2023年Maple大作业材料力学

MAPLE大作业

班级:力学132班

姓名:党宏宇

学号：130451

0

1.已知实心圆轴转速为n=300r/min,传递的功率P=330KW,轴的材料的许用切应力

[T]=60MPa,切变模量G=80GPa。若规定在2m长度的相对扭转角不超过1°,试求该轴的

直径。

已知:n-300r/min,p-330KW,[T]—60MPa,G—QOGPa,I—2m,<p=1°

求:d。

解:・建模：根据抗扭刚度进行截面设计。

①计算该圆轴的外力偶矩。②根据抗剪强度计算轴的直径。③根据抗扭刚度计算轴的

直径。④根据以上计算结果，同时满足强度和刚度的规定，最终拟定轴的直径。

答：该轴直径选为111mm。

#MapIe程序：

>restart:#清零

、9550/

T#计算圆轴扭矩。

n

>Pi>

'"P：-IC：#圆轴抗弯截面系

16

数。

、rPi-D4

>Ip:=-----:#圆轴横截面惯性矩。

〃32

>ineql：=<tau[0]:#强度条件。

、.0T-L180.,，

>meq2-.<phir0ni:#刚度条件。

Gr-ITpPi

>P：=330:n：=300:G：=80e9:#已知条件。

>tau[0]—60e6:phi[0]：=1:#已知条件。

>L：=2:#已知条件。

>solve({ineqltineq2},{D});#解方程求轴径。

{D<-0.1112665701},{0.1112665701<D}

2.图1所示转动轴，已知两段轴的最大剪应力相等，求：(1)直径比&/4；(2)扭

转角比力

图1

已知：Tmaxl=Tmax2/MA=300KN.m,MB=200KN.m,Mc=500KN.mo

求：(1)4®,(2)弧B4BC.

解：•建模：①拟定两轴最大剪应力。②根据两轴最大剪应力相等，求解两轴直径比

4/d2③拟定两轴的扭转角。④根据两轴直径比求解两轴扭转角之比。

答：直径比岁0.843,扭转角比器=0.594.

•MapIe程序：

>restart:#清零。

>I^[I]:=PR1]:#轴1抗弯截面系数。

>Wp[2]：=。胃2]:#轴2抗弯截面系数。

>tau[/naxl]：=瞿号：#轴1最大切应力。

>tau[wx2]：=兴1:#轴2最大切应力。

Wp[2J

>M[l]：=300e3:M[2]：=500e3:#已知条件。

>eql：=tau[/naxl]=tau[max2]:#最大切应力相等。

>solve({eql}f{仇1]});#解方程求dl/d2.

{4=0.8434326653d2},=(-0.4217163326

+0.7304341145I)d2},=(-0.4217163326

-0.7304341145I)

>restart:#清零。

>d[1]：=0.843-c/[2]:#已求条件。

>lp[l]■■=—^1]~：#轴1截面惯性矩。

>Ip[2]：=B喑]::#轴2截面惯性矩。

>Phi[AB]：=*:#轴1扭转角。

>Phi[BC]：=臀；:#轴2扭转角。

G-Ip[2]

>：=300e3:M[2]~500e3:#已知条件。

>S0L2=则迎L

#轴1和轴2扭转角之比。

—Phi[BC]'

S0L2:=0.5940335256

图2

3.拟定图2所示图形的形心。

已知：hi=200mm,h2=600mm/b0=600mm,b=500mm,%=36mmfa2=

36mm,a3=40mmo

求:先，Zc。

解:・建模:①将图形提成三部分。②分别求出各部分的形心坐标。③根据公式拟定总体

形心坐标。

答:该图形关于z轴对称，则出=。，Zc=260.4mm。

•MapIe程序：

>restart:#清零。

>A[l]：=b-h[2]:#第一部分面积。

>Z[C1]：=h[l]+^-:

#第一部分形心坐标。

>y[Cl]~0:#第一部分形心坐标。

>A[2]：=-(b-a[l]-a[2]).(h[2]-a[3]):#第二部分面积。

>Z[C2]：=h[l]+(入闭”3]):#第二部分形心坐标。

>y[C2]：=0:#第二部分形心坐标。

>A[3]：=bO-h[l]:#第三部分面积。

>Z[C3]：=:#第三部分形心坐标。

>y[C3]：=0:#第三部分形心坐标。

+4[2]-Z[C2]+A[3]Z[C3])

>Z[C]=#总体形心

A[l]+A[2]+4[3]

坐标公式。

>y©=⑷i-y”，g+他以电)#总体形心

A[l]+A[2]+A[3]

坐标公式。

>bO：=600e—3:b：=500e—3:#已知条件。

>h[l]：=200e-3:h[2]：=600e-3:#已知条件。

>a[l]：=36e—3:a[2]：=36e—3:a[3]：=40e-3:#已知条件。

>Z[C]：=evalfiZIC],5);#z轴形心坐标。

Zc：=o.26037

>y[C]：=evalf(y[C]t5);#y轴形心坐标。

yc：=0.

4.某拉伸实验机的结构示意图如图3所示。设实验机的CD杆与试样AB的材料同为低

图3

碳钢，其bp=200MPa,crs=240MPa,crb=400MPa。实验机的最大拉力为1OOKN。

(1)用这一实验机拉断实验时，试样直径最大可达何值？

(2)若设计时取实验机的安全因数n=2,试拟定CD杆的横截面面积。

(3)若试样直径(1=10mm,今欲测弹性模量E,求所加载荷的最大限定值。

已知：crp=200MPa,crs=240MPa,crb=400MPa,Fmax=1OOKN,n=2,d=

10mm

求：(1)dmaxo(2)AQDO(3)Fmaxo

解:・建模:①分别求出AB杆，CD杆的最大正应力。②根据AB杆抗拉强度极限拟定试

样的最大直径。③为保证实验样机完好,取安全因数为2时，CD杆的屈服极限拟定CD杆的

横截面积。④欲测弹性模量E,AB杆所受应力应小于该材料的比例极限，由此拟定所加载

荷的最大限定值。

答：(1)试样直径最大可达17.8mm。

°(2)CD杆横截面面积为833mm2。

3(3)所加载荷最大限定值为15.7KN。

・MapIe程序：

>restart:#清零。

F

>sigma[l]：=-[5:#AB杆件正应力。

>/1[“=:#AB杆横截面积。

F

>sigma[2]：=:#CD杆件正应力。

n[Cl/J

>sigma[3]：=¥翳:#CD杆件正应力。

p.2

>注2]：=:#CD杆横截面积。

>ineql：=sigma[1]>sigma[b]:#抗拉强度极限。

>ineq2：=sigma[2]<(皂%M)：#屈服极限。

>ineq3：=sigma[3]<sigma[p]:#比例极限。

>F：=100e3:d：=10e-3:#已知条件。

>sigma[b]：=400e6:

>sigma[s]：=240e6:

>sigma[p]：=200e6:

>n：=2:

>solve({ineql},{dmax});#求解试样直径。

{-0.01784124116<dmaxfdmax<0.},{dmax

<0.01784124116,0.<dmax}

>solve({ineq2}f[A[CD]});#求解CD杆横截面积。

{Acl)<0.},{0.0008333333333<%/)}

>solve({ineq3}t{(Fmax)});#求解所加载荷的最大值。

{Fmax<15707.96327}

图4

5.试计算图4所示矩形截面简支梁的1T截面上a点和b点的正应力和切应力。

已知:F=8KN,a点b点的位置数据如图。

求：CLF°

解：・建模：①根据载荷分布求解支座约束力。②求解1-1截面弯矩与剪力③根据a点

b点抗弯截面系数分别求解a点b点所受的正应力。④根据矩形截面梁弯曲切应力公式分

别计算a点b点所受切应力。

答：=6.03MP。，ab=12.9MPa,ra=0.379MP。，Tb=0。

•Mapie程序:

