湖南省永州市云龙中学高二数学理下学期期末试卷含解析

湖南省永州市云龙中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.当时，下面的程序段执行后所得的结果是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C2.今有2个红球、2个黄球、3个白球，同色球不加以区分，将这7个球排成一列的不同方法有A.210种 B.162种 C.720种 D.840种参考答案：A【分析】先在7个位置中选3个位置排白球，有种排法，再从剩余的4个位置中选2个位置排红球，有种排法，剩余的2个位置排黄球有种排法，由乘法原理可得答案．【详解】解：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题．先在7位置中选3个位置排白球，有种排法，再从剩余的4个位置中选2个位置排红球，有种排法，剩余的2个位置排黄球有种排法，所以共有??＝210．故选：A【点睛】本题考查排列组合的基本知识．分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法．3.设，则（

）A．0.16

B．0.32

C．0.84

D．0.64参考答案：A4.已知向量、满足，，，则与夹角为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C5.已知函数

，使函数值为5的的值是（

）A．-2 B．2或 C．2或-2 D．2或-2或参考答案：A6.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】极差、方差与标准差．【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，故选D．7.给出以下数对序列：……记第行第个数对为，如，则（

）A. B.C. D.参考答案：A第n行的第1个数对为（1，n），所以第m个数对为(m,n-m+1),选A点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用处理.8.设F1，F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，运用双曲线的a，b，c的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率．【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，由勾股定理可知|PF1|=4b，根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=，即b=a，则c==a，即有e==．故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的定义、方程和性质，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．9.函数y=x2+1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+△x,2+△y)，则等于(

)

A．2B．2x

C．2+△x

D．2+△x2参考答案：A略10.圆（x﹣4）2+y2=9和圆x2+（y﹣3）2=4的公切线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条参考答案：C【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出两圆的圆心和半径，根据两圆的圆心距小于半径之和，可得两圆相交，由此可得两圆的公切线的条数．【解答】解：圆（x﹣4）2+y2=9，表示以（4，0）为圆心，半径等于3的圆．圆x2+（y﹣3）2=4，表示以（0，3）为圆心，半径等于2的圆．两圆的圆心距等于=5=2+3，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点，则参考答案：12.已知函数是定义在上的偶函数，且在上时增函数，若，则的解集为

.参考答案：13.某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根支柱支撑，其中最高支柱的高度是

米．（答案保留两位小数）

参考答案：3.84解：抛物线方程为：

当时，∴最高支柱的高度是3.84米.

14.圆在点处的切线方程为，类似地，可以求得椭圆在处的切线方程为________．参考答案：15.设a1，a2，…，an是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0．将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列．（1）若n=4，则=

；（2）所有数对（n，）所组成的集合为

．参考答案：﹣4，1;{（4，﹣4），（4，1）}.【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）当n=4时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项不可能成等比数列，再考虑分别删去a2，a3，即可得到结论；（2）设出数列的公差d，列举出数列的各项，讨论从第一项开始删去，由得到的数列为等比数列，利用等比数列的性质，列出关于d与首项的方程，求出方程的解即可得到d的值，根据d不为0，得到满足题意的d的值，即可求出满足题意的所有数对，组成集合的形式即可．【解答】解：（1）当n=4时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则由连续三项成等比数列，可推出d=0．若删去a2，则a32=a1?a4，即（a1+2d）2=a1?（a1+3d）化简得a1+4d=0，得=﹣4若删去a3，则a22=a1?a4，即（a1+d）2=a1?（a1+3d）化简得a1﹣d=0，得=1综上，得=﹣4或=1．（2）设数列{an}的公差为d，则各项分别为：a1，a1+d，a1+2d，…，a1+（n﹣1）d，且a1≠0，d≠0，假设去掉第一项，则有（a1+d）（a1+3d）=（a1+2d）2，解得d=0，不合题意；去掉第二项，有a1（a1+3d）=（a1+2d）2，化简得：4d2+a1d=0即d（4d+a1）=0，解得d=﹣a1，因为数列的各项不为零，所以数列不会出现第五项（a1+4d=0），所以数对（n，）=（4，﹣4）；去掉第三项，有a1（a1+3d）=（a1+d）2，化简得：d2﹣a1d=0即d（d﹣a1）=0，解得d=a1，则此数列为：a，2a，3a，4a，…此数列仍然不会出现第五项，因为出现第五项，数列不为等比数列，所以数对（n，）=（4，1）；去掉第四项时，有a1（a1+2d）=（a1+d）2，化简得：d=0，不合题意；当去掉第五项或更远的项时，必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况，即d=0，不合题意．所以满足题意的数对有两个，组成的集合为{（4，﹣4），（4，1）}．故答案为：﹣4，1；{（4，﹣4），（4，1）}【点评】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，是一道难题．16.两条平行直线与的距离为

参考答案：217.设，有，…，根据以上规律，则函数的极小值之积为

.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求的长；（2）求cos<

>的值；（3）求证：A1B⊥C1M.参考答案：如图，建立空间直角坐标系O—xyz.

（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）∴|

|=.（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=∴cos<，>=.（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.略19.如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，过点F2作直线l交椭圆于M、N两点，△F1MN的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l分别交直线y=x，y=﹣x于P，Q两点，求的取值范围．参考答案：【分析】（Ⅰ）由椭圆的焦距为2，过点F2作直线l交椭圆于M、N两点，△F1MN的周长为8，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，联立，得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、三角形面积公式，结合已知条件能求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，过点F2作直线l交椭圆于M、N两点，△F1MN的周长为8．∴，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，联立，消去x，整理，得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，设P（x3，y3），N（x4，y4），联立，得，同理，|PQ|==，∴==，当0≤m2≤4时，=∈[0，]，当m2＞4时，=∈（0，），∴的取值范围是[0，]．20.如图，△ABC的外接圆为⊙O，延长CB至Q，再延长QA至P，且QA为⊙O的切线（1）求证：QC2﹣QA2=BC?QC（2）若AC恰好为∠BAP的平分线，AB=10，AC=15，求QA的长度．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】证明题；选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（1）由切线定理得QA2=QB?QC，由此能证明QC2﹣QA2=BC?QC．（2）由弦切角定理和角平分线性质得QC2=QA2=15QC，△QCA∽△QAB，由此能求出QA的长度．【解答】证明：（1）∵QA为⊙O的切线，∴QA2=QB?QC，∵QC﹣QB=BC，∴QC2﹣QA2=QC2﹣QB?QC=BC?QC．解：（2）∵QA为⊙O的切线，∴∠PAC=∠ABC，∵AC恰好为∠BAP的平分线，∴∠BAC=∠ABC，∴AC=BC=15，∴QC2=QA2=15QC，①又由△QCA∽△QAB，得，②联合①②，消掉QC，得：QA=18．【点评】本题考查