浙大00 10 16部分答案〇二年攻读入学考试试题

（12）fxgxn，(f(x),g(x))n(f(x)n,g(x)n)证明：解法一.运用因式分解定理，设f(x),g(x)f(x)apr1(x)pr2(x)⋯prt g(x)bps1(x)ps2(x)⋯pst kiminrisi(i1,2⋯tf(x),g(x)pk1(x)pk2(x)⋯pkt fn(x)anpnr1(x)pnr2(x)⋯pnrt( gn(x)bnpns1(x)pns2(x)⋯pnst( ttpk1(x)pk2(x)⋯pkt(x) f(x),g解法二 令f(xg(x)d(xf(xf1x)d(x),g(x)g1x)d(x 从而可知fn(xgn(x) fn(x)fn(x)dn(x),gn(x)gn(x)dn fn(x),gn(x)dn(x)f(x),g(x)n（12分设S k k k,(k0,1,2,⋯)；a (i,j1,2,⋯,n)

i

⋯

x1x

xin

⋯ n n xxx 0ij 0ij三、（12）ABnABABABBAAB=BAA+B=ABBA+BBA+B2 (2)-BO

A+BBAB+B2AB=BA.

四、（12）AmnAmBnnmB的秩nmABOnηAX=O的解，求证=rankBnmBβ1β2βn-mAXO的解空间一个极大线性无关组.η是齐次线性方程组AX=0的一个解，则η可以有β1β2,βn-mη=ξ1β1+ξ2β2+⋯+ξn-mβn- 只要令ξ=ξ,ξ,⋯,

Bξ=η若ξV，s.t.Bξ=η，其中ξ=ξ,ξ,⋯, T. nmBξ=BξBξξO

ξ1ξξξ⋯ξmξn- 即

n- n-ξξξ,⋯,

T1 n（11）求V1=L(1,2,3),V2=L(12 (2,5,6,

1(1,2, (1,0,1, 解：对V1=L(1,2,3 0 1，dimV3 1 1

对V2=L(122 1 0

，dimV2200对V1V2=L(1,2,312

故dimV1V24，且它的一个基是1,2,31对于V1V21；则它的一个基为1（20分）用正交线性替换化下面的实二次型为，并写出所用的正交线f(x1,x2,x3,x4)2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4fx1x2x3x4A A 1 0 EA 113 1（3）当1特征向量为：

1 0T，1 0T，1 3

1 1 1 2故正交替换矩阵U

112 1 2 2 2

12 f(x,x,x,x)y2y2 使得P-1AP与P-1BP都是上三角矩阵.（i）n1AaBbPABaE,bEaEbE（ii）nknk引理ABnAB=BAAB有一个公共的特征向Aξξ，其中ξAABξ=BAξBξ

ABkξ=BkξξBξ,Bk-1ξLξBξ,Bk1ξ BkξllBξ k lBlB2ξ⋯ Bk

llBξ⋯

Bkξll = BBkξL，则n,n ，使

Bξ⋯ kB B BkξnnBξ⋯ k 其中lk11,l0n0,l1l0n1⋯,lk1lk2nk1Βη=η成立.由于lk11η0，总有适当的μli使得上式成立，故η是A的特征向量.ABξAξ=ξΒξ=ξ，设1ξ2,⋯ξnnAB,

A

，B

B 2 2Q-1AQA1Q-1BQ=B1AB=BA A2

B A

B 2 2 2 ABPP1AP 2

P 0 P-1AP ，P-1AP 1 0

P-1AP 1

P-1BP 22 221P=QPP-1APP-1BP1（7）设ABnA是幂零矩阵（mAmO）AB=BAAB=BAAmOAξ=ξξAAξmξmAmξmξO

⋯ P1AP

⋯ ，⋯

BP ⋯ ⋯ 0

n nA+B=P-1A+BPP-1AP+P-1BPP-1BPB（6分）设σ是n维线性空间V的线性变换，σ在V的某组基下的矩阵是A，用kerσ表示σ的核，σ(V)表示σ的值域.求证：rankA2rankA的充要条件是Vσ(V)kerσ. α=Aα+αA2αAαAασV，V