高三总复习-数列不等式题型(含答案)

需要定做，可在百度店铺咨询需要定做，可在百度店铺咨询一对一辅导教案学生姓名性别年级高三学科数学授课教师上课时间2020年第（）次课2小时教学课题数列的综合问题【数列与不等式：放缩法】1<1+1+…+1<1(k>2)【数列变相同项】求证：孑"+2"证.1<1<1(lr-2-^)2fin+k科+1111111111/.+4---+<41-<+4---4,2n2jt2hfi+122n川+1m+1用+1即1<1+1十…十1<<12w+1n+22n”+l1【裂项不等式-乘法缩小】求证：1+丄+丄+••丄<2(neN)2232n2+证明:v1<1=1—\n>2)n2n(n一1)n一1n“111—11111c1c1+——+——+…+——<1+1一一+—一一+…+一一=2一一<22232n2223n一1nn【裂项不等式-移位套变】求证：1+[+1++丄<7122232n241111证明：n2<n(n-1)n-1n….1.11111」111A5117..—+^—+—++—<1+—+(—一一++一一)=—+(—一一)<—.122232n22223n-1n42n4••••••115+<一n23【裂项不等式-平方差裂项】已知数列｛a｝中a—丄，证明：S—1+1+1nnn2n122232c_111n12223251111<一+—(一+42231111111(+)+(——+———+122222435、51」1、_5nn+142233c_111n12223251111<一+—(一+42231111111(+)+(——+———+122222435、51」1、_5nn+1422331」1、1」+<n21L-1+」一1放缩三：一＜n21_1_(丄n2-(n+—)(n-—)n-—42221T

n+—2)_2(12n-12n+1)，(“>】)S-丄+丄+丄+丄<1+2(1-1+1-1+

n122232n235571)-1+2(1-丄)<532n+1323厂【裂项不等式-倍数变化缩小法】求证：1+宕+迂+…+计＜3(n>2,ngN)—;——=<=,■n2n•、nn<；n+n、［n(n-1)vn+n^n-12(Jn-Jn—1)—2(1-丄)Jn(n—1)(、：n—1+耳n)n(n—1)n—1丨n•1+.逼+迈+…+卫<1+2(1-丄+丄-丄+…+12232n2迈迈上1、c1om厉)—-v<【根式不等式-加减变化】求证：巴2卫＜＜1-2+i2-3+…+Jn(n+1)＜2(n+1)2.(ngNJ证明：•Jn(n+1)>tn2—n.•J1-2+、；2-3+•…+,n(n+1)>1+2+•…+n二"+1)n+n+12n+1又“n(n+1)<二・・+*丽莉<丄(3+5+…+2n+1)=巴旦<(n+1)222得证。TOC\o"1-5"\h\z【多数相乘变等比】求证：1+~+++…+<3・11x21x2x31x2x3x…xn-11证明：由123<2=2，（k是大于2的自然数）1x2x3x…xk1-2-222k-11111得1+-++11x21x2x3+…+—1x2x3x…xn1=+…+—1x2x3x…xn1=1+】2：=3-丄<3.1_12n-12222232n-17——Vl+5+丄2--!>?>=2,?rEN_）.【变形套用1】■:【证明】・陋+油〉蝦氏一1）,心2,._J_1[''十1产fc-l卅11111_2;11■fc-l卅11111_2;11■2卯11111一一.=：--n.=："——Mm+1H1H癇上述不等式相加得:11_1S卜右+…弓VI—吕2--(1十》(1十【变形套用2】’十…（1十一）<（n已1ST）.2頁-2(-7^-J尤_1)十2(J圧一1一J圧一2)+•…+2(^/2—Vl)+(V1-Vo")1111即1十—=十—=十…十—=■<2

