2022-2023学年广东省珠海市田家炳中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.书架上层放有本不同的语文书，下层放有本不同的数学书，从书架上任取本书的取法种数为()

A.B.C.D.

2.已知等差数列满足，若为的前项和，则()

A.B.C.D.

3.在等比数列中，已知，，则的值为()

A.B.C.D.

4.已知，则等于()

A.B.C.D.

5.用数字，，，，组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为()

A.B.C.D.

6.在的二项展开式中，常数项的值为()

A.B.C.D.

7.已知等比数列的前项和，则数列的前项和等于()

A.B.C.D.

8.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.若，则的值可以是()

A.B.C.D.

10.若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是()

A.B.其中且

C.D.

11.如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是()

A.在上是增函数

B.在上是减函数

C.当时，取得极小值

D.当时，取得极大值

12.过点的直线与函数的图象相切于点，则的值可以是()

A.B.C.D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知函数，为的导函数，则______．

14.从，等名志愿者中随机选名参加核酸检测工作，则和至多有一个入选的方法数为______．

15.若是函数的极值点，则实数______．

16.若数列，都等差数列，且有，则______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知对任意给定的实数，都有求值：

；

．

18.本小题分

等比数列的公比为，且，，成等差数列．

求数列的通项公式；

若，求数列的前项和．

19.本小题分

已知等差数列的前项和满足，．

求的通项公式；

，求数列的前项和．

20.本小题分

已知函数．

若，求函数在区间上的最大值；

若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围．

21.本小题分

已知数列满足．

求证：数列是等比数列；

设，求的前项和．

22.本小题分

已知函数．

当时，求曲线在处的切线方程；

求函数的单调区间．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：根据分类计数原理可知，不同的取法有种．

故选：．

根据分类加数计数原理直接求解即可．

本题考查分类加数计数原理，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：由等差数列的性质可知：，

所以．

故选：．

由等差数列的性质，求和公式进行计算．

本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：等比数列中，，，

所以，

则．

故选：．

由已知结合等比数列的性质即可求解．

本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．

4.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了导数的运算，以及函数的值．运用求导法则得出函数的导函数，属于基础题．

对函数的解析式求导，得到其导函数，把代入导函数中，列出关于的方程，进而得到的值

【解答】

解：求导得，

令，得到，

解得：，

故选：．

5.【答案】

【解析】解：根据题意，分步进行分析：

、要求五位数为偶数，需要在、之中任选个，安排在个位，有种情况，

、将剩下的个数字安排在其他四个数位，有种情况，

则有个五位偶数，

故选：．

根据题意，分步进行分析：、在、之中任选个，安排在个位，、将剩下的个数字安排在其他四个数位，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．

本题考查分步计数原理的应用，要根据偶数的特点分析个位数字，再分析其他的数位．

6.【答案】

【解析】解：是常数，

多项式中与的个数相同，

即常数项为．

故选：．

根据常数项的性质进行求解即可．

本题主要考查二项式定理的应用，根据与的特点，利用直排法进行求解是解决本题的关键，是基础题．

7.【答案】

【解析】解：等比数列的前项和，

所以，

当时，，

当时，满足上式，

所以

，

则数列的前项和为．

故选A．

由题意可得等比数列的首项为，公比为，，再由等差数列的求和公式，计算即可得到所求值．

本题考查等比数列的求和公式和通项公式的运用，以及等差数列的求和公式的应用，考查运算能力，属于基础题．

8.【答案】

【解析】解：因为函数在上是增函数，

所以在上恒成立，即，即恒成立，

又，当且仅当时，等号成立，

所以．

故选：．

依题意，在上恒成立，即恒成立，结合基本不等式即可得解．

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：因为，

所以或，解得或．

故选：．

利用组合数的计算即可求解．

本题主要考查组合数公式，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：由于为等比数列，所以，

所以：对于：常数，故A正确；

对于：常数，故B正确；

对于：常数，故C正确；

对于：满足常数，故为等差数列，故D错误．

故选：．

直接利用等比数列的性质求出结果．

本题考查的知识要点：等比数列的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

11.【答案】

【解析】解：由的导函数的图象知，

导函数在、上小于，单调递减，

在、上大于，单调递增，选项A错误，B正确；

函数在处取得极小值，选项C正确；

时导函数取得极大值，原函数没有取得极大值，选项D错误．

故选：．

结合导函数的图象，得出函数的单调性以及函数的极值点，从而判断选项的正误．

本题考查了利用函数的导数判断函数的单调性和极值的应用问题，是基础题．

12.【答案】

【解析】解：因为，所以，

由题意得直线的斜率，

即，解得或．

故选：．

根据过函数图象上一点处的切线与导数之间的关系求解．

本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．

13.【答案】

【解析】解：，

，

．

故答案为：．

根据复合函数的求导法则，求出函数的导数，代入，即得答案．

本题主要考查导数的运算，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：从，等名志愿者中随机选名参加核酸检测工作，则和都入选的方法数有种，

故A和至多有一个入选的方法数为种．

故答案为：．

从，等名志愿者中随机选名参加核酸检测工作，先求出和都入选的方法数，再用间接法列式计算即可．

本题考查组合数的应用，考查学生计算能力，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：，由题意知，解得．

经检验，时，，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以是函数的极小值点，满足题意．

故答案为：．

根据极值点处导函数等于零求解．

本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，化归转化思想，属中档题．

16.【答案】

【解析】解：设等差数列、的前项和分别为，，

由．

故答案为：．

根据题意，由等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果．

本题主要考查了等差数列的前项和公式，考查了等差数列的性质，属于基础题．

17.【答案】解：，

令，则；

令，则，

由得，

由得．

【解析】利用赋值法，令，即可得出答案；

利用赋值法，令，即可得出答案；

本题考查二项式定理，考查转化思想，考查赋值法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

18.【答案】解：等比数列的公比，且，，成等差数列，

，

，

，又，

；

，

．

【解析】根据等差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，即可求解；

根据分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，即可求解．

本题考查差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，属中档题．

19.【答案】解不妨设等差数列的公差为，

可得，，

所以，

解得，

所以；

由知，

所以，

所以．

．

【解析】由题意，设等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式列出等式即可求出首项和公差，代入通项公式中即可求解；

结合中所得信息得到，，再利用裂项相消求和，进而即可求解．

本题考查数列的通项公式的求解以及数列的求和，考查了逻辑推理、化简整理以及运算能力．

20.【答案】解：，因为，所以，所以，

，在上恒成立，所以函数在区间上单调递增，

所以；

因为函数在区间上为增函数，

所以在上恒成立，

所以在上恒成立，所以．

实数的取值范围为

【解析】先对函数求导，根据求出，根据函数的单调性即可得；

根据题意知，分离参数即可得．

本题考查利用导数研究函数单调性求最值，属于基础题．

21.【答案】解：证明：由，

可得，

即是首项为，公比为的等比数列，

由知，，，

因为，所以，

所以．

令，

，

两式相减可得，

所以，

所以，

又，

所以．

【解析】根据已知条件构造出，结合等比数列定义证明结论；

先求出的通项，利用分组求和法和错位相减法求出结果．

本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的分组求和、错位相减法求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

22.【答案】解：当时，，，

则，

所以，又，

所以曲线在点处的切线方程为，即；

，

当，令得，由得，由得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

当，令得，

当时，由得或，由得，

所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；

当时，，所以的单调增区间为，无单调减区间；

当时，由得或，由得，

所以的单调增区