风电机组控制与优化运行第2章-风电系统数学模型课件

风电机组控制与优化运行长沙理工大学能源与动力工程学院第2章风力发电机组控制系统数学模型风电机组控制与优化运行长沙理工大学能源与动力工程学院第2章第2章风力发电机组

控制系统数学模型风能转换系统概述风力机数学模型传动装置数学模型发电机数学模型变流器数学模型桨距伺服系统数学模型风速模型第2章风力发电机组

控制系统数学模型风能2.1风能转换系统概述风力发电系统通常由风力机、传动系统、制动装置、发电机、变流器、并网开关、补偿电容器等设备所组成。传动系统制动装置发电机换流器开关电网风补偿电容控制系统测风系统变桨距系统偏航系统2.1风能转换系统概述风力发电系统通常由2.1风能转换系统概述

为获取整个系统的面向控制的数学模型，将整个系统分为以下几个子系统：风力机子系统传动装置子系统发电机子系统电力电子变流器子系统桨距伺服子系统2.1风能转换系统概述为获取整个系统的面2.1风能转换系统概述（一）风力机子系统风力机的作用是将有效的风能转换为有用的机械能。风以一定的速度和攻角作用在桨叶上，使桨叶产生旋转力矩而转动，从而将捕获的风能转换成机械能。

与该子系统相关的物理量主要有：风速、叶片桨距角、风轮转速、风力机输出的转矩等。2.1风能转换系统概述（一）风力机子系统风力机2.1风能转换系统概述（二）传动装置子系统（即齿轮箱）由于风力发电机组起动/停车频繁，叶轮又具有很大的转动惯量，叶轮的转速一般都不高，大约在20~40r/min左右，机组容量越大，转速越低，因此在风轮与发电机之间往往需要设置增速齿轮箱。与该子系统相关的物理量主要有：风力机的拖动转矩、发电机的电磁转矩、风轮转速、发电机转子转速等。传动装置的作用是将风力机所获得的转矩传递到发电机转轴。

2.1风能转换系统概述（二）传动装置子系统（即齿轮箱）2.1风能转换系统概述（三）发电机子系统发电机子系统的任务是将发电机轴上的机械能转换成电能。与该子系统相关的物理量主要有：发电机的电磁转矩、发电机转子转速、定/转子电压、电流、频率、发电机功率(有功、无功)、功率因数等。风力发电系统中的发电机有恒速恒频发电机和变速恒频发电机两大类。

2.1风能转换系统概述（三）发电机子系统发电机2.1风能转换系统概述（四）电力电子变流器子系统变流器子系统的作用是将发电机输出的频率随风速或转速波动交流电变换成标准的工频交流电。与该子系统相关的物理量主要有：发电机定/转子电压、电流、频率、发电机功率(有功、无功)、变流器输出电压、电流、频率、功率因数等。恒速恒频发电机不需变流器，但变速恒频发电机则需要通过变流器来实现发电机与电网之间的耦合。

2.1风能转换系统概述（四）电力电子变流器子系统2.1风能转换系统概述（五）桨距伺服子系统由液压装置或机电装置组成的桨距伺服子系统的任务是沿叶片纵轴旋转叶片，从而改变桨距角。与该子系统相关的物理量主要有：风速、叶片桨距角、风轮转速、转矩等。从空气动力学角度考虑，当风速过高时，通过调整叶片桨距角，改变气流对叶片的攻角，从而改变风力发电机组获得的空气动力转矩，可使机组输出功率保持稳定。2.1风能转换系统概述（五）桨距伺服子系统由液2.2风力机子系统的数学模型2.2.1风力机空气动力学

风力机是将风的动能转换为其它形式能量的旋转机械。空气流过风轮的情况如下：

2.2风力机子系统的数学模型2.2.1风力机空气动力2.2.1风力机空气动力学

在t时间内，以速度v垂直流过截面A的空气流所具有的动能为：

对应的风功率为：

风轮前方来流通过风轮时，受风轮阻挡被向外挤压，绕过风轮的空气能量未被利用。只有通过风轮截面的气流释放了所携带的部分动能。风轮上游流束的横截面积比风轮面积小，而下游的横截面则比风轮面积大。2.2.1风力机空气动力学在t时间内，以速度v垂2.2.1风力机空气动力学流束膨胀是因为要保证每处的质量流量相等：

风速变化曲线静压力变化曲线v∞vdvwp∞p∞p+dp-d流束致动盘2.2.1风力机空气动力学流束膨胀是因为要保证每处的质量2.2.1风力机空气动力学定义a为轴向气流诱导因子：

可得致动盘处气流速度为：

根据动量定理，气流所受的作用力F等于动量变化率，而动量变化率等于速度的变化量乘以质量流量，即：引起动量变化的力来自于致动盘前后静压力的改变，故有：2.2.1风力机空气动力学定义a为轴向气流诱导因子：可2.2.1风力机空气动力学对流束的上风向和下风向分别使用伯努利方程，可求得压力差。对上风向：

对下风向：

由于ρ∞=ρd=ρ，p∞=pw且在水平方向上h∞=hd故有：因此有：

2.2.1风力机空气动力学对流束的上风向和下风向分别使用2.2.1风力机空气动力学气流输出功率即风力机从空气流束中捕获的风功率为：定义风能利用系数CP：

风能利用系数的物理意义：风力机所捕获的风能与流过风力机的空气流所含有的动能之比。

定义推力系数Ct为：

2.2.1风力机空气动力学气流输出功率即风力机从空气流束2.2.1风力机空气动力学风能利用系数和推力系数随轴向气流诱导因子变化的关系曲线如下：2.2.1风力机空气动力学风能利用系数和推力系数随轴向气2.2.2风力机桨叶受力分析一、风轮在静止情况下叶片的受力分析风速v风速vIIIFxFyFF’xF’yF’α2.2.2风力机桨叶受力分析一、风轮在静止情况下叶片的受一、风轮在静止情况下叶片的受力分析风速vαβFFyFx风轮旋转面当气流以速度v流经风轮时，在桨叶I和桨叶II上将产生气动力F和F’。将F及F’分解成沿气流方向的分力Fx和Fx’（阻力）及垂直于气流方向的分力Fy和Fy’（升力），阻力形成对风轮的正压力，而升力则对风轮中心轴产生转动力矩，从而使风轮转动起来。α称为风轮叶片的攻角，β称为桨距角（即每个叶片的翼弦与风轮旋转平面之间的夹角）。气动力F的两个分力（即阻力和升力）的大小随攻角的不同而不同，使升力分量达到最大值的攻角称为最佳攻角。一、风轮在静止情况下叶片的受力分析风速vαβFFyFx风轮旋二、风轮在转动情况下叶片的受力分析设风轮旋转的角速度为ωr，则相对于叶片上距离转轴中心为r处（0≤r≤R）的一小段叶片元（称为叶素）的气流合成速度Vr将是流过风轮圆盘时的风速vd与该叶素的旋转线速度的矢量和，即：vωrVrvdα

