2023年高考数学高分解题技巧方法总结

2023%高考核考高今斛条弑巧方注总辖

例题与题组

一、数形结合

画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思

维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。

【例题】、(07江苏6)设函数/(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x=l

对称，且当xNl时，/(x)=3v-l,则有()0

A、/(1)-/(|)-/(|)B、/(|)-/(|)-/(1)

C、/(|)-/(1)-/(|)D./(|).y(|)./(I)

【解析】、当xNl时,f(x)=3x-l,F(x)的y,M,

图象关于直线x=l对称，则图象如下图。:论H

-----------------------------Ax

这个图象是个示意图，事实上，就算画出J】

/(%)言》-1|的图象代替它也可以。由图知，

符合要求的选项是B,

【练习11若P(2,-1)为圆(1)2+丁=25的弦AB的中点，则直线AB

的方程是()

A、%—y—3=0B、2x+y-3=0C>x+y-1=0D>2x-y-5=0

(提示：画出圆和过点P的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A)

x-y+2«0

【练习2】、(07辽宁)已知变量x、y满足约束条件xNl,则上的

X

x+y-7<0

取值范围是()

n/9

A、—,6B、\—oo,—[,[6,+00）C、（一oo,3]_[6,+<x>）D、[3,6]

（提示：把）看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案，选

X

Ao）

【练习3】、曲线y=l+"-x2（xe［-2,2］）

与直线y=2）+4有两个公共点时，

女的取值范围是（）

A、（。，2）B、（：,；）

C、（―,+0°）D、（―,^-）

12124

（提示：事实上不难看出，曲线方程丁=1+”7正（无«-2,2］）的图象为

X2+（J；-1）2=4（-2＜X＜2,1＜）；＜3）,表示以（1,0）为圆心，2为半径的上半圆,

如图。直线广依-2）+4过定点（2,4）,那么斜率的范围就清楚了，选D）］

【练习4】、函数y=|x|（l-幻在区间

A上是增函数，则区间A是（

A、（―oo,o］B、0,—

C、［0,+oo）D、f^+oo'j

（提示：作出该函数的图象如右，知应该选B）

【练习5】、曲线乎卒】与直线尸…

有两个交点，则比的取值范围是（）

A、加＞4或wyTB、一4yey4

C>或机Y-3D、-3YH?Y3

(提示：作出曲线的图象如右，因为直线

y=2%+加与其有两个交点，则相>4或机yT,选A)

【练习6】、(06湖南理8)设函数〃x)=F，集合"={尢"(幻0},

P={x\f(x)0),若MqP,则实数。的取值范围是()

A、(9,1)B、(0,1)C、(1,4w)D、［l,+oo)

(提示：数形结合，先画出了⑴的图象。.(x)=T=l+~=1+工当

x-\x-1x-1

al时，图象如左;当aJ时图象如右。

由图象知，当a1时函数/(x)在(l,”o)上递增，/(X)0,同时/(x)0的

解集为(1,y)的真子集，选C)

【练习7】、(06湖南理10)若圆/+/-4》-分-10=0上至少有三个不同的点

到直线/:6+力=0的距离为2正，则直线/的倾斜角。的取值范围是()

7171口715万7171

A、D、吟

1241212

(提示：数形结合，先画出圆的图形。圆方程化为

(x-2了+(y-2)2=(30)2,由题意知,圆心到直线_

X

的距离”应该满足OKd4垃，在已知圆中画一个半

径为行的同心圆，则过原点的直线/：6+力=0与小圆有公共点，.•.选B。）

【练习8】、（07浙江文10）若非零向量a,b满足)