7273Tn【变式1】已知正项数列(a｝的前n项和为S,(1)求证：数列ts2｝是等差数列n(2)记数列b=2s3,T=++nnnb11+，证明:bn1—J<T<3—丄+1n2解：(1)a+=2sns

nan•+nn-1S—Snnn—1=2S(n>2).—1=S+sS—Snn-1nn—1•••ts2｝为等差数列n(2)思路：先利用(1)可求出s的公式进而求出b=2n^n，则厂=严，考虑进行放缩求和，结合不等b2njnn号的方向向裂项相消的形式进行放缩。解：令n=1代入a+=2S可得:nanna+丄=2ana=1即S=11aii11由Is2｝为等差数列可得：s2=s2+(n—1)=nnn11_1b2njnn考虑先证Tnn-2Qnnyn-Jn-1<新-Jn—1二1—丄(n>2)n\n—1n—1-JnT<丄+(1—丄1二1+1—丄二3—丄n2、nn二1时,221再证T>1—L=n寸n+1n(n+1)11/1、-'■Jn+1—-ojnJn+n(n+1)bn-2pnnn+1+\；'nnnn>f1—11+迈丿n>f1—11+迈丿172羽丿(1111、-Jn+1丿综上所述：1—1+=<T<2—丄n+1n2、:n若对一切nWN*,【变式2】已知数列｛an｝为等差数列，a3=3,a1+a2Ha6=21，数列｛*｝若对一切nWN*,n恒有S2n-Sn>f6成立，则m能取到的最大正整数是.答案：7；，解得1_1[d=1a〔，解得1_1[d=1解析：设数列｛°n｝的首项为av公差为d,由°3=3,°1+°2。6=21可得I十15〃=21、1•a=n,丄=丄.nan

n•s=i+2—丄,2・••令Tn=S2n—耳=沽+出+•••+士，则Tn+1=n^+^++^+2^+7+2^^?T—T=—1—+”,n+1n2n+12n+2n+12n+22n+2n+l1=0,1mm1••・Tn+]>Tn,・.Tn的最小值是n=i处取得，又t1=s2—sx=2，-要使S2n—Sn>J6恒成立，只需^6<S2—Sx=2即可，解得m<8,故填7.【变式3】已知数列｛a｝的前n项和为S，若4S=(2n-1)a+1，且a=lnnn+1l(1)求证：数列｛a｝是等差数列，并求出｛a｝的通项公式nn(2)解:设b=―丄，数列｛b｝的前n项和为T，求证：T<3naSn%n(1)4S=(2n—1)a+1nn+14S=(2n-3)a+1(n>2)n-1n4a=(2n-1)a-(2n-3)ann+1n(n>2)即(2n+l)a=(2n-l)a=an+12n+1n+l=a2n-1naLan-l2n-12n-3a—n1an-22n-32n-5'a—3=—'a32an—an-la'—n—l•an-22n-1a2n—la2n一322n-3•••2n一55a2n一l/•即n=(n>2)3a32，由4S=(2n-1)a..+1令n=l可得:n+1=2n—1(n>2),验证a=l符合上式i=2n-1S=n2n(2)由(1)得：b=n

(2n-1)\'n2n(2n-1)可知当可知当n>2时,1111丁<・^3〒^3(2n—1)n(2n—2)2n(n—1)2jn—1【变式4】设数列｛a｝满足：a=1,an1n+1=3a,neN*，设Sn为数列I的前n项和，已知b1丰0,(1)(2)求证：对任意的ngN*且(1)(2)求证：对任意的ngN*且n>2,11有++a—ba—b22331+—a—bnn解:(1)a=3an+1n•｛a｝为公比是3的等比数列n11n求数列｛a｝,｛b｝的通项公式nn=a\3n=a\3n-1=3n-11*n在｛b｝中，令n=1,n2b-1=Snn2b-1=Sn-1n-12b-2bnn一1=b(n>2)nb=2bnnn-1•••｛b｝是公比为2的等比数列n...b=b-2n-1=2n-1n1(2)证明:1=1a—b3n-1—2n-1nn<—3n-21++a—ba—b22331+—a—bnn1•1+3n-21An-13丿1-厂3【变式5】已知数列｛a｝满足an1—2,arn+1(1)求证：数列彳＞是等比数列,并求出数列｛a｝的通项公式n(2)求证：c+c2+17+c<-n24解:(1)an+1＞是公比为2的等比数列/a

