2022-2023学年湖北省武汉市新洲区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是()

A.B.C.D.

2.下列二次根式是最简二次根式的是()

A.B.C.D.

3.今年月，全国山地越野车大赛在某地区举行，其中名选手某项得分如下表：

得分

人数

则这名选手得分的众数是()

A.B.C.D.

4.在平面直角坐标系中，直线经过()

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限

5.下列说法中不正确的是()

A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形

C.有一个内角是直角的平行四边形是矩形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

6.如图，是矩形的对角线的中点，交于点，若，，则矩形的周长为()

A.

B.

C.

D.

7.如图，直线与直线相交于点根据图象可知，关于的不等式的解集是()

A.

B.

C.

D.

8.如图，在中，为边上的一点，，分别平分，若，，则的长为()

A.B.C.D.

9.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息已知甲先出发秒，在跑步过程中，若甲、乙两人之间的距离米与乙出发的时间秒之间的关系如图，则的值为()

A.B.C.D.

10.在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点直线与坐标轴围成的三角形内部不包含边界有且只有个整点，则的取值范围是()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.计算：______．

12.已知一组数据，，，，，则这组数据的中位数是______．

13.将直线向上平移个单位长度后，所得直线解析式为______．

14.如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为______．

15.已知点，，在直线上，当时，下列结论：

若，则；

若，则；

若，则；

若，则，

其中正确结论的序号为______．

16.如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，且，过点作于点，连接，在点，的运动过程中，当的长最小时，的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

计算：

；

．

18.本小题分

如图，在菱形中，，是对角线上的两点，且．

求证：≌；

证明四边形是菱形．

19.本小题分

某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图依据以上信息解答以下问题：

样本容量是______；岁的人数有______人；岁的人数有______人；

补全条形统计图；

若该校一共有名学生，估计该校年龄在岁及以上的学生人数．

20.本小题分

已知与成正比例，且当时，．

求关于的函数关系式；

当时，的最大值为，求的值．

21.本小题分

如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点矩形的四个顶点都是格点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．

如图，先在边上画点，使，再画的平分线，交于点；

如图，是边上一点，先在边上画一点，使，再在边上画点，使最小．

22.本小题分

某商场同时购进甲、乙两种商品共件，其中甲商品的进价为元，售价为元；乙商品的进价为元，售价为元设购进甲种商品件，商场售完这件商品的总利润为元．

写出与的函数关系式；

该商场计划最多投入元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？

商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调元出售，且限定商场最多购进甲种商品件在的条件下，若商场获得最大利润为元，求的值．

23.本小题分

如图，在正方形中，，分别是边，上的一点，，连接，．

求证：；

如图，连接交于点，连接，若，求的值；

如图，过点作于点，若，，直接写出的长．

24.本小题分

如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与线段交于点，与轴交于点，与轴交于点．

直接写出点，，的坐标；

连接，若，求的值；

若，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，

则，

解得：．

故选：．

根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．

此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

2.【答案】

【解析】解：．，故此选项不合题意；

B.，故此选项不合题意；

C.是最简二次根式，故此选项符合题意；

D.，故此选项不合题意．

故选：．

直接利用最简二次根式的定义分别判断得出答案．

此题主要考查了最简二次根式，正确掌握相关定义是解题关键．

3.【答案】

【解析】解：个数据中，出现了三次，次数最多，所以众数是．

故选：．

根据众数的概念求解即可．

本题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．

4.【答案】

【解析】解：由已知，得：，，

图象经过第一、二、四象限，

故选：．

根据，的符号判断直线所经过的象限．

考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象的四种情况：

当，，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；

当，，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；

当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；

当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小．

5.【答案】

【解析】解：、平行四边形的判定定理之一是对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；

B、根据菱形定义可知：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意；

C、根据矩形定义可知：有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；

D、对角线互相垂直且相等、平分的四边形才是正方形，错误，符合题意；

故选：．

根据矩形的定义即可判断；根据正方形定义即可判断；根据菱形的定义即可判断；根据平行四边形的判定定理即可判断．

本题考查了对平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理的应用，主要考查学生的记忆能力和辨析能力．

6.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，

，，，．

，

，

，

连接，

，

，

，

矩形的周长为，

故选：．

根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，连接，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论．