A、12bl>|a-2bB、|2b|<|a-2b

C、|2a>|2a-bD、|2a|<|2a-b

（提示：关键是要画出向量a,b的关系图，为此

先把条件进行等价转换。|a-b|=|b|o|a-b12=

b2<=>a2+b2-2a,b=b?oa,(a-2b)=0=

a_L(a-2b),又a-(a-2b)=2b,所以|a|,|a-2b

12bl为边长构成直角三角形，12bl为斜边，如上图,

12b>|a-2b|,选A。

另外也可以这样解：先构造等腰AOAB,使0B=AB,

再构造Rz\0AC,如以下图，因为0C>AC,所以选A。）

【练习9】、方程cosx=lgx的实根的个数是（）

A、1B、2C、3D、4

（提示：在同一坐标系中分别画出函数cosx与Igx的图象，如图,

▲y

由两个函数图象的交点的个数为3,知应选C）

【练习10］、（06江苏7）若A、B、C为三个集合，AB=BC,则一定有（）

A、A^CB、C^AC、A^CD、A=<D

(提示：若A=B=Cw①，则AB^A,BC=5=A

成立，排除C、D选项，作出Venn图，可知A成立）

【练习11］、（07天津理7）在R上定义的函数/（x）是偶函数，且

f(x)=f(2-x)o若/(x)在区间［1,2］上是减函数,则/(x)()

A、在区间［-2,-1］上是增函数，在区间［3,4］上是增函数

B、在区间［-2,-1］上是增函数，在区间［3,4］上是减函数

C、在区间［-2,T］上是减函数，在区间［3,4］上是增函数

D、在区间［-2,-1］上是减函数，在区间［3,4］上是减函数

（提示：数形结合法，/（x）是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结

论，如下左图知选B）

【练习12］、（07山东文11改编）方程丁=（；广2的解%的取值区间是（）

A、（0,1）B、（1,2）C、（2,3）D、（3,4）

（提示：数形结合，在同一坐标系中作出函数y=Vy=g产的图象，则立

刻知选B,如上右图）

二、特值代验

包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置和特殊图形，代入或者比照选项

来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。

【例题】、（93年全国高考）在各项均为正数的等比数列｛%｝中，若为4=9,

则log?4+log3a2++log3ai0=（）

A、12B、10C、8D、2+log35

【解析】、思路一（小题大做）：由条件有9=%4=利'从而

%吗吗。.卬。=+9=（q；q9）5=31。，

所以原式=log3（a0…4o）=log33i°=1。，选B。

思路二（小题小做）：由9=a5a6=%%=。2a9=4%（）知原式

510

=log3（6r5«6）=log33=3,选B。

思路三（小题巧做）：因为答案唯一，故取一个满足条件的特殊数列

%=4=3,4=1即可，选Bo

【练习1】、（07江西文8）若0”工，则以下命题中正确的选项是（）

2

2233

A、sinx—xB、sinx*-xC>sinx<—xD、sinxx

7171717t

（提示：取X=32验证即可，选B）

63

【练习2】、（06北京理7）f（n）=2+24+27+210+...+23n+,0（neN）,则/（〃）=

799?

A、—(8"-l)B、-(8,,+l-l)C、-(8n+3-l)D、-(H/,+4-1)

7777

(提示：思路一：f(n)是以2为首项，8为公比的等比数列的前〃+4项

的和，

所以/(〃)=2(1-8"+4)=”+4_1),选D。这属于直接法。

1-87

思路2：令〃=0,贝！J/(0)=2+2"+27+21°=2口］；)］=—1),对照选项，

只有D成立。)

【练习3】、(06全国1理9)设平面向量a八a2xas的和a"2+a3=0,如果

平面向量b、bz、b3满足|bi|=21ai|,且ai顺时针旋转30以后与b同向，

其中i=l、2、3则()

A、-bi+b2+b3=0B、bi-b2+b3=0C、bi+b2-b3=0D、bi+b2+b3=0

(提示：因为a1+a2+a3=0,所以a】、a2xa?构成封闭三角形，不妨设其为正

三角形，则bi实际上是将三角形顺时针旋转30后再将其各边延长2倍，仍为

封闭三角形，应选D。)

【练习4】、若f(x)=a，(a一⑵0,则尸(x+1)的图象是()

A、B、C、D、

(提示：抓住特殊点2,尸(2)0,所以对数函数尸⑴是减函数，图象往

左移动一个单位得广匕+1),必过原点，选A)

【练习5］、若函数y=/(x+l)是偶函数，贝ljy=7(2x)的对称轴是()

A、x=0B、x=1C、%=—D、x-2

2

(提示：因为若函数y=/(x+l)是偶函数，作一个特殊函数y=(x-l)2,则

y=/(2x)变为y=(2x-iy,即矢口y=/(2x)的对称轴是x,选C)