T(12丿•2n-1=2n(2)思路：c-，无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式(不等号：＜)，若要放缩n•2n为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有n，故分子分母通乘以(n-1)，再进行放缩调整为裂项相消形式。解：Cnn-1

n(n-1)2n而(n-1)2n-1n•2n2n-(n-1)=n+1n(n-1)2nn(n-1)2n所以c■―(n-\<(n+\—(1、_1(n>2)nn(n-1)2nn(n-1)2n(n-1)2n-1n•2n(n-1)(n-1)2n—i—171111——+—++282424n-2n241617…c<c+c<c+c+c—<-1121232424117<-

n-2n24••-(n>3)1111+3-234-244-245-25【数列与不等关系-作差法】TOC\o"1-5"\h\z例2•设数列｝的前n项和为S，已知a—a,a—S+3n,neN*（1）设b—S一3n，求£｝的通nn1n+1nnnn项公式；（2）若a>a，（neN*），求a的取值范围。n+1n答案：a>—2【变式1】已知等差数列b｝的公差大于0,且a,a是方程x2—14x+45—0的两根，数列缶｝的前n项的和为n35nS，且S—1—1b（neN*）.（1）求数列L｝，忙｝的通项公式；nn2nnn（2）记c—a-b,求证：c<cnnnn+1n【解析】试题分析：解：（I）・・・a,a是方程x2—14x+45—0的两根，且数列｛a｝的公差d>0,35n・•・a3—5,a—9，公差d—a5一a3—・•・a355—3—a+(n—5)d—2n—1.(neN*)5又当n=1时，有b二S"=1——bb2当n>当n>2时,有b—S一Sn—1-2(b1-n2n—1nL=(n>2).b3n—1・・・数列｛b｝是等比数列，bTOC\o"1-5"\h\z2・・・数列｛b｝是等比数列，b'—一,q—-133b—bqn—1—-n13n(II)由(I)知cn72(2n一1)—ab—,cnn3nn+1—2(2n+1)3n+110分2(2n+1)2(2n-1)8(1-n)门c-c=-=<0.n+1n3n+13n3n+1・•・c<c.12分n+1n【变式2】已知各项均为正数的数列｝满足：3a=2s+1,其中s为数列ta｝的前nnnnnn项和。等差数列｛｝满n足：b=5,b=17.48(1)求数列匕｝和缶h勺通项公式;nn(1)(2)对于任意的neN*,s+三-k>b+1恒成立，试求实数k的取值范围。In2丿:由题可得，a=1,当n>2时,3a=2s+1,3a=2s+1,1nnn-1n-13a一3a=2\s一s丿=2aa=3ann-1nn-1nnn-1.a=3n-13分n又b=5,b=17,..b—b=4d=17—5=12,..d=3...b=b+(n—4)d=3n—7.4884n4a=3n-1,b=3n—76分。nn⑵s=竺已,原不等式整理得k>2(3n-6)对neN成立。n23n令c=23—6),贝Uc—c=12"+42(n>2),当n<3时，c>c,当n>4时，cn3nnn-1n2472c=,c=,・・k>—394279<cn-1,【数列与不等关系-参数求值】例3.