β倾斜角Φ=α+β<90°FFxFyFy1Fx1二、风轮在转动情况下叶片的受力分析设风轮旋转的角速度为ωr，二、风轮在转动情况下叶片的受力分析气动力F可以分解为平行于Vr的阻力Fx及垂直于Vr的升力Fy。

vωrVrvdα

β倾斜角Φ=α+β<90°FFxFyFy1Fx1式中：ρ——空气的密度，单位为kg/m3；

c——叶片的几何弦长，单位为m；

Vr——气流合成速度，单位为m/s；

Cl——翼形升力系数；

Cd——翼型阻力系数；

dr——叶片微元的长度。二、风轮在转动情况下叶片的受力分析气动力F可以分解为平行于V二、风轮在转动情况下叶片的受力分析攻角α/(°)-155254565

0-0.50.51.01.50.10.20.3Cd

ClClmaxClCdαcr升力系数和阻力系数既与叶片形状有关，也与叶片攻角有关。二、风轮在转动情况下叶片的受力分析-155254565二、风轮在转动情况下叶片的受力分析气动力F还可以分解为在风轮旋转面内使桨叶旋转的力Fy1及对风轮正面的压力Fx1。

vωrVrvdα

β倾斜角Φ=α+β<90°FFxFyFy1Fx1二、风轮在转动情况下叶片的受力分析气动力F还可以分解为在风轮二、风轮在转动情况下叶片的受力分析由此可得该叶片微元所获得的转矩为：若风轮叶片数量为N，则对上式沿整个叶片长度进行积分后再乘以N即可得整个风轮所获得的转矩：实际上，风轮转矩是通过前述的风能利用系数CP来计算的，为此定义无量纲的转矩利用系数CQ为：且有：

二、风轮在转动情况下叶片的受力分析由此可得该叶片微元所获得的二、风轮在转动情况下叶片的受力分析由此可得风力机获得的转矩计算公式如下：实际风力机运行中，受风速的制约，其转矩可以按风速分段表示如下：0

0

PN/ωN

v∞≤vin

vin≤v∞≤vN

vN≤v∞≤vout

v∞≥vout

二、风轮在转动情况下叶片的受力分析由此可得风力机获得的转矩计2.2.3风能利用系数CP的计算一、风速恒定而风轮转速变化时对α的影响风力机运行时，无论是风速变化或是风轮转速变化，都将使叶片的攻角α改变。下面分两种情况讨论风速和风轮转速变化时对α的影响：

当风速不变而风轮转速变化时，如左图中风速vd不变而叶素的旋转线速度由vωr1增加到vωr2，叶片的攻角将由α1减小到α2，即攻角将随风轮转速的增大而减小。vdvωr1α1vr1θ1βvωr2α2vr2θ22.2.3风能利用系数CP的计算一、风速恒定而风轮转速2.2.3风能利用系数CP的计算一、风速恒定而风轮转速变化时对α的影响设气流合成速度Vr与风速Vd之间的夹角为θ，由上图可知，显然有：当桨距角β为某个固定值不变时，因

常数，而θ是随风轮转速的增加而增大的，故攻角将随风轮转速的增大而减小。若要使攻角α不变（如希望使叶片保持最佳攻角），则要求

常数。2.2.3风能利用系数CP的计算一、风速恒定而风轮转速2.2.3风能利用系数CP的计算一、风速恒定而风轮转速变化时对α的影响由于风轮旋转时叶片位于不同半径处的旋转线速度vωr随r的不同而不同，若叶片各处的安装角β是一样的（这样的叶片称为平板型叶片），则在某一风速下，叶片各处因其vωr不同，而使叶片各处的攻角α也不相同，故这样的叶片不具备良好的空气动力特性。为使整个叶片长度方向上均能获得有利的攻角，就必须使叶片每一截面的安装角随半径r的增大而逐渐减小，这样的叶片称为螺旋桨型叶片。2.2.3风能利用系数CP的计算一、风速恒定而风轮转速2.2.3风能利用系数CP的计算二、风轮转速恒定而风速变化时对α的影响当风轮转速恒定而风速变化时，如左图中vωr不变而风速由vd1增加到vd2时，叶片的攻角将由α1增加到α2，即攻角将随风速的增大而增大。当攻角增大到某个临界值αcr时（称为临界攻角），叶片升力达到最大值，若攻角继续增加，升力则突然下降，这一现象称为失速。失速发生时，风力机的输出功率显著减小，定桨距风力机的失速调节就是根据这一原理来实现的。vd1vωrα1vr1θ1βvωrα2vr2θ2vd22.2.3风能利用系数CP的计算二、风轮转速恒定而风速2.2.3风能利用系数CP的计算小结：要使风力机最大限度的捕获风能，就必须使风力机叶片攻角保持在最佳攻角，即：β+θ=常数。由于风轮旋转时叶片位于不同半径处的旋转线速度随r的不同而不同，导致θ也随r而变化，故叶片各处的节距角β也必须随r而改变（螺旋桨型叶片）。2.2.3风能利用系数CP的计算小结：要使风力机最大限2.2.3风能利用系数CP的计算三、风能利用系数CP的计算公式叶尖速比λ：桨叶尖部的旋转线速度与风速之比。当地速度比λr：距离风轮转轴中心为r处的叶素的旋转线速度与风速之比。风能利用系数CP代表了风轮吸收的能量与总能量之比（即风力机捕获风能的效率），它是叶尖速比λ和桨距角β的高阶非线性函数。2.2.3风能利用系数CP的计算三、风能利用系数CP的2.2.3风能利用系数CP的计算三、风能利用系数CP的计算公式在实际工程应用中，风能利用系数是通过风力机的实际测量数据拟合的函数，根据有关资料的研究结果，CP可由以下几个经验公式近似计算得到：公式1：公式2：2.2.3风能利用系数CP的计算三、风能利用系数CP的2.2.3风能利用系数CP的计算三、风能利用系数CP的计算公式公式3~5：式中：公式6：式中：L/D——风力机提拉比(LifttoDragratio)；N——风力机叶片数。2.2.3风能利用系数CP的计算三、风能利用系数CP的2.2.3风能利用系数CP的计算三、风能利用系数CP的计算公式桨距角分别保持为0°,5°,10°,15°,20°,25°时，用MATLAB绘制CP5随尖速比λ变化的关系曲线：%CalculationofthecoefficientCpasalambdafunctionfordifferentBetasfigurecolors=['r','b','g','c','m','k'];i=1;lambda=[0:0.1:17];forB=0:5:25lambda1=1./(1./(lambda+0.08*B)-0.035./(B.^3+1));Cp5=0.5176*(116./lambda1-0.4*B-5).*exp(-21./lambda1)+0.0068*lambda;plot(lambda,Cp5,colors(i),'LineWidth',2);holdongridoni=i+1;endtitle('Cp(lambda)')legend('B=0','B=5','B=10','B=15','B=20','B=25')axis([0,17,0,0.5])ylabel('Cp')xlabel('lambda')holdoff2.2.3风能利用系数CP的计算三、风能利用系数CP的2.2.3风能利用系数CP的计算三、风能利用系数CP的计算公式桨距角分别保持为0°,5°,10°,15°,20°,25°时，用MATLAB绘制CP5随尖速比λ变化的关系曲线：2.2.3风能利用系数CP的计算三、风能利用系数CP的2.2.3风能利用系数CP的计算三、风能利用系数CP的计算公式对于每个固定的桨距角都存在一个风能利用系数的最大值，这个最大值所对应的叶尖速比值就是风力机在该桨距角下的最佳叶尖速比。当桨距角为0°时风能利用系数最大，随着桨距角的增大，风能利用系数将显著减小。根据公式1，可得最佳尖速比λopt为：2.2.3风能利用系数CP的计算三、风能利用系数CP的2.2.4风力机子系统的数学模型风力发电系统中各子系统之间的信息流如下：风力机传动装置发电机&换流器变桨系统风速v∞βωrTrTemωg励磁电压、控制角等Us，fsIs，Pe2.2.4风力机子系统的数学模型风力发电系统中各子系统之2.2.4风力机子系统的数学模型βωrv∞v∞CPTrλλ0