【练习6】、已知数列｛aj的通项公式为aWj其前n和为S“，那么

2n

&S+CnS2+-+CnSn=()

A、2n-3nB、3n-2nC、5n-2nD、3n一4"

(提示：愚蠢的解法是：先根据通项公式秩尸2自求得和的公式出，再代

入式子CnS+C：S2+…+Cn5,,再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解，有些

书上就是这么做的！其实这既然是小题，就应该按照小题的解思路来求做：令

n=2,代入式子，再对照选项，选B)

【练习7】、(06辽宁理10)直线y=2左与曲线9Z2f+y2=i8公区(keR,k*l)

的公共点的个数是()

A、1B、2C、3D、4

2

(提示：取攵=1,原方程变为(国-1)2+5=1,这是两个椭圆，与直线y=2有4

个公共点，选D)

【练习8】、如图左，若D、E、F分别是

三棱锥S-ABC的侧棱SA、SB、SC上的点)

且SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1,那

面DEF截三棱锥S-ABC所得的上下两局部

的体积之比为()

A、4：31B、6：23

C、4：23D、2：25

（提示：特殊化处理，不妨设三棱锥S-ABC是棱长为3的正三棱锥，K是

FC的中点，分别表示上下两局部的体积

84

则Vs-D£F=SsDEF2h=（2）2.2=-YL=~=A,选C）

匕ABCs,"「3万3327V,27-8+423

【练习9】、AABC的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H,

OH=m（OA+OB+OC）,贝Um的取值是（）

A、-1B、1C、-2D、2

（提示：特殊化处理，不妨设aABC为直角三角形，则圆心。在斜边中点处,

此时有OH=OA+OB+OC,/”=1,选B。）

22

【练习10］、双曲线方程为4+工=1，则k的取值范围是（）

\k\-25-k

A、%5B、2%5C.-2.k2D、-2女-2或攵5

（提示：在选项中选一些特殊值例如k=6,0代入验证即可，选D）

三、筛选判断

包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证，或者逻辑排除法，

即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。

【例题】、设集合A和B都属于正整数集，映射f：A-8把集合A中的元

素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，像20的原像是（）

A、2B、3C、4D、5

【解析】、经逐一验证，在2、3、4、5中，只有4符合方程2"+〃=20,选C。

【练习1】、（06安徽理6）将函数y=sinox30）

的图象按向量a=（-£,0）平移以后的图象如下图，则

6

平移以后的图象所对应的函数解析式是（

7%

A、y=sin(x+—)B、y=sin(x-£)

6612

U>y—sin(2x+D、y-sin(2x-y)

（提示：若选A或B,则周期为2万,与图象所示周期不符；若选D,则与“按

向量a=（-々0）平移〃不符，选C。此题属于容易题）

6

【练习2】、（06重庆理9）如图，单位圆中A3的

长度为x,/（幻表示与弦AB所围成的弓形的面的o

2倍，则函数y=/（x）的图象是)

yyyy

2万222

TC

71

H171X二»2〃X2〃

mxnx

A、B、D、

（提示：解法1设NAO8=e,则x=e,

贝IS弓形=S扇形一SAAOB=-xxl-2x—sin—cos—

2222

=—(x-sin^)=—(x-sinx)，当xe(0,4)时，

22

sinx-0,则x-sinx-x,其图象位于y=x下方；当xe（凡2万）时，sin尤一0,

x-sinx-x,其图象位于y=x上方。所以只有选D。这种方法属于小题大作。

解法2结合直觉法逐一验证。显然，面积/（X）不是弧长X的一次函数,

排除A；当X从很小的值逐渐增大时，/（X）的增长不会太快，排除B；只要XA不

则必然有面积排除c,选D。事实上，直觉好的学生完全可以直接选

D)

【练习3】、(06天津文8)若椭圆的中心点为E(T,0),它的一个焦点为

FV,0),相应于焦点的准线方程是x=j则这个椭圆的方程是()

以等+约B、驾吟经C、D、

55-

(提示：椭圆中心为(-1,0),排除A、C,椭圆相当于向左平移了1个单

位长度，故c=2,—《―1=_工，«2=5,选D)

c2

【练习4】、不等式x+32的解集是()

