回归分析的基本思想及其初步应用

3.1

回归分析的基本思想及其初步应用1．通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用．2．让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用，通过使用转化后的数据，求相关指数，运用相关指数进行数据分析、处理的方法．3．从实际问题中发现已有知识的不足，激发好奇心，求知欲，通过寻求有效的数据处理方法，开拓学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力，通过案例的分析使学生了解回归分析在实际生活中的应用，增强数学取之生活，用于生活的意识，提高学习兴趣．

本节课通过必修3熟悉有例题回顾线性相关关系知识，通过实际问题中发现已有知识的不足，引出随机误差、残差、残差分析的概念，进而运用残差来进行数据分析，通过例题讲解掌握用残差分析判断线性回归模型的拟合效果。掌握建立回归模型的步骤。本节内容学生内容不易掌握，通过知识整理与比较引导学生进行区分、理解。通过对典型案例的探究，练习进行巩固了解回归分析的基本思想方法和初步应用．3.1

回归分析的基本思想及其初步应用（第一课时复习线性回归）5两个变量之间的关系：函数关系——非确定关系确定关系相关关系——一、相关关系6

自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．相关关系与函数关系的异同点：相同点：均是指两个变量的关系。不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；7如果散点图中点的分布大致在一条直线附近,我们称这两个变量具有线性相关关系.对两个具有线性相关关系的变量进行的统计分析叫做线性回归分析。这条直线叫回归直线.这条直线方程叫做回归直线方程；2.线性回归分析：1.对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。二、回归分析3.线性回归方程的求法——最小二乘法对于一组具有线性相关关系的数据其回归方程为，其中称为样本点的中心。编号12345678身高165165157170175165155170体重48575054646143599例1.

从某大学中随机选出8名女大学生，其身高和体重数据如下表：求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172ｃｍ的女大学生的体重。101.首先作出散点图；发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。11（5）预测身高172cm的女大学生的体重（3）求b和a2、求回归直线方程：(4)写出回归直线的方程我们通常用相关系数描述两个变量之间线性相关关系的强弱

相关系数的性质:(1)|r|≤1．

(2)|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱．12问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？本例中，r=0.798>0.75．表明身高与体重有很强的相关关系13探究P83：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。3.1

回归分析的基本思想及其初步应用（第二课时残差分析）从例1的散点图可以看到，这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x与y之间的关系，y的值不能完全由x确定，它们之间是统计相关关系，y的实际值与估计值之间存在着误差．因此,在统计学中设它们的线性回归模型为:其中a,b为模型的未知参数,e为y与bx+a之间的误差，称它为随机误差，它是随机变量。且线性回归模型完整表达式为x称为_____变量,y称为_____变量.解释预报16随机误差e的来源(可以推广到一般）：1、其它因素的影响：影响体重y的因素不只是身高x,可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高y的观测误差。在线性回归模型中，e为用bx+a的预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差？在实际应用中，我们用估计bx+a所以的估计量为对于样本点它们的随机误差为估计值为称相应于点的残差表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。

在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。残差分析与残差图的定义：

然后，我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382

我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意。异常点

错误数据模型问题

几点说明：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。通过残差表或残差图判断模型拟合的效果是直观判断，如何精确判断模型拟合的效果？引入参数R2来精确该画模型拟合效果,R2叫做相关指数对于己获取的样本数据，在上式子中是定值，越小，即残差平方和越小，R2越大，说明模型拟合效果越好。一般的，当R2越接近于1,说明解释变量和预报变量之间的相关性越强。2023/7/31郑平正制作一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。3.1

回归分析的基本思想及其初步应用（第三课时非线性回归）2023/7/31郑平正制作例2

一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；温度xoC21232527293235产卵数y/个711212466115325画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系．（1）是否存在线性关系？（2）散点图具有哪种函数特征？（3）以指数函数模型为例，如何设模型函数？非线性关系指数函数、二次函数、三次函数设指数函数曲线y=ebx+a其中b和a是待定参数。我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系()这样就可以利用线性回归模型来建立z与x回归模型，进而找到y与x的非线性回归方程。*则变换后样本点分布在直线的周围。令ylnz=现在问题变为如何估计待定参数？非线性回归模型Z=bx+a2023/7/31郑平正制作

y=bx2+a变换y=bt+a非线性关系线性关系方案1问题１选用y=bx2+a，还是y=bx2+cx+a？问题3

产卵数气温问题2如何求a、b？合作探究

t=x2二次函数模型2023/7/31郑平正制作方案1解答平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a温度21232527293235温度的平方t44152962572984110241225产卵数y/个711212466115325作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.54，相关指数R2=r2≈0.8962=0.802将t=x2代入线性回归方程得：

y=0.367x2-202.54R2=0.802，t2023/7/31郑平正制作问题２

变换y=bx+a非线性关系线性关系问题１如何选取指数函数的底?产卵数气温指数函数模型方案2合作探究对数方案2解答温度xoC21232527293235z=lgy0.851.041.321.381.822.062.51产卵数y/个711212466115325xz由计算器得：z关于x的线性回归方程为z=0.118x-1.665，相关指数R2=r2≈0.99252=0.985

对数变换：在中两边取常用对数得令，则就转换为z=bx+a2023/7/31郑平正制作选变量

解：选取气温为解释变量x，产卵数为预报变量y。画散点图假设线性回归方程为：ŷ=bx+a选模型分析和预测当x=28时，y=19.87×28-463.73≈93估计参数由计算器得：线性回归方程为y=19.87x-463.73

相关指数R2=r2≈0.8642=0.7464探索新知05010015020025030035003691215