>restart:#清零。

>eql：=F[/?4]-2200=P-1000:#整体弯矩相等。

>eq2：=Fs=F[RA]:#1T截面剪力方程。

>eq3：=M=F[町L:#1-1截面弯矩方程。

rb-h3

>#1T截面惯性矩。

>#1-1截面抗弯截面系数。

6

>sigma[/4]：=-7k:#a点正应力。

Iz

>sigma[/5]：=J

#b点正应力。

Wz

pQh「妨2

>tau[4]=F了一y[4]#a点切应力。

Fq

>tau[8]=-此点切应力。

>P-8e3:L：=1000e-3:#已知条件。

>力：=150e—3:b：=75e—3:#已知条件。

>y[A]：=35e-3:y[B]~75e-3:#已知条件。

>SOLI：=solve({eql}9{F[R*}):#求解约束力。

>S0L2：=subs(SOLI,eq2):#带入剪力方程。

>S0L3：=subs(SOLl,eq3):#带入弯矩方程。

>sigma[i4]：=subs(S0L3,sigma"]);#求解a点正应力。

%：=6.033670032106

>tau[>4]：=subs(S0L21tau[/l]);#求解a点切应力。

%:=3.792592592IO5

>sigmafB]：=subs(S0L3,sigma[B]);#求解b点正应力。

:=1.292929292IO7

D

>tau[B]~subs(S0L2,tau[B]);#求解b点切应力。

T:=0.

D

6.图5所示截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。若材料的拉伸许用应力［4］=

50MPQ,压缩许用应力屹］=160MPQ,截面对形心轴Zc的惯性矩lzC=10180X

104mm4,fl】=96.4mm,试计算该梁的许可载荷F。

44

160A/Pa,IzC=10180x10mm,hr=96.4mm,其他数

据如图所示。

求：［F］。

解:・建模：①根据载荷分布求解悬臂梁的弯矩方程。②绘制弯矩图。③拟定危险截面

位置以及弯矩数值。④根据该梁的抗弯强度分别计算危险界面的许可载荷。⑤根据上述计算

结果，最终拟定该梁的许可载荷F。

答:许用载荷为F<44.18KN.

•MapIe程序：

>restart:#清零。

>M—x—^piecewise(x<1.4,-F-(2—x)+2-F-(1.4—x),x<2,

-F-(2-x)):

>#构造弯矩方程。

>M：=normal(M(x));#标准化。

-Fx+0.8Fx<1.4

F(-2+x)xK2

>F：=1:#给定数值。

>x=0..2);#绘制弯矩图。

>restart:#清零

>meq：=-1--j—L----1<sigmaO:粉虫度条件。

Izc

>yztjl~M[max]=0.8-F[l],y[max]=h[l],sigmaO=40e6:

>#危险截面数据。

>yztj2：=.W[max]=0.8-F[2],y[max]=h[2]tsigmaO=160e6:

>#危险截面数据。

>yztj3~M[max]=0.6-F[3],y[max]=h[l],sigma0=160e6:

>#危险截面数据。

>yztj4•=W[max]=0.6-F[4],y[max]=h[2],sigmaO=40e6:

>#危险截面数据。

>h[l]：=9.64e-2:h[2]：=250e-3-9.64e-2:

〉Izc：=10180e—8:#已知条件。

>ineql：=subs(yztjlfineq):#代入危险截面数据。

>ineq2：=subs(yztj2fincq):#代入危险截面数据。

>ineq3：=subs(yztj3tineq):#代入危险截面数据。

>ineq4：=subs(yztj4fineq):#代入危险截面数据。

>solve({ineql],{F[1]});#求解许可载荷。

{A<52800.82987}

>solve({ineq2}3{F[2]});#求解许可载荷。

5

(F2<1.32552083310)

