习题1-3行列式的性质

1、用行列式的性质计算下列行列式：（1）34215280923521529092【分析】可见行列式中1，2两列元素大部分数字是相等的，列差同为1000，易于化为下三角行列式，于是，342153521534215100061230【解法一】2809229092c-c280921000r-r1000二下三角6123000。280922 1【解法二】3421535215r-r61236123c-c6123028092290921 228092290922 1280921000下三角6123000。-abacae（2）bd-cddebfcf-ef【分析】各行、列都有公因，【】抽出后再行计算。解一ab

bd

bfacae-bceba一r一-cdded一1radfb-cec一cf-eff一2rbc:ee一11ccadfbcec11111111rr+radfbcer一r-abcdef3002020020002上三角-abcdef义（：1）×22=4abcdef。1（3）：1-11 1 11 1 1-1 1 1-1 -1 1【分析】将第一行加到以下各行即成为上三角行列式，11 1111112222【解】11-11-1-11 r+r2 11 r+r3 11r+r4 100020002上三角1×23=8。2、把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：—22—40/ʌ4—13 53 1—2—32 0 5 1—22—402—2—40—14354—135—14352—2—40【解法一】31—2—3c—c213—2—3r—r2 F=13—2—3205102510251r+2r21r+r3 1二—1435—143062100—110712r—r2 3=0 7102510 2555—14358r+7r0—11823 2r+2r0085814 200717—143000—11010784117r-7r4 300043—1101005841—270=—270o—2 2 —44 —1 3【解法二】2 1ɔ3 1 —22 0 5r+r21r—rr+4r32r+2r4 →r+4r3K上三角(一1)2×1×(—270)1—2001—2001—2000—11—20154—135—12Q —2—3=2^r= 31—2—3c—c 12 -1— 1120510—1—2 01—1—203150—11 8—240—3二r304 0 —325102 5 1—1—201—1—2 0—1180—11 80429工—2r3—200 4 29071700—1—41—1—2 01—1—2 0—11 80—11 800—135r—r 乙300—1 —410—1—4100 0—135—1432—2 03 5—2—35 1上三角2×1×(—1)2×(—135)=—270。(2)1234234134124123【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将2，3，4列加到第1列：【解】123423413410234102 3 44110341r-r2 10 1 1 -312C+(c+c+c)1 2 3 410412r-r3 10 2-2-22310123r-r40-1-1-1102r-2r32r+r4 2二31—404—34—4上三角10义1×(—4)2=160。0001003、设行列式a=m（i,j=1,2,,5），依下列次序对a进行变换后，求其结果：j ij交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有元素，再用（-3）乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。 …【解】（D交换第一行与第五行，行列式变号，结果为-m；（2）再转置，行列式的值不变，-m；（3）用2乘所有元素，即5行里每行都有公因2,这等于用25乘以行列式，结果为—m×25=—32m；（4）再用（-3）乘以第二列加到第四列，这是倍加，行列式的值不变，结果仍为-32m；（5）最后用4除第二行各元素，即第二行有公因4，这等于用4乘以行列式，结果为—32m×-=-8m。44、用行列式的性质证明下列等式：abC1 1abc；2 2 'abc3 3a+kbb+cc(1)a+kb22a+kb33111b+cc222b+cc333【证法一】左边=a+kb

1 ]a+kb2 :a+kb

3 :123b+c1b+c2b+c3123c1c2c3C-C2百a+kb1a+kb2 :a+kb

3 :123b1b2b3c1c2c3【证法三】左边=(2)c-kc1二a1a2a3b1b2b3C1C2C3=右边，证毕。【证法二】右边=abC111abC222abC333c+kca+kb