A、(―1,0)「(1收)B、y,—i)|j(O,l)

C、(-1,0),..(0,1)D、y,—1)-(1,”)

(提示：如果直接解，差不多相当于一道大题！取x=2,代入原不等式,

成立，排除B、C；取x=-2,排除D,选A)

【练习5】、(06江西理12)某地一年内的气温

Q(t)(℃)与时间t(月份)之间的关系如右图，

已知该年的平均气温为10℃。令C(t)表示时间

段［0,t］的平均气温，C(t)与t之间的函数关系

如以下图，则正确的应该是()

A、B、C、

D、

(提示：由图可以发现，t=6时，C(t)=0,排除C；t=12时，C(t)=10,

排除D；t>6时的某一段气温超过10℃,排除B,选A。)

【练习6】、集合M={(2〃+1)划〃wZ}与集合N={(4Z±l)%|ZeZ}之间的关系是

()

A、MuNB、MnNC>M=ND、M丰N

(提示：C、D是矛盾对立关系，必有一真，所以A、B均假；2〃+1表示全

体奇数，4%±1也表示奇数，故M江N且B假，只有C真，选C。此法扣住了概

念之间矛盾对立的逻辑关系。

当然，此题用现场操作法来解也是可以的，即令k=0,±1,±2,±3,然

后观察两个集合的关系就知道答案了。)

【练习7】、当时，-4%4+1恒成立，则。的一个可能的

值是()

A、5B>-C、--D、-5

33

(提示：若选项A正确，则B、C、D也正确；若选项B正确，则C、D也正

确；若选项C正确，则D也正确。选D)

【练习8】、(01广东河南10)对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,

0)都满足同，则a的取值范围是()

A、(-oo,0)B、(-oo,2]C、[0,2]D、(0,2)

(提示：用逻辑排除法。画出草图，知a<0符合条件，则排除C、D；

又取a=l,则P是焦点，记点Q到准线的距离为d,则由抛物线定义知道，此

时a〈d<|PQ],即说明a=l符合条件，排除A,选B。另外，很多资料上解此题

是用的直接法，照录如下，供“不放心”的读者比拟一一

设点Q的坐标为序,%）,由|P梨同，得弁+生心",整理得

）；（）'；+16-8”）20,

,Zyj>0,AyJ+16-8«>0,即“42+迎恒成立，而2+起的最小值是2,

88

67<2,选B）

【练习9】、（07全国卷I理12）函数/（x）=cos2x-cos25的一个单调增区间是

（）

A、你2B、信与C、（闯D、1旌）

（提示：“标准〃答案是用直接法通过求导数解不等式组，再结合图象解得的，

选A。建议你用代入验证法进行筛选：因为函数是连续的，选项里面的各个端

点值其实是可以取到的，由令，显然直接排除D,在A、B、C中只

要计算两个即可，因为B中代入工会出现土，所以最好只算A、C、现在就验

612

算A,有吗）一/（争，符合，选A）

四'等价转化

解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化，要

通过必要的训练，到达见识足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题

中这一点显得尤其重要。

【例题】、（05辽宁12）一给定函数y=/（元）的图象在以下图中，并且对任

意由关系式%=/（%）得到的数列满足%-a“（〃eN+）,则该函数的图

象是（）

A、B>C、D>

【解析】问题等价于对函数y=/(x)图象上任一点(羽y)都满足y：x,只能选A。

【练习1】、设r=sina+cosa,且sin%+cos，YO,贝h的取值范围是()

A、[-V2,0)B、[-V2,V2]

C、(-1,0)U(1,V2]D、(-V3,0)U(V3,+<»)

(提示：因为sin'a+cos，=(sina+cosa)(sin%-sinacosa+cos，),

而sin，-sinacosa+cos'a>0恒成立，故sin'a+cos'aYO<=>t<0,选A。

另解：由sir?a+cos，YO知a非锐角，而我们知道只有a为锐角或者直角时

/=sina+cosa<V2,所以排除B、C、D,选A)

【练习2】、「心是椭圆：+y2=l的左、右焦点，点P在椭圆上运动，贝|)|尸耳中勾的

最大值是()

