2022-2023学年安徽省安庆市九一六学校高一（下）第四次调研数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列几何体中是旋转体的是()

圆柱；六棱锥；正方体；球体；四面体．

A.和B.C.和D.和

2.用半径为的半圆形铁皮围成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为()

A.B.C.D.

3.若复数满足，则复数的虚部为()

A.B.C.D.

4.如图，在中，为线段上的一点，，且，()

A.，

B.，

C.，

D.，

5.在中，角，，所对的边分别为，，，：：：：，则()

A.B.C.D.

6.如果直线平面，直线平面，且，则与()

A.共面B.平行

C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线

7.如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()

A.

B.

C.

D.

8.辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎如图一出土于辽宁省喀左县小波汰沟此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体忽略鼎壁厚度，如图二所示已知球的半径为，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知向量，，则()

A.与方向相同的单位向量的坐标为

B.当时，与的夹角为锐角

C.当时，、可作为平面内的一组基底

D.当时，在方向上的投影向量为

10.在中，角，，的对边分别为，，，对于有如下命题，其中正确的是()

A.若，则是锐角三角形

B.若，，则的外接圆的面积等于

C.若是锐角三角形，则

D.若，则是等腰直角三角形

11.下列说法中正确的是()

A.若一个球的直径为，则此球的表面积为

B.若一个圆锥的底面积为，母线长为，则此圆锥的体积为

C.若两个球的半径之比为：，则这两个球的体积之比为：

D.棱台的上下两个地面面积分别为，，高为，则体积为

12.在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则()

A.线段长度的最小值为B.三棱锥的体积为定值

C.平面截正方体所得截面为梯形D.直线与所成角的大小可能为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.不共面的四点可以确定平面的个数是______．

14.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，，则的面积是______．

15.如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则与所成角的余弦值为．

16.四面体中，，，则此四面体外接球的表面积为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知复数，试求实数为什么值时，复数分别为：

实数；

纯虚数．

18.本小题分

已知，．

与夹角的余弦值；

若与垂直，求的值．

19.本小题分

棱长为的正方体中，为的中点．

求异面直线和所成角的正切值．

求三棱锥的体积．

20.本小题分

三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱底面，点，分别是棱，上的点，点是线段上的动点，．

当点在什么位置时，有平面，并加以证明．

求四棱锥的表面积．

21.本小题分

如图，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，

求证：，，，四点共面；

平面平面．

22.本小题分

在中，内角，，的对边分别是，，，已知．

求角；

若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：圆柱是旋转体；

六棱锥是多面体；

正方体是多面体；

球体是旋转体；

四面体是多面体．

故选D．

利用旋转体的概念直接进行判断．

本题考查旋转体的定义，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

2.【答案】

【解析】解：设圆锥筒的底面半径为，则，即，

由已知可得圆锥筒的母线长为，则圆锥的高为．

故选：．

由已知列式求得圆锥筒的底面半径，再由勾股定理求高．

本题考查圆锥的侧面展开图，考查勾股定理的应用，是基础题．

3.【答案】

【解析】解：由得，

故复数的虚部为．

故选：．

根据复数的除法法则得到，求出虚部．

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：在中，为线段上的一点，，且，

则：，

整理得：，

由于：，

所以：，．

故选：．

直接利用向量的共线的充要条件和向量的减法求出结果．

本题考查的知识要点：向量共线的充要条件，向量的线性运算，属于基础题型．

5.【答案】

【解析】解：设，，，

利用余弦定理：，

故选：．

直接利用余弦定理的应用求出结果．

本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：根据题意，直线平面，直线平面，且，

则与不会相交，即平行或异面，

故选：．

根据题意，由平面和平面平行的性质，分析可得答案．

本题考查平面与平面平行的性质，涉及直线间的位置关系，属于基础题．

7.【答案】

【解析】解：由斜二测画法的规则可知，

原图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，长度不变，

原图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度为原来一半，

由于轴上的线段长度为，故在原图形中，其长度为，且在原图形的轴上，

原图形如图所示，

所以原图形的周长为．

故选：．

由斜二测画法的规则，分析原图形与直观图中之间的关系，求解即可．

本题主要考查了平面图形的直观图的画法及应用，其中熟记斜二测画法的规则是解答的关键，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．

8.【答案】

【解析】解：上半部分圆柱的体积为，

下半部分半球的体积为，

此鼎的容积约为．

故选：．

分别计算圆柱的体积与半球的体积，可求此鼎的容积．

本题考查空间几何体的体积的计算，属基础题．

9.【答案】

【解析】解：对于，与方向相同的单位向量为，故A错误；

对于，当时，，，，

所以，与的夹角为锐角，故B正确；

对于，当时，，，则，则与不平行，、可作为平面内的一组基底，故C正确；

对于，设与的夹角为，则在方向的投影向量为，

当时，，，，，

所以，故D错误．

故选：．

根据与方向相同的单位向量为可判断选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断选项；判断出、不共线，可判断选项；利用投影向量的定义可判断选项．

