坐标系与参数方程(题型归纳)

坐标系与参数方程(题型归纳)坐标系与参数方程极坐标系极坐标系定义为在平面内取一个定点O作为极点，引一条射线Ox作为极轴，并选取一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。极坐标与直角坐标互化公式极坐标与直角坐标的互化公式为：x=ρcosθ,y=ρsinθρ²=x²+y²tanθ=y/x,x≠0极坐标与直角坐标互化的前提极坐标与直角坐标的互化前提为：极点与直角坐标的原点重合，极轴与x轴的正方向重合，两种坐标系中取相同的长度单位。例如，极坐标方程ρcosθ+ρsinθ=1可以转化成直角坐标方程x+y=1（在转化成x,y时要设法构造ρcosθ,ρsinθ，然后进行整体代换即可）。求极坐标方程的两种方法处理极坐标系中问题大致有两种思路：1.公式互化法：把极坐标方程与直角坐标方程进行互化；2.几何法：利用几何关系（工具如：三角函数的概念、正弦定理、余弦定理）建立ρ与θ的方程。参数方程参数方程定义为，如果曲线F(x,y)中的变量x,y均可以写成关于参数t的函数x=f(t),y=g(t)，那么(x,y)就称为该曲线的参数方程，其中t称为参数。常见的消参技巧常见的消参技巧包括：1.代入法：将参数代入方程中进行消元；2.整体消元法：通过整体消元得到参数的表达式；3.三角函数法：利用sin²θ+cos²θ=1消去参数。常见曲线的参数方程常见曲线的参数方程如下：1.圆：(x-a)²+(y-b)²=r²的参数方程为：x=a+rcosθ，y=b+rsinθ，其中θ为参数，其几何含义为该圆的圆心角；2.椭圆：(x²/a²)+(y²/b²)=1(a>b)的参数方程为：x=acosθ，y=bsinθ。1.椭圆的参数方程为：x=acosθ,y=bsinθ，其中θ∈[0,2π)为参数，表示椭圆的离心角。2.双曲线的参数方程为：x=asecθ,y=btanθ，其中θ∈[0,2π)为参数，表示双曲线的离心角。3.抛物线的参数方程为：x=2pt^2,y=2pt，其中t为参数。4.直线的参数方程为：过点M(x,y)，倾斜角为θ的直线的参数方程为：x=x+tcosθ,y=y+tsinθ，其中t为参数，代表该点与M的距离。直线的参数方程进一步讨论：1.过定点P(x,y)，倾角为θ的直线的标准参数方程形式为：x=x+tcosθ，y=y+tsinθ，其中t为参数，代表点P与点M间的有向距离。2.根据t的几何意义，有以下结论：-经过点M(x,y)，倾斜角为α的直线l的参数方程为：x=x+tcosα，y=y+tsinα，其中t为参数。-若直线l上两点A、B的参数分别为t1、t2，线段AB的中点为P，点P所对应的参数为t，则以下结论在解题中经常用到：(1)|AM|=|t1|,|BM|=|t2|;(2)|AB|=|t2-t1|;(3)|AM|·|BM|=|t1·t2|;(4)AB=|tB-tA|=√[(tB+tA)^2-4tA·tB];(5)t=(t1+t2)/2。常见的四种题型：1.方程互换；2.直线标准参数方程的应用；3.最值问题；4.简单的平面解析几何问题。极坐标与参数方程经典问题：题型一：客观题。的交点坐标为（1，1），求C1与C2的交点间的距离。解：（1）将曲线C1的极坐标方程转化为直角坐标方程：$$\begin{aligned}x^2+y^2&=(2+2\cos\theta)^2+(2-2\sin\theta)^2\\&=8\cos^2\theta+8\sin^2\theta+8\cos\theta-8\sin\theta+8\\&=8\cos\theta-8\sin\theta+16\end{aligned}$$将曲线C2的极坐标方程转化为直角坐标方程：$$\begin{aligned}x+y&=2\cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)+2\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\\&=2\sin\theta+2\cos\theta\end{aligned}$$（2）设C1和C2的交点坐标为（x，y），则有：$$\begin{cases}x^2+y^2=8\cos\theta-8\sin\theta+16\\x+y=2\sin\theta+2\cos\theta\end{cases}$$将（1，1）代入上述方程组，解得：$$\begin{cases}x=1\\y=1+\sqrt{2}\end{cases}$$两曲线交点间的距离为：$$\begin{aligned}d&=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\&=\sqrt{(1-1)^2+(1+\sqrt{2}-1)^2}\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$$解：（1）曲线C1的普通方程为y=2sinα，曲线C2的极坐标方程为ρ=cosθ/sinθ-10。