数列大综合题10道练习

试卷第=page11页，总=sectionpages33页试卷第=page11页，总=sectionpages33页数列大综合题10道练习一、解答题1．已知等比数列中，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足求的前n项和2．已知数列满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）证明：对，.3．在等差数列中，，．（1）求；（2）设，求数列的前项和的取值范围．4．已知数列中，，数列满足（1）求证:数列是等差数列;（2）求数列中的通项公式5．已知数列{an}和{bn}满足，a1＝2，（n∈N*），bn＝n.（1）求an；（2）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.6．已知数列的前n项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．7．设数列的前n项和是，且.（1）求证：数列为等差数列；（2）若且数列也为等差数列，试求的的值；（3）设，且恒成立，求证：存在唯一的正整数n，使得不等式成立.8．数列的前n项和为，已知．（Ⅰ）证明，数列的等比数列；（Ⅱ）求证：．9．已知为等差数列的前n项和，给出以下三个条件：①；②；③.从上面①②③三个条件中任选一个解答下面的问题.（1）求及；（2）设，数列的前n项和为，证明：.10．已知数列的各项均为正数，对任意的，它的前n项和满足，并且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求.答案第=page11页，总=sectionpages22页答案第=page11页，总=sectionpages22页参考答案1．（1）；（2）.【分析】（1）设等比数列的公比为，则，即，可求出，得出答案.

（2）由（1）有，然后分组利用等差数列和等比数列的前n项和公式可求和.【详解】解：（1）设等比数列的公比为，又则由于是和的等差中项，得，即，解得所以，（2）2．（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）先由递推公式结合题中条件，得到，判断出数列是等差数列，求出通项，即可得出结果；（2）先由（1），根据裂项的方法，得到对1，2，3…，进而可求出，即证明结论成立.【详解】（1）由可得，∵，∴，依此类推，∴，∴，∴数列是首项为2，公差为1的等差数列，∴，即，（2）证明：，故对1，2，3…，∴.【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型，其中是公差为的等差数列；（2）无理型；（3）指数型；（4）对数型.3．（1）；（2）．【分析】（1）根据已知项，结合等差数列通项公式求，，写出通项公式即可.（2）由题意得，利用裂项求和法求数列的前项和，应用极限思想即可求的取值范围．【详解】（1）在等差数列中，，，∴依题意可知解得，，故．（2）∵，则．∴，显然增大，趋向无穷大，变小，并且趋向0，而当时取最小值，∴．4．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）当时，由结合等差数列的定义即可得证；（2）由等差数列的通项公式可得，运算即可得解.【详解】（1）证明：因为当时，，，所以，又，所以，所以数列是以为首项，公差为的等差数列；（2）由（1）知，，所以，所以.5．（1）；（2）．【分析】（1）由条件可知数列是等比数列，根据基本量求通项公式；（2）由（1）可知，根据错位相减法求和.【详解】（1）由，，可知是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由（1）知，，故①，②①—②得所以．6．（1）；（2）【分析】（1）利用，，可得为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求得通项公式；（2）利用错位相减法求和即可求．【详解】（1）当时，，解得，当时，由可得，两式相减可得，即，所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以（2）由（1），，则，两式相减得，所以．【点睛】方法点睛：由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力.7．（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）令求得首项1，当时，将换为，两式相减可得，再将换为，两式相减，结合等差数列的中项性质，即可得证；（2）设数列的公差为，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的极限公式，计算可得所求值；（3）由，可得的不等式组，解不等式即可判断存在性．【详解】解：（1）证明：当时，，即，即，当时，，又，两式相减可得，①将上式中的换为，可得，②①②可得，，所以数列为首项为1的等差数列；（2）设数列的公差为，则，，由于数列也为等差数列，可得，即，解得，则，，则；（3）证明：由，且恒成立，又，可得，整理可得，解得，由于，且，因此存在唯一的正整数，使得不等式成立．【点睛】本题考查数列的递推式的运用、等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，以及数列极限的求法和存在性问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力．8．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【分析】（Ⅰ）由得出的递推关系，然后再凑配出关系式，最后再验证与也适合此关系，即可证；（Ⅱ）求出后，把放大为，然后求得和后可证不等式成立．【详解】（Ⅰ）首先，又∵，∴，即，，又，∴，∴数列是等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，时，∴．【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的证明，考查数列不等式的证明．证明方法是放缩法．证明等比数列时要注意由已知关系得出的中有，因此需验证，否则易出错．数列不等式的证明常常需要用放缩法把求和的每一项（有时第一项除外）进行放缩，放缩的目的是和易求．9．（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）若选①：利用等差数列性质可求得，由此求得公差，根据等差数列通项公式和求和公式可求得结果；若选②：利用等差数列通项公式表示出，由此求得公差，根据等差数列通项公式和求和公式可求得结果；若选③：利用等差数列通项公式表示出，由此求得公差，根据等差数列通项公式和求和公式可求得结果；（2）根据（1）的结论得到，采用裂项相消法可求得，根据的单调性可证得结论.【详解】（1）若选①：设等差数列的公差为，，；，，，，则，.若选②：设等差数列的公差为，，，，.若选③：设等差数列的公差为，，即，，解得：，，.（2）由（1）得：，递增，递增，递增，，又，，，综上所述：.【点睛】思路点睛：本题考查等差数列通项和前项和的求解、裂项相消法求解数列的前项和的问题；对于通项公式的数列，可裂项为，前后相消即可求得前项和.10．（1）；（2）.【分析】（1）利用可得，再结合题意即可得出通项公式；（2）利用并项求和的方法可以求出.【详解】（1）∵对任意，有①∴当时，有，解得或2.当时，有②，①-②并整理得.数列的各项均为正数，∴.数列是公差