本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求的长度是本题的关键．

7.【答案】

【解析】解：根据图象可得：不等式的解集为：，

故选：．

以两函数图象交点为分界，直线在直线的上方时，．

此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．

8.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，

，，，，

，，

，分别平分，，

，，

，，

，，

，

，，且，

，

，

，

，

故选：．

由平行四边形的性质得，，，，所以，，而，，即可推导出，，则，，所以，由，求得，所以，则，于是得到问题的答案．

此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明，及是解题的关键

9.【答案】

【解析】解：由图象可知，乙出发时甲已经跑了米，

甲的速度为米秒，

乙出发后，甲、乙两人之间的距离减小，

乙速度大于甲的速度，且乙用秒跑完米，

，

故选：．

求出甲的速度，由图象可知乙先到终点，列式即可得到的值．

本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．

10.【答案】

【解析】解：如图，直线一定过点，

把代入得，，

把代入得，，

直线与坐标轴围成的三角形内部不包含边界有且只有个整点，

的取值范围是，

故选：．

若直线与坐标轴围成的三角形内部不包含边界有且只有个整点，则这个整点是，，，，，，因此此时的的取值范围应介于这两条直线的的值之间．

本题考查了一次函数的图象与系数之间的关系，利用图象确定的取值范围应介于这两条直线的的值之间是解题的关键．

11.【答案】

【解析】解：．

故答案为：．

直接根据算术平方根的定义可解答．

本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键．

12.【答案】

【解析】解：把数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，

中位数为．

故答案为：．

将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．

本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

13.【答案】

【解析】解：将直线向上平移个单位长度后，所得直线解析式为，即．

故答案为：．

直接根据“上加下减”的法则进行解答即可．

本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键．

14.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，

，，，

，

，

，

，

，

，

菱形的面积．

故答案为：．

由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可解决问题．

本题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

15.【答案】

【解析】解：直线，，随的增大而减小．时，，且，

、若时，不能确定和的大小关系，无法确定，故不正确；

、若，能确定，，，能确定，故正确；

、若，能说明，或，，不能确定，故不正确；

、若，能说明，，能确定正确，故正确．

故答案为：．

根据直线的增减性和条件，逐项分析排除即可．

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与坐标轴的交点坐标是这类题的突破口．

16.【答案】

【解析】解：连接与交于点，

四边形为矩形，，，

，，，，

，

，

，即，

在和中，

，

≌，

，，

的运动中，恒过的中点，

，

的运动中，恒成立，

点在以为直径的圆上运动，圆心记作点，

连接与交于点时，此时，最短即点与点重合时，最短，此时垂直平分，连接，

设，则，

在中，，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

连接与交于点，根据矩形的性质可得，利用全等三角形的判定与性质可得，，点在以为直径的圆上运动，圆心记作点，连接与交于点时，此时，最短即点与点重合时，最短，此时垂直平分，连接，最后利用勾股定理可得答案．

此题考查的是与圆的位置关系、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．

17.【答案】解：

；

．

【解析】先化简，再合并即可求解；

根据平方差公式计算即可求解．

本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．同时考查了平方差公式．

18.【答案】证明：四边形是菱形，

，，

，

在和中，

，

≌；

如图，连接，交于，

四边形是菱形，

，，，

，

，

四边形是平行四边形，

又，

平行四边形是菱形．

【解析】由“”可证≌；

由菱形的性质可得，，，可求，可得结论．

本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．

19.【答案】

【解析】解：样本容量是；

岁的学生人数人，

岁的学生人数人，

故答案为：；；；

补全统计图如下：

人，

答：估计该校年龄在岁及以上的学生人数为人．

由岁的人数及其所占百分比可得样本容量；

用总人数乘以岁所占的百分比，求出岁的人数，再用总人数减去其他年龄的人数，从而补全统计图；

用总人数乘以样本中岁及以上的学生人数所占比例可得．

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

20.【答案】解：与成正比例，

，

将，代入得：，

，

，

．

，

函数的图象上，随的增大而增大，

时，的最大值为，

时，，

，

，

的值为．

【解析】由与成正比例可得，将，代入即可；

根据一次函数的性质可得：当时，，计算即可．

本题主要考查了待定系数法求一次函数表达式，一次函数的性质，属于基础题，难度不大．

21.【答案】解：如下图：点、即为所求；

如下图：点、即为所求．

【解析】先根据勾股定理做出，再根据进行的性质作图的中点、最后根据等腰三角形的性质及矩形的性质作出顶角的平分线；

先根据矩形的性质作出矩形的中心，从而找到点，再作出下面那个矩形的中心，再连接延长与的交点即为所求．

本题考查了作图的应用和设计，掌握矩形的性质、勾股定理及等腰三角形的性质是解题的关键．

22.【答案】解：根据题意得：；

与的函数关系式为；

商场计划最多投入元购买甲、乙两种商品，

，

解得，

在中，随的增大而减小，

当时，取最大值，

商场可获得的最大利润是元；

根据题意得：

，

即，其中，

当时，，随的增大而减小，

当时，有最大值，

，

解得不符合题意，舍去，

这种情况不存在；

当时，，，不符合题意；

当时，，随的增大而增大，

当时，有最大值，

，

解得，

综上所述，的值为．

【解析】根据题意得：；

由商场计划最多投入元购买甲、乙两种商品，得，，再根据一次函数性质可得答案；

根据题意可得：，分三种情况：当时，，有最大值，故，当时，，，不符合题意；当时，，有最大值，故，解方程并检验可得答案．

本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意列出函数关系式和不等式，一元一次方程．

23.【答案】证明：四边形是正方形，

，，

又，

≌，

．

解：，

，

四边形是正方形，

，，

，

，

≌，

，

，即点为中点，

如图所示，取中点，连接交于，

，

，，

≌，

，

，

，

，即，

；

取中点，连接，则是的中位线，

，

由平行线的唯一性可知点与点重合，

，

垂直平分，

，

．

答：的值为．

解：连接，如图，

设，则，

在中，，

，

解得，

，，

在中，，

，，

，

是等腰直角三角形，

，

设，则，

在中，，

，

整理得，

解得或舍去，

．

答：的长为．

【解析】只需要证明≌即可证明；

先证明，进而证明≌得到，推出，即点为中点；如图所示，取中点，连接交于，同理可证≌，得到，进一步证明，