A、4B、5C、1D、2

(提不：设动点P的坐标是(2cosa,sina),由耳，尸?是椭圆的左、右焦点得

^(-A/3,0),6(6,0),则

|p耳•PF^-|(2cosa+G,sin«).(2cosa-y/3,sina)|=|4cos2a-3+sin2a

H3cos26r-2|<2,选D。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求

最值的问题。特别提醒：以下“简捷〃解法是掉进了命题人的“陷阱”的

\PFt-Pf；|<=片=4）

【练习3】、若log“210gz,20,则（）0

A、0x<7b1B、0-ba-IC、a~b\D、b-a、1

（提示：利用换底公式等价转化。

log“2log%2.0=0o1g/?1ga-00ba1,选B)

Igalg6

【练习4】、a,b,c,dGR,且d-c,a+b-c+d,a+db+c,贝lj（）

Ia।匕_____I

dbacbcda

i~H-------i

C、bdcaD、bdac

（提示：此题条件较多，又以符号语言出现，

令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化”，

如图，用线段代表a,"c,d,立马知道选C。当然

这也属于数形结合方法。对策之二是“抽象语言具体化"，分别用数字1,4,

2,3代表a1,c,d,容易知道选Co也许你认为对策一的转化并不等价，是的，

但是作为选择题，可以事先把条件“a,ac,deR”收严一些变为4c,dwR+〃。

【练习5］、已知/.0,若函数/（x）=sin丝sin让”在工石』上单调递增，

22L43_

则。的取值范围是（）

A、（0,gB、（03C、（0,2］D、［2,-H）O）

（提水：化简得/（x）=gsinox,,「sinx在上递增，

,而/•（©在--上单调递增

222。2a）43_

--71,—71ZD---71,-7-1n0«69W—3，y7CD0八,•••、生Bn）、

[43」一]2@20」2

【练习6】、把10个相同的小球放入编号为1,2,3的三个不同盒子中，

使盒子里球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是（）

A、C；B、c；C、ClD、

（提示：首先在编号为1,2,3的三个盒子中分别放入0,1,2个小球，

则余下的7个球只要用隔板法分成3堆即可，有c；种，选B；如果你认为难以

想到在三个盒子中分别放入只0,1,2个小球，而更容易想到在三个盒子中分

别放入只1,2,3个小球，那也好办：你将余下的4个球加上虚拟的（或曰借

来的）3个小球，在排成一列的7球6空中插入2块隔板，也与本问题等价。）

【练习7】、方程玉+%+七+/=12的正整数解的组数是（）

A、24B、72C、144D、165

（提示：问题等价于把12个相同的小球分成4堆，故在排成一列的12球

11空中插入3块隔板即可，答案为《=165,选D）

【练习8】、从1,2,3,…，10中每次取出3个互不相邻的数，共有的取

法数是（）

A、35B、56C、84D、120

（提示：逆向思维，问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的

7个数的8个空中，那么问题转化为求从8个空位中任意选3个的方法数，为

C；=56,选B）

【练习9】、（理科）已知1加丝也里=3,贝山=（）

uX-1

A、4B、-5C、-4D、5

(提示：逆向思维，分母(x-1)一定是存在于分子的一个因式，那么一

定有ax1+bx+l=(x-i)(ax-l)=ax2-(l+62)x+l，「•必然有/?=-(!+a)，且

lim""++1=lim(ax-1)，，axl—l=3=a=4,Z?=-5,选B)

Ix—lXTI

【练习10］、异面直线m,〃所成的角为60,/\/1

过空间一点o的直线/与〃〃所成的角等于经?

则这样的直线有()条二/一\

A、1B、2C、3D、4

(提示：把异面直线加，〃平移到过点0的位置，记他们所确定的平面为a,则

问题等价于过点0有多少条直线与加，〃所成的角等于60,如图，恰有3条，选

C)

【练习11］、不等式加+法+c”的解集为何-x.2},那么不等式

a(x2+l)+Z>(x-l)+c2ax的解集为()

A、{x|0x-3}B、卜0,orx3}C、{x\-2x1}D、卜,-2,orx1}

(提小：把不等式aS?+1)+伙x-l)+c2ax化为a。-1)?+b(x-l)+c-0,其结构与

原不等式加+fev+c0相同，则只须令卜1一x-l一2,得0x.3,选A)