>solve({ineq3],{F[3]})：#求解许可载荷。

5

{F3<2.81604426010j

>solve({ineq4],{F[4]})；#求解许可载荷。

{F4<44184.02778}

7.如图7所示，在一体积较大的钢块上开一个贯穿的槽，其宽度和深度都是10mm。在

槽内紧密无隙地嵌入一铝质立方块，它的尺寸是10mmx10mmx10mm。当铝块受到压力

图7

F=6KN的作用时，假设钢块小及形。能的弹性模量G=70GPa,口=0.33.试求铝块的三个

主应力及相应的变形。

已知：F=6KN,E=70GPa,|i=0.33,铝块尺寸：10mmx10mmx10mm。

:O'],0^2f，J，2'£3'，A’30

解:・建模:①建立空间坐标系。②根据已知条件求解X,y,Z方向应力。③根据X,y,

z方向应力求解主应力。④根据应力应变公式求解三个方向的应变。

4

答：=0,er?=-19.8MPQ,a3=-60MPa,q=3.76X10-^£2=0,£3=7.64x

6--6

10一4，Al】=3,76x10~mm,AZ2=0，7.64x10mmo

•MapIe程序：

>restart:#清零。

>F：=6e3:E：=70e9:|i：=0.33:#已知条件。

>A：=10-10e-6:#已知条件。

>1[1]：=10e-3:1[2]：=10e-3:J[3]：=10e-3:

>#已知条件。

F

>sigma[y]：=-彳；#y轴方向应力。

o-6.000000000107

y

>sigma[z]：=0;#z轴方向应力。

az:二0

>epsilon[x]：=7；-(sigma[x]—g-(sigma[y]+sigma[z])):

>#x轴方向应变公式。

>eql：=epsilon[x]=0:#x轴方向应变条件。

>solve({eql}t{sigma[x]});#求解x轴方向应力。

{q=-L980000000107)

>sigma[x]：=-1.98e7;

o:=-1.98107

X

>sigma[1]：=sigma[z];#第一主应力。

:=0

>sigma[2]：=sigma[x];#第二主应力。

---1.9810z

>sigma[3]：=sigmafy];#第三主应力。

:=-6.000000000107

>epsilon[1]：=—g-(sigma[2]+sigma[3]));

c

J:=0.0003762000001

>#第一主应变方程

>epsilon[2]：=•^•(sigma[2]—|i-(sigma[l]+sigma[3]));

E2:=0.

>#第二主应变方程。

>epsilon[3]：=]・(sigma[3]—g-(sigma[l]+sigma[2]));

h

e3:=-0.0007638000002

>#第三主应变方程。

>Al[l]：=epsilon[l]J[l];#第一主应力方向变形。

Al1:=0.000003762000001

>Al[2]：=epsilon[2]J[2];#第二主应力方向变形。

:=0.

AI2

>Al[3]：=epsilon[3]J[3];#第三主应力方向变形。

A1.3:=-0.000007638000002

8,试用积分法求图8所示各梁的挠曲线方程、端截面转角的双7%、跨度中点的挠度和最

大挠度。设EI为常量。

qO

4A

L______L______J

图8

已知：q0,I,EI

，

求：6A,%,3工=〃23771ax。

解：•建模：①求解分布载荷集度、挠曲线微分方程及其积分。②有边界条件拟定积分

常数。③求解挠度方程及转角方程。④计算挠度最大值，中间挠度和端截面转角。

5

_7a,」_j3_]q°x

答：挠曲线方程为：(0：=360的"亚鬼:—120—1，截面转角方

xEI

4

73,1,2110”

程力.Q一而■夕°，+五~i4-r

程为•斗：=------------------m---------------------,A,B转角分别为:

3

7卷/z

Q'°产而下,中点挠度为:

A'=~360EI

5

最大挠度为：3max=0.522。3_1768~~EI

2

・MapIe程序:

>restart:#清零。

、q[0]・x

>q(x)：=一卜J:#载荷集度方程。

：曙：

>omega[l]=#挠曲线微分方程。

>omega[2]：=C[l]+int(q(x),x=0..x):#挠曲线微分方程。

>omega[3]：=C[2]+int(omega[2],x=0..x):

>#挠曲线微分方程。

>omega[4]：=C[3]+int(omega[3],x=0..x):

>#挠曲线微分方程。

>omega[5]：=C[4]+int(omega[4],x=0..x):

