湖北省黄冈市匡河中学高三数学理摸底试卷含解析

湖北省黄冈市匡河中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量则2a-b的最大值和最小值分别为A．4，0

B．4，0

C．16，0

D．4，4参考答案：B略2.数列的前项和为，已知，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为（

）A

B

C

D参考答案：A略3.已知函数ft（x）=﹣（x﹣t）2+t（t∈R），设a＞b，f（x）=，若函数y=f（x）﹣x+a﹣b有四个零点，则b﹣a的取值范围是(

)A．（﹣∞，﹣2﹣） B．（﹣∞，2﹣） C．（﹣2﹣，0） D．（2﹣.0）参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】解方程fa（x）=fb（x）得交点坐标，函数f（x）的图象与直线l：y=x+b﹣a有四个不同的交点，由图象知，点P在l下方，由此解得b﹣a的取值范围．【解答】解：作函数f（x）的图象，且解方程fa（x）=fb（x）得，﹣（x﹣a）2+a=﹣（x﹣b）2+b，解得x=，此时y=﹣（﹣b）2+b=﹣（）2+b，即交点坐标为（，﹣（）2+b），若y=f（x）﹣x+a﹣b有四个零点，即f（x）﹣x+a﹣b=0有四个根，即f（x）=x+b﹣a，分别作出f（x）与y=x+b﹣a的图象如图：

要使函数y=f（x）﹣x+a﹣b有四个零点，即函数f（x）的图象与直线l：y=x+b﹣a有四个不同的交点．由图象知，点P在下方，所以﹣（）2+b＜+b﹣a，即（）2＞，设t=a﹣b，则t＞0，则方程等价为＞，即t2﹣4t﹣1＞0，即t＜2，或t＞2+，∵t＞0，∴t＞2+，故b﹣a=﹣t＜﹣2﹣，即b﹣a的取值范围是（﹣∞，﹣2﹣），故选：A【点评】本题主要考查根的存在性以及根的个数判断，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，利用数形结合是解决本题的关键．4.记集合和集合表示的平面区域分别为若在区域内任取一点，则点落在区域的概率为A．

B．

C．

D．参考答案：A区域为圆心在原点，半径为4的圆，区域为等腰直角三角形，两腰长为4，所以，故选A．5.命题“，使得”的否定是（）A．

B．C．，

D．，

参考答案：A【知识点】全称量词与存在性量词【试题解析】因为特称命题的否定为全称命题，

所以命题“，使得”的否定是：。6.已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的斜率为（

）（A）

（B） （C）

（D）参考答案：D设，则，又，，选D．7.已知集合为（

）A．（1，2）

B．

C．

D．

参考答案：A8.设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．

【专题】计算题．【分析】由P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，推导出∠F1PF2=90°．再由|PF1|=2|PF2|，知|PF1|=4a，|PF2|=2a，由此求出c=a，从而得到双曲线的离心率．【解答】解：∵P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，∴点P到原点的距离|PO|=，∴∠F1PF2=90°，∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴16a2+4a2=4c2，∴c=a，∴．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．9.若满足则的最大值为

A.

B.

C.

D.参考答案：D【考点】线性规划【试题解析】作可行域：

A(-2，0)，B(4，0)，C(1，3)，D（0，2）

由图知：目标函数过点D时，目标函数值最大，为10.原命题：“设，若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题有（

）个

A.0个

B.1个

C.2个

D.4个参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且，若点A，B在l上的投影分别为M，N，则△MFN的内切圆半径为参考答案：【分析】先根据可得，直线垂直于x轴，确定△MFN的形状，然后可求其内切圆半径.【详解】抛物线的焦点为,因为，所以直线垂直于x轴，所以,所以，,因为，所以△MFN为直角三角形，且，设其内切圆半径为，则有，解得.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，内切圆的问题一般是通过面积相等来求解，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.12.已知命题:，则是____________________．参考答案：略13.（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，，垂足为F，若，，则

.参考答案：5.

