福建省尤溪一中2022-2023学年数学高二第二学期期末联考模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A． B． C． D．2．一个口袋中装有若干个除颜色外都相同的黑色、白色的小球，从中取出一个小球是白球的概率为，连续取出两个小球都是白球的概率为，已知某次取出的小球是白球，则随后一次取出的小球为白球的概率为（）A． B． C． D．3．若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（）A． B． C． D．4．某校1000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，正态变量X在区间，，内取值的概率分别是，，，则成绩X位于区间(52,68]的人数大约是（）A．997B．954C．683D．3415．设函数f（x），g（x）在[A，B]上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当A＜x＜B时，有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）C．f（x）＜g（x）D．f（x）+g（B）＜g（x）+f（B）6．下面四个命题：：命题“”的否定是“”；:向量，则是的充分且必要条件；：“在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，则“”；：若“”是假命题，则是假命题.其中为真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．若当时,函数取得最大值,则()A． B． C． D．8．下列四个结论：①在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好；②某学校有男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中抽取20名调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样；③线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强；④在回归方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量增加0.5个单位.其中正确的结论是（）A．①② B．①④C．②③ D．②④9．“四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是（）A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形10．已知函数与函数，下列选项中不可能是函数与图象的是A． B．C． D．11．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4×100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是()A．甲 B．乙 C．丙 D．丁12．某大学推荐7名男生和5名女生参加某企业的暑期兼职，该企业欲在这12人中随机挑选3人从事产品的销售工作，记抽到的男生人数为，则（）A．2 B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为___.14．已知函数，若方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是______.15．边长为2的等边三角形绕着旋转一周，所得到的几何体体积为______.16．某地球仪上北纬纬线长度为，则该地球仪的体积为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数/(x.（1）当时，求在最小值；（2）若存在单调递减区间，求的取值范围；（3）求证：.18．（12分）某球员是当今国内最好的球员之一，在赛季常规赛中，场均得分达分。分球和分球命中率分别为和，罚球命中率为.一场比赛分为一、二、三、四节，在某场比赛中该球员每节出手投分的次数分别是，，，，每节出手投三分的次数分别是，，，，罚球次数分别是，，，（罚球一次命中记分）。（1）估计该球员在这场比赛中的得分（精确到整数）；（2）求该球员这场比赛四节都能投中三分球的概率；（3）设该球员这场比赛中最后一节的得分为，求的分布列和数学期望。19．（12分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知，且，求的值.20．（12分）已知函数，其中.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若函数在区间上的最小值为，求的取值范围.21．（12分）已知函数，.（Ⅰ）求过原点，且与函数图象相切的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，.22．（10分）已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.2、B【解析】

直接利用条件概率公式求解即可.【详解】设第一次取白球为事件，第二次取白球为事件，连续取出两个小球都是白球为事件，则，，某次取出的小球是白球，则随后一次取出的小球为白球的概率为，故选B.【点睛】本题主要考查条件概率公式的应用，属于基础题.求解条件概率时，一要区分条件概率与独立事件同时发生的概率的区别与联系；二要熟记条件概率公式.3、C【解析】

设点，由结合两点间的距离公式得出点的轨迹方程，将问题转化为双曲线与点的轨迹有个公共点，并将双曲线的方程与动点的轨迹方程联立，由得出的取值范围，可得出答案．【详解】依题意可得，设，则由，得，整理得.由得，依题意可知，解得，则双曲线C的虚轴长.4、C【解析】分析：先由图得，再根据成绩X位于区间(52,68]的概率确定人数.详解：由图得因为，所以成绩X位于区间(52,68]的概率是，对应人数为选C.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.5、B【解析】试题分析：设F（x）=f（x）-g（x），∵在[A，B]上f'（x）＜g'（x），F′（x）=f′（x）-g′（x）＜0，∴F（x）在给定的区间[A，B]上是减函数．∴当x＞A时，F（x）＜F（A），即f（x）-g（x）＜f（A）-g（A）即f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）考点：利用导数研究函数的单调性6、B【解析】

根据全称命题的否定是特称命题判断；根据向量垂直的坐标表示判断；根据逆否命题的定义判断；由且命题的性质判断.【详解】：命题“”的否定是“”，不正确；:的充分且必要条件是等价于,即为，正确；：由逆否命题的定义可知，“在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，则“”，正确；：若“”是假命题，则是假命题或是假命题，不正确.所以，真命题的个数是2，故选B.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，主要综合考查全称命题的否定、向量垂直的充要条件、逆否命题的定义、“且”命题的性质，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.7、B【解析】

函数解析式提取5变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质可得结果.【详解】，其中,当，即时，取得最大值5,，则，故选B.【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式、辅助角公式的应用，以及正弦函数最值，熟练掌握公式是解本题的关键.8、D【解析】

根据残差的意义可判断①；根据分成抽样特征，判断②；根据相关系数的意义即可判断③；由回归方程的系数，可判断④．【详解】根据残差的意义，可知当残差的平方和越小，模拟效果越好，所以①错误；当个体差异明显时，选用分层抽样法抽样，所以②正确；根据线性相关系数特征，当相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，所以③错误；根据回归方程的系数为0.5，所以当解释变量每增加一个单位时，预报变量增加0.5个单位.综上，②④正确，故选D.【点睛】本题考查了统计的概念和基本应用，抽样方法、回归方程和相关系数的概念和性质，属于基础题．9、B【解析】

根据题意，用三段论的形式分析即可得答案．【详解】根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，∵由四边形是矩形，得到四边形的对角线相等的结论，∴大前提一定是矩形都是对角线相等的四边形，故选B．【点睛】本题考查演绎推理的定义，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题.10、D【解析】

