点到平面的距离的几种求法

点到平面的距离的几种求法求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点•本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》（必修本）中的概念、习题，概括出求点到平面的距离的几种基本方法.例已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离.一、直接通过该点求点到平面的距离1.直接作出所求之距离，求其长.解法1•如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交CB的延长线于M，连结GM，作BN丄BC，交GM于N，则有BN〃CG，BN丄平面ABCD.作BP丄EM，交EM于P，易证平面BPN丄平面EFG.作BQ丄PN，垂足为Q，则BQ丄平面EFG.于是BQ是点B到平面EFGrr BP2+BN2=—的距离•易知BN=2/3，BP=^'，PN= ，由BQ・PN=PB・BN，得BQ=〔I.图1图1图22•不直接作出所求之距离，间接求之.（1）利用二面角的平面角.课本P.42第4题，P.46第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”.如图2,二面角M-CD-N的大小为a，AEM，AB丄CD，AB=a，点A到平面N的距离AO=d，则有d=asina. ①①中的a也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过AB的二面角的平面角.解法2•如图3，过B作BP丄EF，交FE的延长线于P，易知BP=^，这就是点B到二面角C-EF-G的棱EF的距离•连结AC交EF于H，连结GH，易证ZGHC就是二面角C-EF-G的平面角.•••GC=2，A求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点•本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》（必修本）中的概念、习题，概括出求点到平面的距离的几种基本方法.例已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离.一、直接通过该点求点到平面的距离1•直接作出所求之距离，求其长.解法1•如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交CB的延长线于M，连结GM，作BN丄BC，交GM于N，则有BN〃CG，BN丄平面ABCD.作BP丄EM，交EM于P，易证平

垂足为Q,则BQ丄平面EFG•于是BQ是点B到平面EFG垂足为Q,则BQ丄平面EFG•于是BQ是点B到平面EFG面BPN丄平面EFG.作BQ丄PN,的距离•易知BN=2/3,BP=得BQ=I】PN=4BP2+BN3，由BQ・PN=PB・BN,2.(1)利用二面角的平面角.课本P.42第4题，P.46第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”.如图2,二面角M-CD-N的大小为a,AeM,AB丄CD,AB=a，点A到平面N的距离AO=d,则有d=asina. ①①中的a也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过AB的二面角的平面角.解法2•如图3,过B作BP丄EF，交FE的延长线于P,易知BP=^，这就是点B到二面角C-EF-G的棱EF的距离•连结AC交EF于H,连结GH,易证ZGHC就是二面角C-EF-G的平面角GC=2,AC=4血，AH=旋，CH=3旋，GH=忑，sinZGHC=2/圧，2 2-7fl于是由①得所求之距离d=BP.sinZGHC=J^•、晅=门.解略.利用斜线和平面所成的角.如图4,0P为平面a的一条斜线，A^OP,OA=1,0P与a所成的角为0,A到平面a的距离为d,则由斜线和平面所成的角的定义可知，有d=lsin0•②经过0P与a垂直的平面与a相交，交线与OP所成的锐角就是②中的0，这里并不强求要作出点A在a上的射影B,连结0B得0•解法3•如图5,设M为FE与CB的延长线的交点，作BR丄GM,R为垂足•又GM丄EB,易得平面BER丄平面EFG,ER为它们的交线，所以ZREB就是EB与平面EFG所成的角0•由EB=2,所以sin0EB=2,所以sin0=BR/ER=门，于是由②得所求之距离d=口.△MRBs^MCG，可得BR='°，在Rt^REB中，ZB=90JH 27HS=2THS=2TH，所以有1/3・2你・d=1/3・2・2,得4=△EFG二、不经过该点间接确定点到平面的距离1•利用直线到平面的距离确定解法5•如图7,易证BD〃平面EFG，所以BD上任意一点到平面EFG的距离就是点B到平利用三棱锥的体积公式.解法4•如图6,设点B到平面EFG的距离为d,则三棱锥B-EFG的体积V=(1/3)S△EF•d.另一方面又可得这个三棱锥的体积V=(1/3)S •CG,可求得S=(1/4)S=2,△FEB △FEB △DAB2-711vT面EFG的距离•由对称思想可知，取BD中点0,求点0到平面EFG的距离较简单.AC交EF于H,2血交BD于0•易证平面GHC丄平面EFG，作0K丄HG,K为垂足，0K=口为所求之距离.图7 图82•利用平行平面间的距离确定如图8,把平面EFG补成一个正四棱柱的截面所在的平面，可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗•面GMT是正四棱柱ABCD-ABGD经过F、E、G的截面所在的平面.MG交BB于1111N,TG交DD于Q,作BP〃MG，交CG于P,连结DP,则有平面GTM〃平面PDB.它们之间1的距离就是所求之距离•于是可以把点B平移到平面PDB上任何一个位置，哪里方便就在哪里求.这两个平行平面的距离d又同三棱柱GQN-PDB的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离•据此可得解法6.解法6•三棱柱GQN-PDB的体