0

PN/ωN

v∞≤vin

vin≤v∞≤vN

vN≤v∞≤vout

v∞≥vout

2.2.4风力机子系统的数学模型βωrv∞v∞CPTrλ2.3传动装置的数学模型传动系统的作用是把原动部分的运动转变为执行部分所需要的机械动作，即把风通过风力机所产生的气动转矩转变为发电机侧的机械拖动转矩。因此传动系统是能量传输的纽带。传动系统的运动取决于驱动力矩及阻力矩的特性。对于感应发电机和双馈式感应发电机，即使增多发电机极对数，其同步转速也远远高于风力机转速，因此中间需要用齿轮箱增速。风力机将捕获的机械功率传递至低速轴，经齿轮箱增速后传递到高速轴(即发电机转子轴)。2.3传动装置的数学模型传动系统的作用是2.3传动装置的数学模型风力发电机组传动系统结构如下：由于传动轴物理特性的不同，可以根据传动轴的旋转自由度个数建立适用于不同刚度的传动系统。2.3传动装置的数学模型风力发电机组传动2.3传动装置的数学模型对于传动装置的建模主要有两种方式：

一是考虑传动轴的柔性；

二是不考虑传动轴的柔性，即假定轴是绝对刚性的。

实际上，由于风电系统中风力机的惯性较大，而发电机转子的惯性较小，传动轴连接两个惯量相差很大的器件，则必然是柔性的。因此刚性轴模型比较简单，但存在着较大误差；柔性轴模型相对比较准确，但相应的数学模型也比较复杂。

在此仅考虑传动系统的刚性轴模型。2.3传动装置的数学模型对于传动装置的建2.3传动装置的数学模型刚性轴模型认为传动系统的扭转刚度足够大，即假定低速轴、齿轮箱、高速轴及发电机转子是刚性的，高速轴与低速轴按定传动比变化，整个旋转系统仅一个旋转自由度，旋转的加速度来自于气动转矩与发电机电磁转矩及阻尼转矩之间的不平衡。传动链低速轴的动力学方程如下：式中：

Jr为风轮的转动惯量(kg·m2)；ωr为风轮旋转角速度(rad/s)；TDr为阻力矩(N·m)；n为齿轮箱传动比；Tmech为输出到发电机转子的机械转矩(N·m)。2.3传动装置的数学模型刚性轴模型认为传2.3传动装置的数学模型同理，传动链高速轴的动力学方程如下：式中：

Jg为发电机的转动惯量(kg·m2)；ωg为发电机转子旋转角速度(rad/s)；TDg为发电机阻力矩(N·m)；Tem为发电机电磁转矩(N·m)。由于不考虑传动轴的柔性，故有：现假设：以及其中：KDr和KDg分别为低速轴和高速轴阻尼系数。2.3传动装置的数学模型同理，传动链高速轴的动力学方程2.3传动装置的数学模型由此可得传动链转化为风轮转速的系统方程为：令：以及，则上式可简写为：nn—+TrTemωrωg2.3传动装置的数学模型由此可得传动链转化为风轮转速的2.4发电机子系统的数学模型目前风电机组与电网（或负载）的连接方式主要有以下几种形式：PMSGDCACDCAC直驱型永磁同步发电机（PermanentMagnetSynchronousGenerator，PMSG）经全功率并网换流器与电网连接。2.4发电机子系统的数学模型目前风电机组2.4发电机子系统的数学模型直接连接到电网的恒速鼠笼型异步发电机（Fixed-SpeedInductionGenerator，FSIG）是一种非常可靠的设备。它不需要外加励磁，没有滑环和电刷，结构简单、坚固，基本上不需要维护，其控制系统也相对比较简单。FSIG1:n2.4发电机子系统的数学模型直接连接到电2.4发电机子系统的数学模型鼠笼型异步发电机（Squirrel-CageInductionGenerator，SCIG）经全容量并网换流器与电网连接。由于发电机定子与电网之间配置了换流器，因而允许风力机转速随风速的变化而相应变化，可使风力机在最佳叶尖速比附近工作，风能利用系数较高。SCIGDCACDCAC1:n2.4发电机子系统的数学模型鼠笼型异步发2.4发电机子系统的数学模型交流励磁双馈式异步发电机（DoublyFedInductionGenerator，DFIG）的定子绕组和转子绕组与电网都有电气连接。其定子绕组与电网直连，转子绕组经换流器与电网相连。DFIG1:nDCACDCAC2.4发电机子系统的数学模型交流励磁双馈2.4发电机子系统的数学模型综上所述，风力发电机组采用的发电机有多种形式。根据发电机的转速特性，可以把发电机分为两类：