对进行分类讨论，分别作出两个函数图象，对照选项中的图象，利用排除法,可得结果.【详解】时，函数与图象为：故排除；，令，则或，当时，0为函数的极大值点,递减，函数与图象为：故排除；当时，0为函数的极小值点，递增，函数与图象为：故排除；故选.【点睛】本题考查的知识点是三次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.11、C【解析】

跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．【详解】由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．故跑第三棒的是丙．故选：C．【点睛】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．12、B【解析】

依题意可得，X的可能取值为0,1,2,3，分别求出概率，再由期望公式即可求出．【详解】依题意可得，X的可能取值为0,1,2,3，则，，，，所以．【点睛】本题主要考查离散型随机变量期望的求法．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

转化为，由于，即可得解.【详解】又由于即故答案为：【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标的互化，考查了学生概念理解，转化划归的能力，属于基础题.14、【解析】

先由题意，得显然不是方程的根；当时，原方程可化为，令，，用导数的方法研究函数的单调性，极值，确定函数的大致形状，原方程有四个根，即等价于的图象与直线有四个不同的交点，结合图象，即可求出结果.【详解】当，显然不成立；当时，由得，令，，即，则，方程有四个不相等的实根等价于的图象与有四个不同的交点，当时，，则，由得，由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因此，函数的极小值为；当时，，则，由得；由得；所以在上单调递减，在上单调递增，因此函数的极大值为.画出函数的大致图象如下：由图象可得，只需.故答案为：.【点睛】本题主要考查由函数零点个数求参数的问题，熟记分段函数的性质，导数的方法判断函数的单调性，求函数的极值等，灵活运用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.15、【解析】

根据题意可知：该几何体是有公共底面的两个一样的圆锥,利用圆锥的体积公式求解即可.【详解】根据题意可知：该几何体是有公共底面的两个一样的圆锥,等边三角形的高为,底面半径为,所以所得到的几何体体积为.故答案为【点睛】本题考查了按平面图形一边旋转所形成的空间图形的体积问题,考查了空间想象能力,考查了数学运算能力.16、【解析】

地球仪上北纬纬线的周长为，可求纬线圈的半径，然后求出地球仪的半径，再求体积．【详解】作地球仪的轴截面，如图所示：因为地球仪上北纬纬线的周长为，所以，因为，所以，所以地球仪的半径，所以地球仪的体积，故答案为：．【点睛】本题地球仪为背景本质考查线面位置关系和球的体积，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1；（2）；（3）见解析【解析】分析：（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即.，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设时，命题成立，即，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．详解：（1），定义域为.∵∴在上是增函数..（2）因为因为若存在单调递减区间，所以有正数解.即有有解.①当时，明显成立.②当时，开口向下的抛物线，总有有解；③当时，开口向上的抛物线，即方程有正跟.当时，；，解得.综合①②③知：.综上所述：的取值范围为.（3）（法一）根据（1）的结论，当时，，即.令，则有，∴.∵，∴.（法二）当时，.∵，∴，即时命题成立.设当时，命题成立，即.∴时，根据（1）的结论，当时，，即.令，则有，则有，即时命题也成立.因此，由数学归纳法可知不等式成立.点睛：本题考查函数的导数的应用，考查最值的求法，数学归纳法的应用，考查转化思想以及计算能力．函数在一个区间上单调递增，则函数的导函数大于等于0恒成立，函数在一个区间上存在单调增区间，则函数的导函数在这个区间上大于0有解.18、（1）分；（2）；（3）见解析.【解析】

（1）分别估算分得分、分得分和罚球得分，加和得到结果；（2）分别计算各节能投中分球的概率，相乘得到所求概率；（3）确定所有可能取值为，分别计算每个取值对应的概率，从而得到分布列；利用数学期望计算公式求得期望.【详解】（1）估计该球员分得分为：分；分得分为：分；罚球得分为：分估计该球员在这场比赛中的得分为：分（2）第一节和第三节能投中分球的概率为：第二节和第四节能投中分球的概率为：四节都能投中分球的概率为：（3）由题意可知，所有可能的取值为：则；；；；的分布列为：数学期望【点睛】本题考查概率分布的综合应用问题，涉及到积事件概率的求解、二项分布概率的应用、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，考查学生的运算和求解能力，属于常考题型.19、(Ⅰ)，；(Ⅱ).【解析】分析：（1）根据两角和差公式将表达式化一，进而得到周期和单调区间；（2），通过配凑角得到，展开求值即可.详解：（Ⅰ），，令，，函数的单调递减区间为.（Ⅱ），,，，则，.点睛：这个题目考查了三角函数的化一求值，两角和差公式的化简，配凑角的应用；三角函数的求值化简，常用的还有三姐妹的应用，一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.20、(1)；(1)[3，+∞）.【解析】

（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出a的范围即可．【详解】（1）当a＝1时，f（x）＝x1﹣7x+3lnx（x＞2），∴，∴f（1）＝﹣6，f'（1）＝﹣1．∴切线方程为y+6＝﹣1（x﹣1），即1x+y+4＝2．（1）函数f（x）＝ax1﹣（a+6）x+3lnx的定义域为（2，+∞），当a＞2时，，令f'（x）＝2得或，①当，即a≥3时，f（x）在[1，3e]上递增，∴f（x）在[1，3e]上的最小值为f（1）＝﹣6，符合题意；②当，即时，f（x）在上递减，在上递增，∴f（x）在[1，3e]上的最小值为，不合题意；③当，即时，f（x）在[1，3e]上递减，∴f（x）在[1，3e]上的最小值为f（3e）＜f（1）＝﹣6，不合题意．综上，a的取值范围是[3，+∞）．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．21、(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解