五'巧用定义

定义是知识的生长点，因此回归定义是解决问题的一种重要策略。

【例题】、某销售公司完善管理机制以后，其销售额每季度平均比上季度增

长7%,那么经过x季度增长到原来的y倍，则函数y=/(x)的图象大致是()

A、B、C、D、

【解析】、由题设知，y=(l+0.07)，，•••1+0.07.1,.•.这是一个递增的指数函

数，其中XAO,所以选D。

【练习1】、已知对于任意都有/(x)+/(y)=2/(岩)/(寸)，且

/(0)0,则/(x)是()

A、奇函数B、偶函数C、奇函数且偶函数D、非奇且非偶函数

(提示：令y=0,则由/(O)wO得/(0)=1;又令y=-x,代入条件式可得

/(-x)=/(x),因此/(x)是偶函数，选B)

【练习2】、点M为圆P内不同于圆心的定点，过点M作圆Q与圆P相切，

则圆心Q的轨迹是()

A、圆B、椭圆C、圆或线段D、线段

(提示：设。P的半径为R,P、M为两定点，那

么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数，，由椭圆定义知圆

心Q的轨迹是椭圆，选B)

22

【练习3】、若椭圆?+上1内有一点P(1,-1),F为右焦点，椭圆上有

一点M,使|MP|+2|MF|最小,则点M为()

A、(马«^-1)B、C、D、(±-^6^—1)

(提示：在椭圆中，a=2,b=43,则c=l,e，=L设点M到右准线的距离

a2

为|MN|,则由椭圆的第二定义知，叫Yn|MN|=2|M/|,从而

\MN\2

\MP\+2\MF\=]MP\+\MN\,这样，过点P作右准线的垂直射线与椭圆的交点即

为所求M点，知易M(g疯-1),应选A)

22

【练习4】、设耳,工是双曲线二—2=1“o,0)的左、右焦点，P为双曲

ab-b

\pp12

线右支上任意一点，若H■的最小值为8以，则该双曲线的离心率e的取值范

附I

围是()

A、[2,3]B、（1,3]C、[3,+oo）D、。,2]

(提示：篙=殁尚＞=号+附+2人当且仅当耳=|P£|,即

1^111

阀|=%,|P&=4a时取等于号,又归周+忸闾.6闻,得6a22c,1eW3,选

B）

【练习5】、已知P为抛物线V=4x上任一动点，记点P到y轴的距离为d,

对于给定点A(4,5),|PA|+d的最小值是()|[

A、4B、扃C、V17-1D、取-]].

(提示：d比P到准线的距离(即|PF|)

1,|PA|+d=|PA|+|PF|-l,而A点在抛物线外，

|PA|+d的最小值为|AF|T=JM-1,选D)

【练习6】、函数y=/(x)的反函数尸(x)=U,则y=/(x)的图象()。

x+3

A、关于点(2,3)对称B、关于点(-2,-3)对称

C、关于直线y=3对称D、关于直线X=-2对称

(提示：注意到尸。)=匕②的图象是双曲线，其对称中心的横坐标是-3,

x+3

由反函数的定义，知y=7(x)图象的对称中心的纵坐标是-3,.,.只能选B)

【练习7】、已知函数y=/(x)是R上的增函数，那么a+60是

+©+/(-")的()条件。

A、充分不必要B、必要不充分C、充要D、不充分不必要

(提示：由条件以及函数单调性的定义，有

a+b-0=-"o坐+./j)+/(孙而这个过程并不

也—aof(a)-f(-b)

可逆，因此选A)

【练习8】、点P是以耳,K为焦点的椭圆上的一点，过焦点尸2作/耳PK的外

角平分线的垂线，垂足为M,则点M的轨迹是(

A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物，

(提示：如图，易知尸Q=”,M是工。的中点，

.•.0M是耳Q的中位线，MO=；£Q=；(6P+PQ)=；(F；P+鸟尸)，由椭圆的定

义知，"+厅=定值，，MO=定值(椭圆的长半轴长a),.,.选A)

【练习91在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+D=(x-2y+3)2

表示的是双曲线，则m的取值范围是()