（2）点M到直线l的距离可以表示为ρcos(θ-π/4)-10的绝对值。由于ρ≥0，所以距离的最小值为10，当θ=π/4时取到。最大值为√2ρ-10，当θ=π/2时取到。因此，点M到直线l的距离的最小值为10，最大值为2√2-10。在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为y35sin（为参数）。已知直线l的斜率为2，且过点(1,4)，求曲线C与直线l的交点坐标。解：将曲线C的参数方程化为普通方程，得到(x-2)/7=(y-3)/5即5x-7y+16=0由已知直线l的斜率为2，过点(1,4)，可得直线l的普通方程为y-4=2(x-1)即y-2x+2=0将两个方程联立解得交点坐标为(x,y)=(11/3,23/3)。在直角坐标系xOy中，曲线C1以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，其极坐标方程为ρ-4ρcosθ-3=0，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cosθ，直线l的直角坐标方程为y=3x。要求解：（1）求曲线C1的普通方程和直线l的极坐标方程。（2）若直线l与C1，C2在第一象限分别交于A，B两点，P为C2上的动点，求ΔPAB面积的最大值。（1）由极坐标变换公式，可将曲线C1的极坐标方程转化为普通方程为(x-2)^2+y^2=49，即(x-2)+y=7。直线l的极坐标方程为θ=arctan3。（2）曲线C2的直角坐标方程为(x-4)^2+y^2=16，设A(ρ1,θ1)，B(ρ2,θ2)，则由题意可得ρ1-4ρ1cos(2π/3)=3π和ρ2=8cos(π/3)=4，解得ρ1=3，ρ2=4。因此，AB=ρ1-ρ2=1，C2(4,0)到l的距离为d=23/4。以AB为底边的ΔPAB的高的最大值为23/4，因此ΔPAB的面积的最大值为2+3=5。将圆x+y=1上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得曲线C。要求解：（1）写出C的参数方程。（2）设直线l：4x+y+1=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程。（1）将圆的参数方程x=cosθ，y=sinθ代入，得曲线C的参数方程为x^2+y^2=x，即x=cos^2t，y=sint。（2）直线l与C的交点为P1(-1/5,6/5)和P2(1,0)，因此线段P1P2的中点为M(3/5,3/5)。由于直线l的斜率为-4，线段P1P2的中垂线斜率为1/4，因此中垂线的方程为y-x=3/5。将极坐标变换公式代入，得直线的极坐标方程为θ=arctan(4/3)。在直角坐标系xOy中，直线l倾斜角为α，其参数方程为x=-2+tcosα（t为参数）y=tsinα在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ-4cosθ=0。（1）若直线l与曲线C有公共点，求直线l倾斜角α的取值范围；（2）设M(x,y)为曲线C上任意一点，求x+3y的取值范围。解：（1）法一：由曲线C的极坐标方程得ρ2-4ρcosθ=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0，即(x-2)2+y2=4∴曲线C是圆心为C(2,0)，半径为2的圆。∵直线l过点P(-2,0)，当l斜率不存在时，l的方程为x=-2与曲线C没有公共点；∴当直线l斜率存在时，设直线l的方程为：y=k(x+2)，即kx-y+2k=0直线l与圆有公共点，则d=|2k-0|/sqrt(k2+1)≤2∴-3/√3≤k≤3/√3∵α∈[0,π)，∴α的取值范围是[π/6,π/2]或[5π/6,π)。法二：∵曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0，将x=-2+tcosα，y=tsinα代入x2+y2-4x=0整理得t2-8tcosα+12=0∵直线l与曲线C有公共点，∴Δ=64cos2α-48≥0即cosα≥3/4或cosα≤-3/4，∵α∈[0,π)，∴α的取值范围是[π/6,π/2]或[5π/6,π)。（2）法一：设x+3y=m，由于圆x2+y2