1 ]a+kb2 :a+kb

3 :123c+c2 3b+c1b+C2b+C312都分拆C 2第，行列式C\o"CurrentDocument"a+kb

1 ]a+kb2 :\o"CurrentDocument"a+kb

3 :123b1b2b3C1C2C3a+kb1a+kb2a+kb

3 :12b+C1b+C2b+C31233c1c2c3=左边，证毕。c1c2c3分拆Ca1a2a3+C11b+C22b+C3bc1c2c3+kb1kb2kb3b+C1b+C2b+C312333a1a2a3bCaCCkbbCkbCC11111111111bC+aCC+kbbC+kbCC22222222222bCaCCkbbCkbCC33333333333二C3a1a2a3b1b2b3c1c2c3+0+0+0=a1a2a3b1b2b3c1c2c3=右边，证毕。2第行列式CC=k:11 2y+zz+Xx+yxyzX+yy+zz+x二2zxyz+XX+yy+zyzxy+zz+xx+y2(x+y+z)z+xx+y【证法一】左边=X+yy+zZ+xC+(C+C)2(x+y+z)y+zZ+xZ+xx+yy+z1232(X+y+Z)x+yy+zr-r21r-r3 12(元+y+Z)00z+xy-xy-zx+y

z-y

z-x1 z+x x+y2(X+y+Z)-c 2(X+y+Z)O y-X Z-y1 0 y-z z-Xc1c2c31 0 0c「(Z+X)c12(x+y+z)0y-xz-y[(X+y)c 0y-zz-χXyzX+y+zy右边=2ZXy2 、2c+(c+c)乙X+y+zXyzX1 2 3—X+y+zzZyX1yz(X+y+Z)-2(X+y+Z)IXyH 1zX1yzr2-r2(X+y+z)0X-yy-z0Z-yX-Z100c-yc212(X+y+z)0X-yy-zc-ZC3 —= 0z-yX-Z1 0 0r2(X+y+z)0y-XZ-y,J 0y-zz-X对比即得左边=右边,证毕。y+zz+XX+yyz+XX+yzz+XX+y【证法二】左边=X+yy+zZ+X分拆CXy+zZ+X+yy+zZ+Xz+XX+yy+z——一ZX+yy+zXX+yy+zyz+XXZXX+yyzXZXy前CC31Xy+zZ+yzZ+X前CC23XyZ+yzX后CC2 —ZZX+yyXyy+z后CC3 2-ZXyXyZXyXyzzr一2XyZXyZZXy+ZXyyzXyzX刖r—rXXzz一yy都r21后r一r3XXyyzz1Xyz=2zXy=右边，证毕。yzX5、计算下列行列式：xaa（1）xaaa;x【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将2列以后各列加到第1歹U：xa【解】设a♦・♦xaaxaaaxaaa为n阶行列式，则每行中有1个x，n-1个。，于是x'•♦x'∙♦aaa♦••axaaaaxxaaaaaaaaaaaaxaaxx+(n—1)aaaaax+(n—1)axaaax+(n—1)aaxaac+(c+c+c)12 3 n・∙♦x+(n—1)aaa*∙∙xax+(n—1)aaa•∙∙ax♦∙♦♦∙♦*∙∙•∙∙∙∙♦∙*♦x+(n—1)a aaaa0 x—a0…00c-c 0 02 1x—a*∙∙0♦∙♦0XX0 00*∙∙x—a00 0*∙∙ ♦∙♦0♦∙♦*∙∙0♦∙♦ ♦∙♦x—a*∙∙上三角[X+(n-1)a](X—a)n-1。1 210(2P-21—21—2330—3—3n—1 nn—1 nn—1 n0 n—(n—1)0【分析】该行列式主对角线以下元素与首行元素对应为相反数，因此，将首行加到以下各行，将化为上三角行列式。•123n—1n-103n—1n—1-20n—1n【解】♦・♦—1-2♦・♦—30n—1-2•••—3—(n―1)0123n—1n0262(n—1)2nc+c210032(n—1)♦・♦2nC+Cn1000♦・♦n—12n 0•••0•••0••••••0••••••n•••上三角1x2x3x x(n-1)n=n!。11（3）1aa12a+ba11 2aa+b1 221aa12ananana+bnn【分析】这是为n+1阶行列式。该行列式主对角线以下元素与首行元素对应相等，因此，将首行的-1倍加到以下各行，•将化为上三角行列式。11【解】1a1a+b11a11a1a a1aa2 n1 2a a0b02 nC-C1a+b a2 100b2 2 ... n2C—ca a+b-n 1-0002 … n n 1an00上三角bbb~^ 12n(4)a1°1a11 01•••0a200，其中a≠0oibn100an【分析】为化成上三角行列式，须将a0下方元素全化为0，这样就需要次第地（以一定顺序，个接一个地），将a0化为-1后加到第1歹U，将a1化为-1后加到第2列，，将a化为-1后n加到第1列。01a01【解】111a010a21000a1c--c1a210a201101a10a10n0111c--caa32二a1001a1010a21 00a