A、(0,1)B、(1,+00)C、(0,5)D、(5,+00)

(提示：方程m(x2+y2+2y+l)=(x-2y+3)?可变形为机=占沁1L,即

x2+y2+2y+l

得-1=J丁+?+y，e=，这表示双曲线上一点(》,>)到定点(o,

y/m|x—2y+3|\m|x-2y+3|

旧

-1）与定直线x-2y+3=0的距离之比为常数e=、R,又由e」，得到0一小5,

Vm

•••选C。若用特值代验，右边展开式含有孙项，你无法判断）

六、直觉判断

数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守概念和逻

辑规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质，大大节约

思考时间。逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位，而直觉思维又是思维

中最活泼、最积极、最具有创造性的成分。两者具有辨证互补的关系。因此，

作为选拔人才的高考命题人，很自然要考虑对直觉思维的考查。

【例题】、已知sinx+cosx=（,〃.，则tanx的值为（）

*44—3c3n4

A\—BD\——C\—D%一

33443

【解析】、由题目中出现的数字3、4、5是勾股数以及x的范围，直接意识

到sinx=--^,cosx=;从而得到tanx=-j,选Co

【练习1】、如图，已知一个正三角形内接于一个边长为哂东端普中，

问x取什么值时，内接正三角形的面积最小（）/

A>-B>-C>-D、—a

2342

（提示：显然小三角形的边长等于大三角形的边长之半时面积最小，选

Ao)

【练习2】、（课此题改编）测量某个零件直径的尺寸，得到10个数据:

内,々，七，/，如果用工作为该零件直径的近似值，当x取什么值时，

222

（x-x,）+（x-x2）+（x-x3）++（X-X|O）2最〃、？（）

A、X,,因为第一次测量最可靠B、x10,因为最后一次测量最可靠

c、土生，因为这两次测量最可靠D、-3++玉。

210

（提示：若直觉好，直接选D。若直觉欠好，可以用退化策略，取两个数

尝试便可以得到答案了。）

【练习3】、若（1-24=4+平+42》2++%/,则|%|+|q|+|%|++|%|=（）

A、-1B、1C、0D、37

（提示：直觉法，系数取绝对值以后，其和会相当大，选Do或者退化判

断法将7次改为1次；还有一个绝妙的主意：干脆把问题转化为：已知

721

（1+2x）=aQ+axx+a2x++a1x,求4+《+4+•+%，这与原问题完全等价，此

时令x=l得解。）

【练习4】、已知a、b是不相等的两个正数，如果设p=（a+L）（b+3,

ab

4=（而+3）2,r=（史心+三）2,那么数值最大的一个是（）

y/ab2a+b

A、pB>qC、rD、与a、b的值有关。

（提示：显然P、q、r都趋向于正无穷大，无法比拟大小，选D。要注意,

这里似乎是考核均值不等式，其实根本不具备条件一一缺乏定值条件！）

【练习5】、（98高考）向高为H的水瓶中注水，注满为止。如果注水量V

与水深h的函数关系如以下左图，那么水瓶的形状是（）。

ABCD

(提示：抓住特殊位置进行直觉思维，可以取0H的中点，当高H为一半时,

其体积过半，只有B符合，选B)

【练习6】、(07江西理7文11)四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自

不同的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图,

盛满酒好他们约定：先各自饮杯中酒的一半。设剩余酒的高度从左到右依次为

4也焉也，则它们的大小关系正确的选项是()

As%：-4>也B\%»h2AhiC\网-hh4D、h2Ah4Ah

(提示：选A)

【练习7】、(01年高考)过点A(l,-1)、B(-L1)且圆心在直线x+y-2=0

上的圆的方程是()

A、(x-3)2+(y+l)2=4B、(x+3)2+(y-l)2=4

C、(x-l)2+(y-l)2=4D、(x+l)2+(y+l)2=4

(提示：显然只有点(1,1)在直线x+y-2=0上，选C)

【练习8】、(97全国理科)函数y=sing-2x)+cos2x的最小正周期是()

