。又因为∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，所以Rt△ADC∽Rt△ACB（3）。根据相似三角形的性质可得AC/AD=AB/AC，即AD=9/5cm（4）。当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切（5）。由于CD是⊙O的切线，所以∠OCD=90°。又因为∠OCD=∠ACD-∠A=60°，所以∠ACD=150°（6）。所以扇形OBC的面积为60π/360×22=11π/3（7）。由正切函数可得tan60°=√3，所以CD=2/√3cm（8）。因此，Rt△OCD的面积为(2/√3)×(9/5)=18/√3cm²（9）。所以图中阴影部分的面积为11π/3-18/√3cm²（10）。(1)根据题目给出的证明过程，将符号“∴”改为“所以”，将符号“∵”改为“因为”，并将“∠”改为“∟”；改写为：“因为OC=OD，所以∟ODC=∟OCD。因为AC=BC，所以∟CBA=∟A。因此，∟ODB=∟A。因为OD∥AC，所以∟ODE=∟CFE。因为DF⊥AC于F，所以∟CFE=90°。所以∟ODE=90°，因此OD⊥EF。因此，EF是⊙O的切线。”(2)将“设CG=x”改为“设CG=y”，将“∴sin∠E…”改为“因为sin∟GBC=CG/BC，所以CG=BC×sin∟GBC=6×sin30°=3。”改写为：“设CG=y，因为sin∟GBC=CG/BC，所以CG=BC×sin∟GBC=6×sin30°=3。因此，y=6-3=3。在Rt△BGA中，BG=AB-AG=8-(6-y)=2+y。在Rt△BGC中，BG=BC-CG=6-y。因此，2+y=6-y，解得y=2/2=1。因此，CG=1，BC=6，所以BG=5。因为BG∥EF，所以EF=BG=5。”(3)将“∴HB=”改为“因为HB=”，将“……”改为“……所以HB=4，OB=10/√5。在Rt△OBH中，OH=√(OB²-HB²)=6，所以CH=10-6=4。因此，将直线l向下平移4cm即可与⊙O相切。”(4)将“∴ODDE=”改为“因为ODDE=”，将“……”改为“……所以ODDE=2×tan60°=2√3。”(5)将“∠”改为“∟”，将“四边形”改为“矩形”，将“菱形”改为“平行四边形”；改写为：“因为AB是⊙O的直径，所以∟ACB=90°。因为四边形OBCD是平行四边形，所以∟ODD'E=∟ODD=60°。在Rt△ODD'中，OD'=OD/2=5，所以D'E=OD'×tan∟EOD'=5×tan60°=5√3。因为∟C=90°，所以∟N=90°。因为ABCD是矩形，所以∟NBD=∟C=90°。因此，∟OGD=90°。因为OD∥BN，所以OG∥BD。因为∟OGD=∟NBD=30°，所以∟OGN=60°。在Rt△OGN中，OG=GN×tan∟OGN=5√3/3，所以GN=5√3/3×√3/√2=5/√2。因此，MN=2GN=5√2。”在直角三角形ODG中，根据余弦定理，cos30°=OD/OG，且OD=3，解得OG=6/√3=2√3(cm)。另一种方法是过点O作BD的中线OG，根据中线定理可得OG=BN/2，又因为四边形ABCD是矩形，所以BD是⊙O的直径，OD=3，解得BD=6。在直角三角形BND中，根据余弦定理，cos30°=BD/BN，解得BN=6√3/2=3√3(cm)，代入OG=BN/2中可得OG=3/√3=√3(cm)。直线FC与⊙O相切的理由是OA=OC，所以∠1=∠2，又由翻折可得∠1=∠3，所以∠2=∠3，又因为OC∥AF，所以∠OCG=∠F=90°，因此直线FC与⊙O相切。在直角三角形OCG中，根据正弦定理，sin60°=CG/OC，解得CG=√3，又因为OC=1，所以OG=√(CG²+OG²)=√(3+1)=2(cm)。在直角三角形OCE中，根据正弦定理，CE=OC*sin60°=√3，代入CD=2CE中可得CD=2√3，因此S△COD=OC*CD/2=3/2，S扇形OCB=π/6，代入公式可得S阴影=3/2-π/6=13π/12。注意：文章中有些符号可能无法在此处正确显示，如有疑问请参考原文。13.(1)证明：连接OE，由四边形ABCD为矩形可得BC∥AD，∠ACB=∠DAC，又∵∠ACB=∠DCE，因此∠DAC=∠DCE。又∵∠DCE+∠DEC=90°，因此∠AEO+∠DEC=90°，从而∠DEC=90°，所以CE与⊙O相切。(2)由tan∠ACB=AB/BC=2/BC可得BC=2，AC=6。又∠ACB=∠DCE，因此tan∠DCE=2/2，从而DE=DCtan∠DCE=3。在直角三角形CDE中，CE=√(CD²+DE²)=3，连接OE，设⊙O的半径为r，则在直角三角形COE中，CO²=OE²+CE²，即(6-r)²=r²+3²，解得r=2。14.(1)由OD、BD、DE均与O相切可得DE=1/2BC=BE，又由AB为直径可得∠EDO=∠ADB=90°，因此DE平分CB，从而∠EDB=∠EBD。又∠ODB=∠OBD，因此∠ODB+∠EDB=90°，从而∠OBD+∠DBE=90°，即∠ABC=90°。因此BC与O相切。(2)当△ABC为等腰直角三角形时，有A