c-~c1an+anaaa——,——*■—0aa1 200a

nɪ..1an10a20 00a-£ɪ1 1 …10ai=1i\o"CurrentDocument"0 a 0 00 d a2 …00 0 0 …a∙∙∙ n上三角aIa2a(an0工工

ai=1i上述的n次列倍加运算也可以叠加进行:a 1 10\o"CurrentDocument"1 a 011 0a21 001c--c1a21c--c1an+1a-Eɪ0a

i=1i

0001a10010a20上三角Ia2a(an0ai=1iaoa2aa0∖nnn6、解下列方程：(1)112 312-X22 32 3 150；2 3 19-x2【解】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式，注意到1，2两行及3，4两行有较多的相同元素，得：1123112312—X22301—X200左边二C3r-r3215二2152319一X2H0004-X2-3-523c-2c13c-3c01-X2000015上三角-3X(1-X2)(4-X2),23-0004-X2原方程为(1—X2)(4—X2)=0，即得4个根为X=±1,X=±2。1 111-X1 1 11 1 1(2)1 12-X 1 1•••=0；【解1 1 1 …(n-2)-X 1III… 1 (n-1)-X••• ••••••••••••】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式，将第一行的-1倍加到以下各行即成为上三角行列式。1 111-X1 1左边二1 11 1•••1 1 11 1 12-X 1 11 …(n-2)-X 11 1 (n-1)-X11…1 1 …10-X 0… 0 0r-r02 101-X 0 0•••M00 0 …(n-3)-X 000 0 … 0 (n-2)-X♦・♦••••••••••••♦(»♦上三角-X(1-X)(2-X)∙.[(n-3)-X][(n-2)-X]，•••原方程为X(1-X)(2-X) [(n-3)-X][(n-2)-X]=0，即得n-1个根为X=k,(k=0,1,2, ,n—1,n—2。)7、设n阶行列式D=det(α)，把D上下翻转，或逆时针旋转90o,或依副对角线翻转，ij依次得an1D=1a11annaInD=2a1na11aaannnn1n，D=，3aaan1n1... 11证明D=D=∙(∙7)nCn-1)/2D,D=D。12 3♦∙♦【证明】(1)D=(-1)n(n-1)/2D，1a11这就是将D变换成D：1an1aa1n n1→anna11ann，由于把D上下翻aIn转得到D，翻转变换中，元素a的列码仍为列码，顺序没变，・行码则由顺序123 n变成1 ij••••••了逆序n321。由于排列123n变成n321要经过(n-1)+(n-2)+ +2+1…… n(n—1)=次对换，n(n-1)・一可知把D上下翻转得到D，须经过 次行对换，从而12D=(-1)n(n-1)/2D。证毕。1(2)D=(-1)n(n-1)/2D，2a11这就是将D变换成D：2a1n→anna1n，由于把D逆时针an1♦∙♦annan1♦∙♦a1旋转90o得到D：2*∙∙*∙∙*∙∙*∙∙*∙∙*∙∙a11a12a1,n-1♦∙♦a1na1n♦∙♦a2nan-1,nanna21a22a2,n-1a2na1,n-1a2,n-1an-1,n-1an,n-1→an-1,1an-1,2*∙∙a… n-1,n-1an-1,na12a22*∙∙•∙∙an-1,2an2an1a.n2a… nn-1a.nna.11a.21*∙∙an-1,1a.n』旋转变换中，都作为行码看待时，由顺序元素a-的第一码i变成了第二码，，ij123n变成为逆序n321；而第二码j变成了第一码i，都作为列码看待时，顺序不变，由于排列123n变成n321要经过(n—1)+(n—2)+ +2+1n(n—1)次对换，可知把D旋转90O得到D2,须经过n(n—1)

-2-次对换,从而D2=(-I)n(nWD。证毕。(3)D=D。3a11an1ann这就是将D变换成D3：，由于把D依副对角线翻转得到D：a11an1annaIn3*・∙∙aaaaaaaa11121,n—11