A>—B>7tC、27rD、4〃

2

（提小：因为总有Qsins+〃coss=Asin（3x+e）,所以函数y的周期只与g

有关，这里口=2,所以选B）

x»0,

【练习9】、（97年高考）不等式组3-xJ2T的解集是（）

3+x|2+x|

A、{x|0x2}B、{x|0x-2.5}

C、1x|0xVbjD、（x|0-x3}

（提示：直接解肯定是错误的策略；四个选项左端都是0,只有右端的值

不同，在这四个值中会是哪一个呢？它必定是方程土W=|三。的根！，代入验

3+x3+尤

证：2不是，3不是，2.5也不是，所以选C）

【练习10]、^ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（）

A、-V3B、工C、1D>-

882

（提示：此题选自某一著名的数学期刊，作者提供了以下“标准”解法,

特抄录如下供读者比拟：

设y=cosAcosBcosC,则2y=[cos（A+B）+cos（A-B）]cosC,

.\cos2C-cos（A-B）cosC+2y=0,构造一,元二次方程x?-cos（A-B）x+2y=0,

则cosC是一元二次方程的根，由cosC是实数知：△=cos2（A-B）-8y20,

即8yWcos?（A-B）W1,：.y<~,故应选B。

8

这就是“经典”的小题大作！事实上，由于三个角A、B、C的地位完全平

等，直觉告诉我们：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A=B=C=60°

即得答案B,这就是直觉法的威力，这也正是命题人的意图所在。）

【练习111（07浙江文8）甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3

局2胜〃，即以先赢2局者为胜，根据以往经验，每局比赛中甲获胜的概率为

0.6,则本次比赛中甲获胜的概率为（）

A、0.216B、0.36C、0.432D、0.648

（提示：先看“标准”解法一一甲获胜分两种情况：①甲：乙=2：0,其概

率为0.6X0.6=0.36,②甲：乙=2：1,其概率为［。；0.6乂0.心0.6=0.288,所以

甲获胜的概率为0.36+0.288=0.648,选D。

现在再用直觉法来解：因为这种比赛没有平局，2人获胜的概率之和为1,

而甲获胜的概率比乙大，应该超过0.5,只有选D。）

【练习121sina+cosa-41,贝!!tana+cota=（）

A、1B、2C、-1D、-2

（提示：显然a=工，选B）

4

七、趋势判断

趋势判断法，包括极限判断法，连同估值法，大致可以归于直觉判断法一

类。具体来讲，顾名思义，趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果，要

求化静为动，在运动中寻找规律，因此是一种较高层次的思维方法。

【例题】、（06年全国卷I,11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）

的5根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角

形的最大面积为多少？

A、875cm2B、6V10cm2C、3755cm2D、20cm2

【解析】、此三角形的周长是定值20,当其高或底趋向于零时其形状趋向

于一条直线，其面积趋向于零，可知，只有当三角形的形状趋向于最“饱满〃

时也就是形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6,因此易

知最大面积为6厢cm?,选B。）

【练习1］、在正n棱锥中，相邻两侧面所成二面角的平面角的取值范围是

（）

A、（"2■乃，乃）B、（尘［乃，万）C、（0,—）D、（匕2万,上［乃）

nn2nn

（提示：进行极限分析，当顶点无限趋近于底面正多边形的中心时，相邻

两侧面所成二面角af乃，且£不；当锥体〃-400且底面正多边形相对固定不

变时，正n棱锥形状趋近于正n棱柱，土工肛且夕上2①选A）

nn

4

【练习2】、设四面体四个面的面积分别为它们的最大值为S,记4=看，

则2一定满足（）

A、2.；LW4B、3X4C、2.5A4.5D、3.525.5

（提示：进行极限分析，当某一顶点A无限趋近于对面时，S=S对面，不妨

设$=51,则Sz+Ss+S-S挪么4=2,选项中只有A符合，选A。当然，我们也

可以进行特殊化处理：当四面体四个面的面积相等时，2=4,凭直觉知道选A）

【练习3】、正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为a,侧面与底面

所成角为。,则2cosa+cos2夕的值是（）

A、1B、1C、0D、-1

2

（提示：进行极限分析，当四棱锥的高无限增大时，90,那么

2cosa+cos2/7f2cos90+cos180=一1,选D）

【练习4】、在AABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c,若c-a等

于AC边上的高，那么sinC心+cos1的值是（）

22

A、1B,-C、1D、-1

2