安徽省合肥市兴国实验学校高三数学理下学期摸底试题含解析

安徽省合肥市兴国实验学校高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列结论正确的有①集合，集合，A与B是同一个集合；②集合与集合是同一个集合；③由，，，，这些数组成的集合有5个元素；④集合是指第二和第四象限内的点集．A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：A略2.设分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是A．

B.

C.

D.参考答案：答案：D解析：由已知P（），所以化简得3.平面向量与的夹角为60°，,则等于(

) A． B．2 C．4 D．12参考答案：B略4.若复数满足（是虚数单位)，则的共轭复数=（

）A． B．

C．

D．参考答案：C5.学校选派甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛，下面是他们的一段对话．甲说：“乙参加‘演讲’比赛”；乙说：“丙参加‘诗词’比赛”；丙说“丁参加‘演讲’比赛”；丁说：“戊参加‘诗词’比赛”；戊说：“丁参加‘诗词’比赛”．已知这5个人中有2人参加“演讲”比赛，有3人参加“诗词”比赛，其中有2人说的不正确，且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确．根据以上信息，可以确定参加“演讲”比赛的学生是A.甲和乙

B.乙和丙

C.丁和戊

D.甲和丁参考答案：D6.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7.已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2+x﹣2≤0}，那么P∩Q等于(

)A．? B．{1} C．{x|﹣2≤x≤2} D．{x|1＜x≤2}参考答案：A【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；分析法；集合．【分析】根据题意，Q为方程x2+x﹣6≤0的解集，由一元二次不等式的解法可得Q，由交集的运算可得答案．【解答】解：根据题意，结合一元二次不等式的解法可得，Q={x∈R|x2+x﹣2≤0}={x|﹣2≤x≤1}，而P={x|1＜x≤2}，又交集的意义，可得P∩Q=?故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，注意本题中P与Q的元素的范围的不同．8.在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于（

）

A.-2012

B.-2013

C.2012

D.2013参考答案：B，，所以，，所以，所以，选B.9.浙江新高考方案正式实施，一名同学要从物理、化学、生物、政治、地理、历史、技术七门功课中选取三门功课作为自己的选考科目，假设每门功课被选到的概率相等，则该同学选到物理、地理两门功课的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A10.过双曲线的左焦点作圆的两条切线，切点分别为、，双曲线左顶点为，若，则该双曲线的离心率为

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆G：x2+y2﹣2x﹣2y=0经过椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点及上顶点．过椭圆外一点M（m，0）（m＞a），倾斜角为π的直线l交椭圆于C，D两点，若点N（3，0）在以线段CD为直径的圆E的外部，则m的取值范围是_________．参考答案：12.若方程有两个实数根，则实数的取值范围是

．参考答案：或．解：令，当时，，当时，

综上作出它的图象，要使它与直线有两个不同的交点，则直线必须通过蓝色或黄色区域内，如图，则此时当直线经过黄色区域时，满足，当经过蓝色区域时，满足，综上实数的取值范围是或．13.已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为的保值区间．若的保值区间是，则的值为

.参考答案：1因为函数的保值区间为，则的值域也是，因为因为函数的定义域为，所以由，得，即函数的递增区间为，因为的保值区间是，所以函数在上是单调递增，所以函数的值域也是，所以，即，即。14.若方程的各个实根所对应的点均在直线的同侧，则实数的取值范围是__________.参考答案：解：方程的根显然x≠0，原方程等价于x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标，而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的，若交点(xi，))（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与y=交点为：（-2，-2），（2，2）；所以结合图象可得a＞0且x3+a＞-2且x＜-2或者a＜0且x3+a＜2且x＞2，解得a的范围是15.的展开式中的系数是

参考答案：240本题主要考查二项式定理，以及简单的基本运算能力．难度较小．∵含x4的项为C(2x)4＝240x4，∴展开式中x4的系数是240．16.已知，若，则

．参考答案：17.设集合，，则集合=

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(13分)已知函数(a>0).方程有两个实根.(1)如果,函数图象的对称轴是直线,求证;(2)如果,且的两实根之差为2,求实数b的取值范围.参考答案：解析：(1)令,则∴.∴.(2)因为,且,所以,又由两实根之差为2知,.因为,所以.又,所以,,∴,即,∴解得.19.（本小题满分14分）已知函数，（）.（1）求函数的单调区间；（2）求证：当时，对于任意，总有成立.参考答案：（Ⅰ）函数的定义域为，.当时，当变化时，，的变化情况如下表：00↘

↗

↘.……2分

当时，当变化时，，的变化情况如下表：00↗

↘

↗

.……4分综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.……5分

（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，；在上单调递减，且.

所以时，.因为，所以，令，得.…………7分①当时，由，得；由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以.因，对任意，总有.…10分②当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，.所以对于任意，仍有.综上所述，对于任意，总有.

…14分20.（12分）如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，△ABO为正三角形．（1）若点A的坐标为，求cos∠BOC的值；（2）若∠AOC=x（0＜x＜），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值．参考答案：【考点】：在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值；平面直角坐标系与曲线方程．【专题】：计算题．【分析】：（1）根据△ABO为正三角形求得∠BOA，利用点A的坐标求得sin∠AOC和cos∠AOC，进而利用两角和公式求得cos∠BOC．（2）利用余弦定理分别求得AC和BD，进而根据△ABO为正三角形求得AB，CD可知，四边相加得到y的函数解析式，利用两角和公式化简整理后，利用x的范围和正弦函数的性质求得函数的最大值．【解答】：解：（1）∵△ABO为正三角形∴∠BOA=60°∵点A的坐标为∴tan∠AOC=，∴sin∠AOC=，cos∠AOC=∴cos∠BOC=cos（∠AOC+60°）=cos∠AOCcos60°﹣sin∠AOCsin60°=；

（2）由余弦定理可知AC==2sin，BD==2sin（﹣），AB=OB=1，CD=2，∴===，0＜x＜∴当x=时，ymax=5【点评】：本题主要考查了三角函数的最值，数学模型的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．21.（本小题满分14分）已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求在区间上的最大值；（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.参考答案：解：（Ⅰ）当时，，则。依题意得：，即

解得…2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，①

当时，，令得…….3分当变化时，的变化情况如下表：0—0+0—

单调递减极小值单调递增极大值单调递减……………4分又，，。∴在上的最大值为2…………5分②

当时,.当时,,最大值为0；当时,在上单调递增。∴在最大值为。………6分综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；当时，即时，在区间上的最大值为。…7分（Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。不妨设，则，显然∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴即

（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.若，则代入（*）式得：即，而此方程无解，因此。此时，代入（*）式得：

即

（**）令

，则∴在上单调递增，

∵

∴,∴的取值范围是。∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上。……………..14分

略22.设函数，（Ⅰ）若在上存在单调