⑴恒速发电机直接与电网连接，转速由电网频率限制；

⑵变速发电机通过变频装置与电网连接，转速独立于电网频率。

注：双速发电机本质上可以看成由两个恒速发电机组成。本节主要介绍FSIG、PMSG以及DFIG等三种发电机的数学模型。2.4发电机子系统的数学模型综上所述，风2.4发电机子系统的数学模型2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型

恒速发电机比较简单，有同步发电机和鼠笼型异步发电机两种。同步发电机运行于由电机极数和频率所决定的同步转速，异步发电机则以稍高于同步转速运行。同步发电机可以向电网或负载提供无功功率，不仅可以并网运行，也可以单独运行。其缺点是结构和控制系统比较复杂，并网比较困难，成本相对于异步发电机也比较高。因此，恒速风力发电系统采用同步发电机的很少，在此不予分析。2.4发电机子系统的数学模型2.4.1恒速异步发电2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型

异步发电机也称为感应发电机，有鼠笼型和绕线型两种。鼠笼型异步发电机不需要外加励磁，没有滑环和电刷，结构简单、坚固，基本上不需要维护，因而在风力发电系统中得到了广泛应用。异步电机既可作电动机运行，也可作为发电机运行。

当其作为电动机运行时，转速总是低于同步转速(次同步)，电机中产生的电磁转矩的方向与旋转方向相同(拖动转矩)；

当其作为发电机运行时，转速高于同步转速(超同步)，而电磁转矩的方向与旋转方向相反(负载转矩)，其作用是把机械功率转变为电功率。2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型异步发2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型

异步发电机的转速与同步转速之间的差值通常用转差率（也称滑差率）sg来衡量。设：FSIG的机械旋转角速度为ωg(rad/s)；

FSIG的电气旋转角速度为ωe,ωe=pgωg；

同步机械旋转角速度为ω1=2πf1/pg(rad/s)；同步电气旋转角速度为ω1e=2πf1(rad/s)；

f1（Hz）为定子电流频率；

pg为异步发电机转子磁极对数。则转差率sg定义为：2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型异步发2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型FSIG的T型单相稳态等效电路如下：rsXs(1-sg)rr/sgXrXmIsIrUsaa’PemrrIm图中所有量都折算到定子侧，下标s表示定子（stator）侧物理量，下标r表示转子（rotor）侧物理量：Xs=ω1eLs是定子漏抗，Xr=ω1eLr是转子漏抗，Xm=ω1eLm是励磁电抗，端电压Us、定子电流Is以及转子电流Ir均为单相有效值。2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型FSIG的T型2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型三相异步电机根据转速的不同，既可以工作在电动机状态，也可以工作在发电机状态。按电动机惯例选取各电量的参考方向，当其以转速ωg稳定运行时，其功率关系如下：⑴定子绕组从电网输入的电功率为：

⑵定子绕组的铜损耗为：

⑶忽略的铁心损耗：一、FSIG的功率关系2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型

⑷输入功率减去定子铜损和铁损，剩下的就是穿越气隙传递到转子的电磁功率Pem（因为定、转子之间没有电路上的直接联系，电磁功率是通过电磁感应向转子电路传送的）：⑸转子绕组的铜损耗为：

一、FSIG的功率关系rsXs(1-sg)rr/sgXrXmIsIrUsaa’PemrrIm2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型⑷输入功率减2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型

⑹电磁功率Pem减去转子铜损耗PCu2即为等效电阻(1-sg)rr/sg上的功率，这部分功率实际上就是传输给电动机转轴上的机械功率Pm。它是转子电流与气隙磁密共同作用产生的电磁转矩，带动转子以角速度ωg旋转时所对应的功率，即：一、FSIG的功率关系rsXs(1-sg)rr/sgXrXmIsIrUsaa’PemrrIm2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型⑹电磁功率P2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型可见，电磁功率、转子铜损和机械功率之间存在一定的比例关系，即：一、FSIG的功率关系rsXs(1-sg)rr/sgXrXmIsIrUsaa’PemrrIm异步电机运行时轴承及风扇等摩擦阻转矩要损耗一部分功率，称为机械损耗Pmsh。此外，定、转子开槽和谐波磁动势也要产生一些附加损耗Pad（对中小型异步电机，附加损耗约为额定功率的1%~3%；对大型异步电机，附加损耗约为额定功率的0.5%。2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型可见，电磁功率2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型转子的机械功率Pm减去机械损耗Pmsh和附加损耗Pad，就是三相异步电机转轴上输出的功率Pmech。在2.3节中，由于已将机械损耗对应的阻力矩包含在TD中，为简单起见，这里也将附加损耗对应的阻力矩包含在TD中，则转子的机械功率Pm即为三相异步电机转轴上输出的功率Pmech。一、FSIG的功率关系rsXs(1-sg)rr/sgXrXmIsIrUsaa’PemrrIm2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型转子的机械功率2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型异步电机在作电动机运行时的功率流向如下：一、FSIG的功率关系输入的电功率Pe电磁功率Pem输出的机械功率Pmech定子铜损铁损(忽略)转子铜损机械损耗和附加损耗(在TD中考虑)机械功率Pm2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型异步电机在作电2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型异步电机在作发电机运行时的功率流向如下：一、FSIG的功率关系输出的电功率Pe电磁功率Pem输入的机械功率Pmech定子铜损铁损(忽略)转子铜损机械损耗和附加损耗(在TD中考虑)有效的机械功率Pm2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型异步电机在作发2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型

FSIG的有效机械功率Pm等于电磁转矩Tem与转子机械角速度ωg的乘积，由此可得：二、FSIG的转矩关系rsXs(1-sg)rr/sgXrXmIsIrUsaa’PemrrImPmrsXsrr/sgXrXmIrUsaa’PemIm’可见，FSIG的转矩是依赖于Ir和转差率sg的。FSIG的T型等效电路FSIG的Γ型等效电路2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型根据FSIG的Γ型等效电路：二、FSIG的转矩关系可得FSIG的电磁转矩为：2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型根据FSIG的2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型二、FSIG的转矩关系0ω1ωg转矩Tem发电机运行区电动机运行区Tem.maxTem.min不稳定运行区FSIG的“转矩—速度”特性曲线：线性近似2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型二、FSIG的2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型二、FSIG的转矩关系当转差率sg>0时，FSIG作电动机运行；当sg<0时，FSIG作发电机运行状态。在这两种情况下，转差率也代表了消耗在转子电阻上的机械能（即转子铜损），大的转差率就意味着低效率。因此，异步电机通常都在非常低的转差率下工作（一般|sg|<5%）。2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型二、FSIG的2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型二、FSIG的转矩关系稳态时FSIG在其正常工作区间内，其转矩特性近似为一个线性环节。