.连接AD，则∽，,,又∽,,即.14.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，则

．参考答案：4acosB﹣bcosA=c，由正弦定理得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC=sin（A+B）=（sinAcosB+cosAsinB），整理得sinAcosB=4cosAsinB，两边同除以cosAcosB，得tanA=4tanB，故.故答案为：4

15.已知点O为的外心，且,则____________．参考答案：616.如图，以为直径的圆与的两边分别交于两点，，则

．参考答案：217.在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则的值为________________．

参考答案：1由题意知，所以。第三列和第五列的公比都为,所以，所以，即。，所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，CD∥AB,AB⊥BC,AB=BC=2CD=2,侧棱AA1⊥平面ABCD.且点M是AB1的中点.(1)证明:CM∥平面ADD1A1；(2)求点M到平面ADD1A1的距离.参考答案：（1）取AB的中点E，连结CE、ME.………………1分∵M为AB1的中点∴ME∥BB1∥AA1又∵AA1平面ADD1A1∴ME∥平面ADD1A1……………3分又∵AB∥CD，CD=AB∴AE平行且等于CD∴四边形AECD为平行四边形∴CE∥AD又∵AD平面ADD1A1∴CE∥平面ADD1A1又∵ME∩CE=E∴平面CME∥平面ADD1A1………………5分又∵CM平面CME

∴CM∥平面ADD1A1………………6分（2）由（1）可知CM∥平面ADD1A1，所以M到平面ADD1A1的距离等价于C到平面ADD1A1的距离，不妨设为h，则.………………8分………9分在梯形ABCD中，可计算得AD=，…………………10分则…11分∴=，得，即点M到平面ADD1A1的距离…………12分（另解：可在底面过E点做出E点到平面ADD1A1的垂线段）.19.（12分）已知数列，其中记数列的前n项和为数列的前n项和为(Ⅰ)求；(Ⅱ)设

（其中为的导函数），计算参考答案：本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运算的能力，同时考查分类讨论的思想方法，解析：（Ⅰ）由题意，是首项为，公差为的等差数列

前项和，（Ⅱ）

20.已知两点P（﹣1，0），Q（1，0），直线PG，QG相交于点G，且它们的斜率之积是3，设点G的轨迹为E．（1）求曲线E的方程；（2）过定点F（2，0）的直线交曲线E于B，C两点，直线PB、PC分别交直线x=于点M，N，试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．参考答案：【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用直线PG，QG相交于点G，且它们的斜率之积是3，建立方程，即可求曲线E的方程；（2）分类讨论，证明=0，即FM⊥FN，可得结论．【解答】解：（1）设点G的坐标为（x，y），则直线PG的斜率，直线QG的斜率由已知有化简整理得，点G的轨迹方程为（2）①当直线BC与x轴垂直时，该方程为x=2，则B（2，3），C（2，﹣3）PB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为，=（﹣，）同理可得=（﹣，﹣）因此②当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x﹣2）（k≠0）与双曲线联立消去y得（3﹣k2）x2+4k2x﹣（4k2+3）=0由题意知3﹣k2≠0且△＞0设B（x1，y1），C（x2，y2）则x1+x2=，x1x2=，=k2（﹣2×+4）=因为x1≠﹣1，x2≠﹣1，所以直线PB的方程为y=（x+1）因此M点的坐标为（，）=（﹣，），同理可得=（﹣，）因此=+=0综上=0，即FM⊥FN故以线段MN为直径的圆经过点F【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识，属于中档题．21.随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表．年龄（单位：岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）频数510151055赞成人数51012721（Ⅰ）若以“年龄”45岁为分界点，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；

年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成

不赞成

合计

（Ⅱ）若从年龄在[25，35）和[55，65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至少有1人年龄在[55，65）的概率．参考数据如下：附临界值表：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2的观测值：k=（其中n=a+b+c+d）参考答案：【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）根据条件得2×2列联表，求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅱ）利用列举法确定基本事件，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）解：根据条件得2×2列联表：

年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成102737不赞成10313合

计2030

50…根据列联表所给的数据代入公式得到：…所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；

…（Ⅱ）解：按照分层抽样方法可知：[55，65）抽取：（人）；[25，35）抽取：（人）

…在上述抽取的6人中，年龄在[55，65）有2人，年龄[25，35）有4人．年龄在[55，65）记为（A，B）；年龄在[25，35）记为（a，b，c，d），则从6人中任取3名的所有情况为：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d）、（a，b，c）（a，b，d）（a，c，d）（b，c，d）共20种情况，…其中至少有一人年龄在[55，65）岁情况有：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d），共16种情况．

…记至少有一人年龄在[55，65）岁为事件A，则…∴至少有一人年龄在[55，65）岁之间的概率为．

…22.在极坐标系中，已知曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为θ=，曲线C1，C2相交于A，B两点．以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求A，B两点的极坐标；（2）曲线C1与直线l分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方