>#挠曲线微分方程。

>eql：=subs(x=0,omega[3])=0:#边界条件。

>eq2：=subs(x=I,omega[3])=0:#边界条件。

>eq3：=subs(x=0,omega[5])=0:#边界条件。

>eq4'=subs(x=1,omega[5])=0:#边界条件。

>SOLI：=solved{eqlteq2,eq3,eq4}f{C[l],C[2],C[3],

C[4]}):

>#求解方程中的常数。

>omegatx]：=subs（SOL；：mega[5]）；#挠曲线方程。

5

7,3,131q。X

「旃q。/x+希q011x-砺丁

吗--EI

>theta[x]：=subs(S0口以。mega[4])；#转角方程。

4

7)3,1J:ix

-360qo1+适q。1X

241

>eq5：=diff(omega[x],x)=0:#挠度最大条件。

>S0L2：=solve({eq5}t{x}):#求解挠度最大位置。

>omega[max]：=subs(S0L2,omega[x]):#最大挠度值。

>omega[max]：=omega[max]);#化简。

4-

]q0IV225+30JloJlo(/30-10)

(1)max-----------1--0---1--2--5---0---------------------------------------------------E---I-----------------------------------------------

>theta[7l]：=subs(x=0,theta[x]);#A端转角数值。

3

n7a。17

0,=----------

4-360EI

>theta[B]：=subs(x=1,theta[x]);#B端转角数值。

,,3

Aiq。

A,=--------

B.45EI

>omega；：=subs(x=omega[x]);#中间挠度数值。

4

5%17

m,——---------

1,,768EI

2

9.试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。

图10图11

已知：F=20KN,q=^^,l=lm。

求：弯矩方程和剪力方程。

解：・建模：①根据载荷分布求支座反力。②分段求解剪力和弯矩方程。③根据剪力

和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图。

答:剪力图如图10和弯矩图如图11。

•MapIe程序：

>restart:#清零。

>P：=20:1：=1:q：=30：#已知条件。

U12,2

>eql：='+P-1--F[RC]-2-l=0:

>#£M(e)=0.

>eq2：=F[RE]=F[RC]:#支座约束力方程。

>SOLI：=solve({eql,eq2},{F[1?C],F[RE]}):

>#求解支座约束力。

>eq3.=Fs[4C]+q-x=0:#AC段剪力方程。

>eq4■■=M[AC]+1-q-x2=0:#AC段弯矩方程。

>eq5：=Fs[CD]+qJ-F[RC]=0:#CD段剪力方程。

>eq6-M[CD]+q-l-^x-^-F[RC]-(x-1)=0:

>#CD段弯矩方程。

>eq7：=Fs[DE]-q-1+F[RE]=0:#DE段剪力方程。

>eq8：=M[DE]+-x)—F[/?E]-(3J-x)=0:

>#DE段弯矩方程。

>eq9：=Fs[EB]-q-(4J-x)=0:#EB段剪力方程。

>eqlO■.=M[EB]+1-q-(4J-x)2=0:#EB段弯矩方程。

>S0L2：=solve({eq3,eq4,eq5,eq6,eq7,eq8,eq9,eqlO},

{Fs[4C],Fs[CD],Fs[DE],Fs[EB],M[AC],M[CD],M[DE],

M[EB]}):

>#求解剪力和弯矩。

>S0L2~subs(SOLl,S0L2):#代入剪力和弯矩方程。

>

>Fs：=x—>piecewise(x<1,Fs[AC],x<2-7,Fs[CD]fx<3-7,

Fs[DE]tx<4J,Fs[EB]):

>#构造剪力方程。

>F[s]：=normal(Fs(x)):#标准化。

>F[s]：=subs(S0L2iF[s]);#代入数值。

-30xX<1

10x<2

F:二

S-10xV3

120-30xx<4

>M：=x-^piecewise(x<lfM[AC],x<2-1fM[CD],x<3-1,

M[DE]fx<4J,M[EB]):

>#构造弯矩方程。

>M[x]：=normal(M(x)):#标准化。

>M[x]：=subs(S0L2f#代入数值。