在曲线线性部分作转矩—速度曲线的切线，并设切线斜率为De，可得：如考虑暂态过渡过程，FSIG的电磁转矩不仅与转子角速度有关，还与角速度的变化率（即角加速度）有关，其特性由斜率De和瞬时短路时间常数τ确定。2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型二、FSIG的2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型二、FSIG的转矩关系考虑暂态过渡过程时FSIG的数学模型可以简化为一阶线性微分方程形式：或写成：sgTem由此得到FSIG的数学模型：2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型二、FSIG的2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型二、FSIG的转矩关系【讨论】影响FSIG转矩—速度特性的因素：⑴转子电阻rr0ω1ωg转矩Tem发电机运行区电动机运行区Tem.maxTem.minrr3rr5rr7rr2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型二、FSIG的2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型二、FSIG的转矩关系【讨论】影响FSIG转矩—速度特性的因素:⑵发电机端电压Usω1ωg转矩TemTem.maxABC扰动前电压暂降30%12设扰动前的特性为曲线1，工作点为A点(稳定区)。当电网电压降低30%时，FSIG的特性变为曲线2，工作点由A点变为B点，由于电磁转矩降低，风力机的机械转矩大于电磁转矩，使发电机转子加速，发电机工作点沿曲线2向右移动,可能运行至C点，进入不稳定区。2.4.1恒速异步发电机FSIG的数学模型二、FSIG的2.4发电机子系统的数学模型2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型

同步发电机正常运行时其转子的转速与发电机定子旋转磁场的转速保持同步，故得名同步发电机。

与异步发电机不同，同步发电机的励磁绕组安装在转子上，励磁电源是频率为0的直流电源(或采用能提供恒定磁场的永磁材料代替励磁绕组)，因此需要转子转速跟踪定子频率。

或者换句话说，定子绕组中交流感应电动势的频率是由转子转速来决定的。2.4发电机子系统的数学模型2.4.2永磁式同步发2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型设发电机的机械转速为n1（转/分，rpm）、发电机的机械旋转角速度为ω1（rad/s）、发电机转子磁极对数为pg，则定子绕组中的交流感应电动势(电流)的频率f1为：

在风力发电系统中，由于风速的不稳定性使得发电机转速波动很大，致使定子感应交流电频率也随转速而波动。

为了解决风速变化带来的输出电压频率波动的问题，需要在同步发电机定子绕组与电网之间配置全容量背靠背变流器。2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型

风力发电系统中用的同步发电机以直驱式PMSG为主。和双馈型机组相比，具有以下特点：

⑴PMSG常采用多对磁极，风力机转轴与发电机转子直接相连，无需齿轮箱，降低了机组噪声；

⑵PMSG运行效率高，无需滑环和电刷，显著提高了机组可靠性，运行时不需要从电网吸收无功功率来建立磁场，可以改善电网的功率因数；

⑶PMSG定子绕组通过变流器接入电网，对电网波动的适应性好，网侧功率控制更加灵活；

⑷全容量变流器造价昂贵；

⑸定子绕组绝缘等级要求较高；

⑹磁极对数很多，致使发电机体积很大。2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型风力2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型PMSG的数学建模就是通过发电机的一些模型参数（包括：定子绕组每相电阻、定子绕组的自感、互感和漏感、永磁体磁链等），建立相关物理量如：电压、电流、转速、转矩等之间的联系。建立PMSG数学模型最常用的方法就是将三相静止坐标系A-B-C轴下的数学模型转换到两相旋转坐标系d-q轴下的数学模型，从而得到良好的控制性能。它不仅可用于分析永磁同步发电机的稳态运行性能，也可用于暂态性能分析。2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型

为了分析简单化，这里作如下假设：

⑴忽略空间谐波，设定子三相绕组对称，所产生感应电势和磁动势沿气隙圆周按正弦规律分布，且不计磁场的各次谐波；

⑵忽略磁路饱和，不考虑涡流和磁滞效应及趋肤效应的影响；

⑶转子上没有阻尼绕组；

⑷永磁体磁动势恒定，即等效的励磁电流恒定不变，永磁材料的电导率为零；

⑸不考虑温度、频率等参数变化时对电机参数的影响。2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型一、PMSG在静止坐标系中的数学模型NSωgAXBYZCd轴q轴A相轴线θrB相轴线C相轴线ψr三相PMSG的结构示意图2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型一、PMSG一、PMSG在静止坐标系中的数学模型NSωgAXBYZCd轴q轴A相轴线θrB相轴线C相轴线ψr

用三相等效集中绕组AX、BY、CZ来代替实际的定子三相分布绕组，这3个等效绕组在空间上互差120°电角度。

转子以同步转速ωg旋转时，转子永磁体产生的正弦磁场在空间以转速ωe=pgωg旋转。这个旋转磁场切割定子绕组，从而在三相等效定子绕组中感应出3个交流电压，这3个电压在相位上互差120°(时间上)。若这3个绕组接到3个相同的负载上，所产生的三相定子电流在相位上也互差120°。

这些电流将依次各自产生一个定子磁场分量，而气隙中的合成磁场是由定子电流所产生的合成磁场(通常称为电枢磁场)与转子永磁体所产生的旋转磁场叠加而成。一、PMSG在静止坐标系中的数学模型ωgAXBYZCd轴q轴一、PMSG在静止坐标系中的数学模型令三相定子电压和电流分别为：式中：Um、Im分别为定子相电压和相电流的幅值；θ0为t=0时A相定子电压的初始相位角；φ为负载功率因数角；ωe为发电机转子旋转电角速度。一、PMSG在静止坐标系中的数学模型令三相定子电压和电流分别一、PMSG在静止坐标系中的数学模型三相静止坐标系下定子电压方程可表示为：式中：usA、usB、usC——三相定子电压瞬时值；isA、isB、isC——三相定子电流瞬时值；ψA、ψB、ψC——三相定子绕组的全磁链

（磁链=匝数×磁通，ψ=N×Φ）；Rs——定子每相绕组电阻。一、PMSG在静止坐标系中的数学模型三相静止坐标系下定子电压一、PMSG在静止坐标系中的数学模型三相静止坐标系下定子全磁链方程可表示为：式中：