本题主要考查了向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于中档题．

10.【答案】

【解析】解：对于：由余弦定理得，即为锐角，

不能判断为锐角，故A错误；

对于：设的外接圆的半径为，由正弦定理得，

即，故其外接圆的面积为，故B正确；

对于：若为锐角三角形，则，且，

，故C正确；

对于：，

由正弦定理得，

即，

或，即或，

则为等腰三角形或直角三角形，故D错误．

故选：．

根据余弦定理即可判断；根据正弦定理，即可判断；由题意可得，即可判断；根据正弦定理和二倍角的正弦公式计算化简，即可判断．

本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

11.【答案】

【解析】解：对于，，A正确；

对于，圆锥的底面积为，则底面半径为，

所以此圆锥的高为，体积为，B正确；

对于，设两个球的半径为，，则，

所以：：，C错误；

对于，，D正确．

故选：．

根据空间几何体的表面积和体积公式得出结论．

本题考查简单几何体的表面积和体积，考查运算求解能力，属于基础题．

12.【答案】

【解析】解：在正方体中，平面，

又平面，，，

，，故A错误；

平面，点到平面的距离为定值，

又三角形的面积为定值，三棱锥的体积为定值，故B正确；

，分别为棱，的中点，，又易证，

，但，四边形为梯形，故平面截正方体所得截面为梯形，故C正确；

由题意可得与重合时直线与所成角最小，

又可得，故．

，是直线与所成的角，故直线与所成角的大小不可能为，故D错误．

故选：．

利用正方体中的性质，易得，可求的最小值判断；利用平面，可得三棱锥的体积为定值判断；，但，可判断；，可得是直线与所成的角，由可判断．

本题考查空间几何体的性质，考查异面直线所成的角，属中档题．

13.【答案】

【解析】解：不共面的四点是指任意三个点都不在同一条直线上，

这样从四点任取三个点都可以确定一个平面，

一共可以确定个平面，

故答案为：

不共面的四点是指任意三个点都不在同一条直线上，这样从四点任取三个点都可以确定一个平面，本题变化成一个组合问题，即从个元素中取个的方法数．

本题考查过不共线的三点可以确定一个平面，考查不共面的四点的位置关系，本题是一个不需要运算的基础题．

14.【答案】

【解析】解：由三角形面积公式得，．

故答案为：．

根据三角形面积公式计算．

本题考查三角形面积公式，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：如图，取的中点，连接，，

在中，为的中点，所以为中位线，所以，

所以或其补角为与所成的角，

在中，，，，

所以，

所以与所成角的余弦值为．

故答案为：．

取的中点，连接，，即可得到，从而得到为与所成的角，再利用余弦定理计算可得．

本题考查异面直线所成角，同时也涉及了余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．

16.【答案】

【解析】解：将四面体放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线，

如下图：

则长方体的外接球即为四面体的外接球，

又长方体的体对角线即为外接球的直径，

设长方体的长宽高分别为，，，则有，，，

，

所以外接球的表面积为，

故答案为．

将四面体放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线，则长方体的外接球即为四面体的外接球，利用数据计算长方体的体对角线即为外接球的直径，可得球的表面积．

本题主要考查几何体的外接球的表面积，属于中档题．

17.【答案】解：若为实数，

则，得：．

若为纯虚数，

则且，解得：．

【解析】根据为实数可得出其虚部为零，可求得实数的值；

根据为纯虚数可得出其实部为零，虚部不为零，由此可求得实数的值．

本题主要考查实数、纯虚数的定义，属于基础题．

18.【答案】解：，，

，

与夹角的余弦值为．

，，

，，

又向量与垂直，

则，

解得．

【解析】利用向量夹角余弦公式能求出与夹角的余弦值．

利用向量坐标运算法则求出，，再由向量与垂直，能求出的值．

本题考查向量的运算，考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦值、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

19.【答案】解：正方体中，，异面直线和所成角为，

为的中点，；

．

【解析】由线线平行说明异面直线和所成角为，则可求正切值；

利用等体积转化．

本题主要考查异面直线所成的角，棱锥体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．

20.【答案】解：为中点；

证明如下：取的中点，连接，；

，分别为，的中点，

，

，且，

，且；

四边形为矩形，

故B；

又平面，平面，

平面；

四棱锥的表面积为

．

【解析】为中点；取的中点，连接，；证明，即可证明平面；

分别计算四棱锥各个面的面积，求和即可．

本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了几何体表面积的计算问题，是综合题．

21.【答案】证明：、分别为，中点，，

三棱柱中，，

、、、四点共面；

、分别为、中点，

又、分别为三棱柱侧面平行四边形对边、中点，

四边形为平行四边形，

又

平面平面．

【解析】本题考查平面的基本性质，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

利用三角形中