已知数列｛a｝,a=1，前n项和S满足nS—(n+3)Sn1nn+1n求｛a｝的通项公式n(1)(2)设c=2nn'n'——九Ia丿n，若数列｛c｝是单调递减数列，求实数九的取值范围解:(1)nS-(n+3)ScSn+3=0二n+1=SnSSSSn+2n+1n—•—n~1•nSSSn-1n—2n-11S(n+2)(n+1)n(n+2)(n+1)n—n~-S3-261(n+2)(n+1)nSnn>2n>2时,=S-Snn-1n(n+1)(n+2)(n-1)n(n+1)n(n+1)当n=1时，a=1符合上式1n(n+1)2(2)思路：由(1)可得：c，由已知｛c｝为单调递减数列可得c<c对VnGN*均成立,nn(2)思路：由(1)可得：c，由已知｛c｝为单调递减数列可得c<c对VnGN*均成立,nn+1n所以代入｛c｝通项公式得到关于n,九的不等式九42>忌-'即只需尢〉厂_42_、n+2n+1丿max，构造函数或者数列求出解:的最大值即可(、2n—-九Ian丿=2n、-九丿{c}是递减数列.VngN*,c<cnn+1n(2A即2n+1九kn+2丿、-九丿-2X<n+2厂4一2、jn+2n+1丿max42①构造函数：设f(x)=卡-市(x>1)则广(x)则广(x)_-(^+(^二(x-迈)(+\：2)2(x+2)2-4(x+1)2_(x+2匕(x+1匕g）单调递减2（x+2匕（x+1匕所以f（x）在）单调递增，在f(1)=3,f(2)=3N*时，f(n)_f(1)_f(2)_3max/4一、n+2n+1丿max②构造数列：设数列｛t｝的通项公式t4242t—t_——nn-1n+2n+1亠+2(n>2)n+2n+1nn(nn(n+1)(n+2)n>2时，t一t<0，nn-1n-14n(n+1)-6n(n+2)+2(n+1)(n+2)4-2nn(n+1)(n+2)【变式1】已知等差数列【变式1】已知等差数列｛a｝中,n的前n项和为S,若sa3二9,a5-17，记数列当n_2时，t_t21所以｛t｝的最大项为tn2.71••入>-对任意的neN*恒成立，则整数m的最小值是（A.5B.4C.3D.2小小A.5B.4C.3D.2小小m思路：若s—s<恒成立,2n+1n10(s-s)2n+1nmaxm<-10要找S，则需先确定n1a的通项公式得到—nan11114n一3无法直接求和，S-S很难变为简2n+1nd_厶3_4，所以a_a+(n—4无法直接求和，S-S很难变为简2n+1n5-3nan单的表达式，所以考虑将｛s-S｝视为一个数列，通过相邻项比较寻找其单调性：2n+1n(S—S)—(S—S)=(S—S)—(S—S)2n+32n+1n+1n2n+3n+12n+111=+—aa2n+32n+2n匸—市+岛一47—3=(8n+9)(8二I)(4n—3)<0'进而£n+1—Sn｝单调递减,14(s-s)=S3-S1=a3+a2=45，所以10>45=m>&，从而m=42n+1nmax答案:【变式2】已知数列｛a｝n的前n项和为S,a=1且2nS—2(n+1)S=n(n+1)，数列｛b｝满足:1n+1nnn+1b一2b+b=0,n+2n+1nb3=5，其前9项和为63(1)(2)令c=f+n，记｛c｝的前n项和为T,nabnnnn对VngN*，均有T—2ne[a,b],求b—a的最小值n解:(1)2nS—2(n+1)S=n(n+1)n"n+1n＞为公差是2的等差数列SS1(八n+1n=1+n—1丿=——12-n(n+1)~2-n>2时,n-1n(n+1)(n—1)n—=n2a1=1符合上式b—2b+b=0nb+b•••n+2n+1n=2bn+1•••{b}为等差数列设｛b｝前n项和为Pnn,b一b[•d=-53=15—3=9b=635(2)思路：意可得：an+2n+—n=+abnn+2nn可求出T二2n+3—2n(11)1

jn+1n+2丿，从而T—2n=3—2n(11)1

jn+1n+2丿，若b—a最小，则a,b应最接近T—2n的n最大最小值(或是临界值)，所以问题转化成为求3-2(11)1

jn+1n+2丿的范围，可分析其单调性。f(n)=3—2单调递增。所以最小值为f(1)=3，而当nT+8时，f(n)t3，所以f(n)无「4)限接近3，故T-2n的取值范围为|亍3