LXX——三相定子绕组的自感(X=A,B,C)，其值为Ls；

LXY——三相定子绕组之间的互感(X,Y=A,B,C且X≠Y)，其值为Ms；ψrX——永磁体在三相定子绕组中产生的磁链(X=A,B,C)。且有：一、PMSG在静止坐标系中的数学模型三相静止坐标系下定子全磁一、PMSG在静止坐标系中的数学模型由此得三相静止坐标系下定子电压方程为：上式中的电感值和永磁体在三相定子绕组中的磁链都是随转子位置角θr的变化而变化的，这使得上式成为一组变系数的线性微分方程，不易直接求解。

为便于分析，通常通过坐标变换的方法，将静止坐标系下的定子电压方程和磁链方程转换到d-q旋转坐标轴。从物理意义上来看，定子绕组等效的d-q轴绕组与转子的轴线相对静止，这就消除了电感值和磁链随θr而变化的问题，在转速不变的稳态运行情况下，电压方程就转变为常系数的微分方程。一、PMSG在静止坐标系中的数学模型由此得三相静止坐标系下定二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型由三相定子电流方程：选取A相电压的初相角θ0=φ，则发电机定子三相绕组的电流波形如下图所示：二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型由三相定子电流方程：二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型当t=0时，A相中的电流处于其正向最大值（即Im），而B相和C相中的电流为其负向最大值的一半(即-0.5Im)。若定子绕组每相的有效匝数为N，那么A相中的电流将产生一个定子磁场分量ψsA，其幅值正比于其安匝数NIm，其方向与A相绕组的轴线相同。类似地，B相和C相中的电流也分别产生定子磁场分量ψsB和ψsC，其幅值正比于其安匝数NIm/2，其方向分别与B相绕组和C相绕组的轴线相同。二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型当t二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型由于三相定子电流isA、isB和isC不仅在时间轴上互差120°相位，而且三相定子线圈AX、BY和CZ在空间上彼此也相差120°电角度。若把空间坐标α的原点取在A相绕组的轴线上，则可得三相定子电流产生的磁场为：对上式利用三角公式进行分解：三相对称，其和为0二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型由于三二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型将三相定子电流产生的3个定子磁场分量相加，就得到定子合成磁场为：式中：ψsm=1.5NIm为定子合成磁场的幅值可见，三相定子电流产生的定子合成磁场既是时间轴t的函数，同时也是空间坐标轴α的函数。

选取t0、t1、t2三个不同时刻，分别使ωet0=0°、ωet1=60°和ωet2=120°，则由三相定子电流所产生的定子磁场在空间坐标轴α下的分布如下：二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型将三相二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型由图可见，定子合成磁场一方面在空间坐标轴α下按正弦规律分布；另一方面在时间轴下按同步转速ωe旋转。

转子沿逆时针方向以电角速度ωe旋转，取永磁体基波磁场轴线方向为d轴，q轴沿着旋转方向超前于d轴90°电角度。NSωgAXBYZCd轴q轴A相轴线θrB相轴线C相轴线ψr二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型由图可二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型

PMSG的定子磁场与转子永磁体磁场之间虽然没有相对运动，但是，根据负载电流的性质不同，两个磁场之间有着不同的相对位置，这个相对位置决定着同步电机的运行方式。

就有功功率来说，若顺着旋转方向，转子磁场超前于定子磁场则为发电机运行方式，这时转子由外施机械转矩拖动，对转子而言定子磁场与转子磁场相互作用的力是一个电磁阻力。

反之，若定子磁场超前于转子磁场则为电动机运行方式，这时定子磁场作用到转子上的转矩是驱动转矩。

在上图中，转子磁场（以d轴为代表）超前于定子磁场（以A相轴线为代表）的电角度为θr，说明PMSG处于发电机运行方式。二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型PMS二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型考察3个等效线圈a、b和c，它们以电角速度ωe逆时针旋转，各自分别承载以下直流电流：

由上述3个线圈产生的合成磁场幅值为3NIm/2，其方向为线圈a的轴线方向。随着时间的推移，这个磁场的幅值保持不变，但会以同步旋转电角速度ωe旋转。

因此，这3个通以直流电流并以同步转速旋转的线圈结构可以用来模拟PMSG的三相定子线圈。二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型考察3二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型d轴q轴θrωe线圈a线圈b线圈c-Im/2Im-Im/2ψsCψsAψsψsB将三相绕组产生的合成磁场ψs沿d轴和q轴方向分解得：选择两个正交的线圈，一个在d轴上，其轴线与转子永磁体的磁极轴线重合；另一个在q轴上，其轴线超前于d轴90°电角度。ψsdψsqiqid线圈d线圈q二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型d轴q轴θrωe线圈二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型d轴q轴θrωe线圈a线圈b线圈c-Im/2Im-Im/2ψsCψsAψsψsB设两个正交线圈的匝数为N’、电流分别为id和iq，可导出相应的电流关系为：ψsdψsqiqid线圈d线圈q二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型d轴q轴θrωe线圈二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型PMSG模型转换过程小结：空间位置固定的三相等效集中绕组AX、BY、CZ(绕组中通以三相交流电流isA、isB、isC)以同步转速旋转的三个等效绕组线圈a、线圈b、线圈c(3个绕组中分别通以直流电流Im、-0.5Im、-0.5Im)以同步转速旋转的两个正交绕组线圈d、线圈q(2个绕组中分别通以直流电流id、iq)虽说是直流电流，其大小将随定子电流而变化！二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型PMSG模型转换过程二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型从三相静止A-B-C坐标系到两相旋转d-q坐标系的变换称为3s/2r变换，又称派克变换(Park变换)，其变换矩阵为：

其逆变换为：二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型从三相二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型则两相旋转d-q坐标系下PMSG的电压、电流和磁链方程为：式中：u0、i0、ψ0分别为电压、电流和磁链的0轴分量；Ld、Lq、L0分别为d、q轴定子绕组的电枢电感和0轴电感。二、PMSG在两相旋转坐标系中的数学模型则两相旋转d-q坐标2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型

