全等三角形常用辅助线做法

五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点．下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例.如图例.如图1在厶分析:要证 ，+不在同一直线上.故在上截取，则只要证明证明：在上截取=连接■•••、分别平分Z、CZAC，BZABC°=60/.Z+ °，/.ZZ=6=Z1Z 60显然，△ =△ ，•:Z5Z=4。，.•.Z °-(Z+)6在厶 与厶 中，Z6Z=7=6°0Z =3/.△ ，截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例2如图甲，〃，点在线段上，zZ,ZE求证：思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法）解题思路：结论是 ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在上截取，只要再证 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。解答过程：证明：在上截取，如图乙C（SA）S/.z=1又•••〃，/zAD+zBCO，/zDC+zECDO，/z2z+3=°9，0z1z+/z3=4在人与^中，CE=CE^FDE=£ADE<DE=DEZ3=Z4DE(Sa解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。二、中线倍长

三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路．例.已知三角形的两边长分别为和，那么第三边上中线长X的取值范围是（）.分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断.例：已知在△边上的中线，是例：已知在△边上的中线，是上一点，且延长交于F求证:提示：倍长至，连接，证明△三角形是等腰三角形

例：已知：如图，在€ABC中，AB丰AC,交于点，在上，且 ，过作DF//BA例：已知=ZA在上，且 ，过作DF//BA例：已知=ZA的中线，求证：zZ提示：方法:倍长至G连结方法2倍长至H连结提示：倍长至，连结证明△仝△E)进而证明厶 仝厶()

、分析：要证 ，由图想到： ， ，所以有D左边比要证结论多+故不能直接证出此题，而由 想到要构造，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去证明：延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE■/ad^jAabc的中线（已知）.-.BD=CD（中线定义）在Aacd和Z\EBD中^BD=CD（已证）弋Z1=三2（只寸顶甬木目等）AD=ED（辅助线作法）■-（A••• （全等三角形对应边相等）•••在△ 中有： （三角形两边之和大于第三边）、分析：欲证=只需证、所在两个三角形全等，显然图中没有含有、 的两个全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有、的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。思路一、以三角形 为基础三角形，转移线段，使、在三角形中方法一：延长到，使得=连结，证明△和厶全等，得。通过证明Z乙，得到。证明：延长AD到H,使得DH=AD,连接BHD为BC中点.BD=DC在AADC和△HDB中^AD=DH<ZADC=£BDHBD=CD△◎△/. 、乙乙/.乙乙又乙H方法二：过点作平行，与的延长线相交于点，证明△和厶全等即可。小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线”可以得到两个全等三角形。而过一点作已知直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用。思路二、以三角形 为基础三角形。转移线段，使、在两个全等三角形中方法三：延长至,使得,连接、证明△ 和厶全等即可。三、作平行线当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时，可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，从而为证明全等提供条件．例.如图，在等腰△例.如图，在等腰△中,,在上截取，在延长线上截取，且■连接交于F求证:分析：要证=必须借助三角形全等.分析：要证=必须借助三角形全等.形条件，可知zZ，作〃，可得z证明：作〃交于./.z B■/ =zz=/.z B=而现有图形中没有全等三角形.由等腰三角B.则△ 为等腰三角形.又〃〃Az〃DzFE=zDFz〃=E（对顶角）/.△ ()四、补全图形在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决．例.如图，在△中，=Z。，为Z 的平分线.若点到直线的距离为，求的长.间的关系，需设法构造其他的全等三角形.证明：延长、相交于F由为z 的平分线，丄.TOC\o"1-5"\h\z易证△竺厶B Z=又Z 丄 °,0+ °B.Z 丄■/为Z的平分线BZZBZZ,而Z B °,/.△竺厶E）B五、利用角的平分线对称构造全等角的平分线是角的对称轴，在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角，还有一条公共边，利用角的平分线在角的两边上截取相等的线段，或向两边作垂线，对称构造出全等三角形是常用的证明方法．例5．如图例5．如图5，在四边形中，已知平分ZBZZ1.证明:分析：由角的平分线条件，在只要证明证明：在上截取=连接由平分ZB易证△■D=ZAEZ又ZAZ+C=1°8，0ZBEZDD+E■ZDEZCC=■DE=CD

、已知，如图，zZ2为、已知，如图，zZ2为求证：ZZ °0上一点，且丄于点，证明：过点作垂直的延长线于点，如图■.■Z1=Z2,且FD丄陀「.PE=PD,在用△BPE^沁石FD中,\PE=PD[BP=BP:.BE=BDa'AB+BC=2BD.:.AB+BE^DC=BE^B^.'.AB+DC=B^DC=BE-AB=AEa在用△卫卩E与沁CPD中，‘FE=PD<ZPEA=APDCAE=DC全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中