考虑到前面对PMSG所作的假设：

⑴忽略空间谐波，设定子三相绕组对称，所产生感应电势和磁动势沿气隙圆周按正弦规律分布，且不计磁场的各次谐波；

⑵忽略磁路饱和，不考虑涡流和磁滞效应及趋肤效应的影响；

⑶转子上没有阻尼绕组；

⑷永磁体磁动势恒定，即等效的励磁电流恒定不变，永磁材料的电导率为零；

⑸不考虑温度、频率等参数变化时对电机参数的影响。显然有：u0=0、i0=0以及ψ0=0，因此L0之值无关紧要。2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型根据双反应理论，可得PMSG在d-q坐标系中的数学模型为：式中：ψd为直轴的全磁链；ψq为交轴的全磁链；Ld、Lq分别为直轴和交轴电感（常数）；ωe=pgωg为PMSG转子旋转的电角速度（Pg为PMSG的磁极对数）。此为附加的速度项，是由于变换到同步参考坐标系而产生的，被称为“速度电压”2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型根据双反应理2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型因此，PMSG的定子电压方程可进一步表示为：PMSG输出的有功功率为：PMSG输出的无功功率为：磁场储能的变化率转换为电能的电磁功率定子绕组的铜损2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型因此，PMS2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型因此，PMSG的电磁功率为：相应的电磁转矩为：对于隐极式同步发电机，由于Ld=Lq，则有：可见，隐极式同步发电机的电磁功率与直轴电流id无关，仅取决于交轴电流iq。2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型因此，PMS2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型最后得PMSG在d-q坐标系下的传递函数结构图如下：uduqidiqTemTmechωg---可见，PMSG的数学模型虽然是线性定常系统，但交、直轴之间互相耦合，使得其控制仍然比较困难。2.4.2永磁式同步发电机PMSG的数学模型最后得PMS2.4发电机子系统的数学模型2.4.3双馈式异步发电机DFIG的数学模型

大型变速风电机组一般采用双馈式异步发电机(DoubleFedInductionGenerator,DFIG)，定子绕组直接连接到交流电网，而转子绕组则通过背靠背变流器与电网连接。

变流器根据发电机转速的变化调节转子交流励磁电流的频率、相位和幅值，从而使发电机定子绕组的交流感应电势保持为恒频(即变速恒频)。

由于背靠背变流器传递的仅仅是转差功率，其在发电机额定功率中所占的比重小（一般仅为30%），所以变流器的容量也较小，从而变流器体积减小、成本较低、投资减少。

此外，DFIG还可实现有功功率和无功功率的独立控制，从而对电网的无功功率进行补偿。2.4发电机子系统的数学模型2.4.3双馈式异步发2.4.3双馈式异步发电机DFIG的数学模型DFIG是在同步发电机和异步发电机的基础上发展起来的一种新型发电机，其转子具有三相励磁绕组结构。当通以某一频率(转差频率)的交流电时，就会产生一个相对转子旋转的磁场，若转子的实际转速与交流励磁产生的旋转磁场所对应转速的代数和等于同步转速，就在发电机气隙中形成一个同步旋转磁场，在定子侧感应出同步频率的感应电动势。这与同步发电机直流励磁的转子以同步转速旋转时，在发电机气隙中形成的同步旋转的磁场是等效的。

DFIG的内部电磁关系既不同于一般的异步发电机又不同于同步发电机，但它却同时具有异步发电机和同步发电机的某些特点。

如果从发电机转子转速来看，DFIG当属异步发电机，但从发电机外特性来看，DFIG在很多方面又与同步发电机类似。因此，有些学者也把DFIG称为异步化同步发电机。2.4.3双馈式异步发电机DFIG的数学模型2.4.3双馈式异步发电机DFIG的数学模型DFIG在稳定运行时，定子旋转磁场与转子旋转磁场在空间应保持相对静止，即均为同步转速ω1。

若发电机转子转速ωg<ω1（称为亚同步），则需要转子旋转磁场相对于转子本身的旋转方向与转子转向相同（设这个相对转速为ω2，其值由转子交流励磁电流的频率所决定），且使：ωg+ω2=ω1；

若发电机转子转速ωg>ω1（称为超同步），则需要转子旋转磁场相对于转子本身的旋转方向与转子转向相反，且使：ωg-ω2=ω1。

设转子磁场相对于转子的旋转方向与转子转向相同时为正方向，则可统一表示为：2.4.3双馈式异步发电机DFIG的数学模型2.4.3双馈式异步发电机DFIG的数学模型

同步发电机励磁的可调量只有一个，即直流励磁电流的幅值，故调节同步发电机励磁一般只能调节其无功功率。

而DFIG除了励磁电流的幅值可调外，励磁电流的频率和相位也可调，所以在控制上更加灵活：

改变励磁电流的频率来改变发电机的转速，以达到调速的目的，从而实现变速恒频运行；

改变励磁电流的相位，使转子磁场在气隙空间上有一个位移，就改变了发电机电动势相量与电网电压相量的相对位置，调节了发电机的功率角。

因此通过调节DFIG的励磁电流，不仅可以调节发电机的无功功率，也可以调节发电机的有功功率。2.4.3双馈式异步发电机DFIG的数学模型2.4.3双馈式异步发电机DFIG的数学模型一、DFIG在静止坐标系中的数学模型DFIG是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统，因为转子绕组相对于三相定子绕组在做运动，本质上电机可以被看做是具有旋转二次绕组的变压器，其中定子和转子绕组之间的耦合系数随着位置的变化而连续变化，即使忽略磁饱和效应，运动方程的系数仍然是时变函数，这是系统非线性的一个根源。

与PMSG一样，DFIG的数学模型可以在三相静止坐标系下用具有时变互感的微分方程来描述，但这种模型比较复杂，很难求解。因此，通常是按照两种惯例将其变换到两相同步旋转坐标系下（即d-q轴坐标系）和两相静止坐标系下（即α-β轴坐标系）建立其数学模型。2.4.3双馈式异步发电机DFIG的数学模型一、DFIG一、DFIG在静止坐标系中的数学模型为使分析简单化，这里作如下假设：

⑴忽略空间谐波，设三相绕组对称，在空间互差120°电角度，所产生的磁动势沿气隙圆周按正弦规律分布；

⑵忽略磁路饱和，认为各绕组的自感和互感都是线性的；

⑶忽略铁心损耗；

⑷不考虑频率变化和温度变化对绕组电阻的影响；

⑸转子侧参数都折算到定子侧，折算后定子和转子绕组匝数相等；

⑹各绕组电压、电流、磁链的正方向符合电动机惯例（即取电流的正方向为流入电路的方向，电磁转矩的正方向与旋转方向一致）和右手螺旋定则。一、DFIG在静止坐标系中的数学模型为使分析一、DFIG在静止坐标系中的数学模型AsXsBsCsYsZszrcryrbrxrarABCabcωgθrDFIG的三相绕组等效模型如下：一、DFIG在静止坐标系中的数学模型AsXsBsCsYsZs一、DFIG在静止坐标系中的数学模型AsXsBsCsYsZszrcryrbrxrarABCabcωgθr（一）磁链方程定、转子绕组的磁链方程如下：可以认为DFIG中交链各绕组的磁通只有两类：

一类是只与定子或转子某一绕组交链而不穿过气隙的漏磁通；

另一类是穿过气隙的公共主磁通。一、DFIG在静止坐标系中的数学模型AsXsBsCsYsZs一、DFIG在静止坐标系中的数学模型AsXsBsCsYsZszrcryrbrxrarABCabcωgθr（一）磁链方程用Lls表示定子漏磁通所对应的定子漏感值，用Llr表示转子漏磁通所对应的转子漏感值，用Lms表示与主磁通对应的与定子一相绕组交链的最大互感磁通所对应的定子互感值，用Lmr表示与主磁通对应的与转子一相绕组交链的最大互感磁通所对应的转子互感值。由于折算后定、转子绕组匝数相等，且各绕组间互感磁通都通过气隙，磁阻相同，所以可认为Lms=Lmr。

则定子和转子的自感分别为：一、DFIG在静止坐标系中的数学模型AsXsBsCsYsZs一、DFIG在静止坐标系中的数学模型AsXsBsCsYsZszrcryrbrxrarABCabcωgθr（一）磁链方程定子三相绕组A、B、C之间的互感与穿过气隙的公共主磁通相对应，由于定子三相绕组轴线在空间上互差120°，故有：同理，转子三相绕组a、b、c之间的互感为：最后，定子与转子之间的互感当然也是与穿过气隙的公共主磁通相对应的。设转子a轴和定子A轴之间的电角度为θr，则有：一、DFIG在静止坐标系中的数学模型AsXsBsCsYsZs一、DFIG在静止坐标系中的数学模型AsXsBsCsYsZszrcryrbrxrarABCabcωgθr（一）磁链方程式中，Lsr为θr=0时定子A相与转子a相绕组之间的互感。若用Λ表示气隙磁路的磁导，定子每相绕组的等效匝数为N1，转子每相绕组的等效匝数为N2，则由电感的基本定义（L=ψ/i）可得如下关系式：因此有：一、DFIG在静止坐标系中的数学模型AsXsBsCsYsZs一、DFIG在静止坐标系中的数学模型（一）磁链方程将自感及互感代入磁链方程得：将转子电流和转子磁链折算到定子侧，折算的原则是转子的匝数从N2变为N1，折算前后磁场等效，那么折算后的转子电流和磁链为：一、DFIG在静止坐标系中的数学模型（一）磁链方程将一、DFIG在静止坐标系中的数学模型（一）磁链方程折算后的磁链方程如下：式中，

为折算到定子侧的转子漏感，

。（二）电压方程式中：

Rs为定子每相绕组电阻；

Rr为转子每相绕组电阻；

p为微分算子。一、DFIG在静止坐标系中的数学模型（一）磁链方程折一、DFIG在静止坐标系中的数学模型把转子电压、转子电流、转子磁链以及转子电阻都折算到定子侧，则电压方程可写成：（二）电压方程式中：为折算到定子侧的转子电阻，；为折算到定子侧的转子各绕组电压，

。一、DFIG在静止坐标系中的数学模型把转子电压、转子电流、转一、DFIG在静止坐标系中的数学模型为了后面书写方便，将折算后的转子各物理量（转子电压、转子电流、转子磁链、转子电阻以及转子漏感）符号中的“’”省去。把磁链方程和电压方程写成分块矩阵的形式：（二）电压方程式中：一、DFIG在静止坐标系中的数学模型为了后面书写方便，将折算一、DFIG在静止坐标系中的数学模型（二）电压方程把磁链方程代入电压方程，得：其中，Z为阻抗阵：一、DFIG在静止坐标系中的数学模型（二）电压方程把一、DFIG在静止坐标系中的数学模型（三）转矩方程DFIG的电磁转矩为：其中，I为电流阵。对互感阵求其对位置角θr的偏导数后代入上式，可得：一、DFIG在静止坐标系中的数学模型（三）转矩方程D一、DFIG在静止坐标系中的数学模型（四）运动方程DFIG的运动方程为：将其换成电角速度，则该方程可以表示为：式中：pg为DFIG的磁极对数；ωe为转子旋转电角速度，且有ωe=pgωg。可见，DFIG在三相静止坐标系下的数学模型具有非线性、时变、强耦合的特点，分析和求解困难。为了简化分析和应用于矢量变换控制，应通过坐标变换的方法简化DFIG的数学模型。一、DFIG在静止坐标系中的数学模型（四）运动方程D2.4.3双馈式异步发电机DFIG的数学模型二、交流电机理论中常用的坐标变换

DFIG的定、转子都是三相对称绕组，且定、转子三相绕组在空间按照120°电角度对称分布。由于三相绕组的这种对称排列方式，决定了DFIG数学模型要比直流电机复杂得多。

由于绕组之间相互电磁耦合的影响，使得人们难以直接分析，需要采取坐标变换的特殊手段使得DFIG的数学模型建立在独立解耦的坐标系统基础上，便于分析和控制。AsXsBsCsYsZszrcryrbrxrarABCabcωgθr2.4.3双馈式异步发电机DFIG的数学模型二、交流电机二、交流电机理论中常用的坐标变换

坐标系统的引入及其变换过程看起来使问题变得错综复杂，而实际上变得有条不紊、清晰明朗。任何非线性时变问题是最难以对付的，如果能将非线性时变问题转换成线性时不变形式，那么分析和控制的手段会变得相对简单，坐标变换就是要将DFIG这一非线性时变问题转换成线性时不变问题。1899年Blondel提出双反应理论(直轴和交轴电枢反应理论)；1918年Fortescue提出了不对称分量法；1929年R.H.Park等人提出了旋转变换理论，将三相系统变换成正交的两相系统；1942年G.Kron提出了一种具有直轴和交轴绕组的原型电机，认为各类电机都可以通过变换等效成原型电机，从而发展成双轴理论；依据双轴电机理论，1971年德国学者F.Blaschke提出了异步电机矢量变换控制理论，使异步电机的电磁转矩能像直流电机一样独立控制。二、交流电机理论中常用的坐标变换坐标系统的引入二、交流电机理论中常用的坐标变换

交流电机理论中常用的坐标变换有以下几种：

⑴R.H.Park提出的一种新的变量变