高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲不定方程

第七讲不定方程前我们学习的方程一般都有唯一解,比如方程x2y5只有一组解2x3y8什么样的方程,解不唯一呢？举个简单的例子,二元一次方程x2y5的解就不陕。一个右程龙么含右两个木如対刖所以这杆的方程才唯1,因为每当y取定一个数值时，x就会有相应的取值和它对应，使方程成立，这样一来就会有无穷多组解.通常情况下3x419只有一个解x5,方程组0个数大于方程个数时•，这个方程•（或方程组）.就会有无穷多个解可是方程的解那么多,究竟哪个才是正确无穷多个解都是正确的『解必须是自然数,练_练样一来,往往就只有少数几个解能符合要求,甚至在某些情况下所有的解都不对.不定方程,顾名思义就是“不确定”的方程,这里的不确定主要体现在方程的解上.之本讲我们要学习的就是这样的一类方程(或方程组)：它们所含未知数的个数往往求下列方程的自然数解:(1)x2y5;(2)2x3y8;本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组）：它们所含未知数的个数往往本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组）：它们所含未知数的个数往往大于方程的个数，而未知数本身又有一定的取值范围，这个范围通常都是自然数——这类方程就是“不定方程”．形如axbyc（a、b、c为正整数）的方程是二元一次不定方程的标准形式•解这样的方程,最基本的方法就是枚举．那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢？我们下面结合例题来进行讲解．例1．甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完．请问：张明共买了多少支铅笔？「分析」设张明买了甲级铅笔x支，乙级铅笔y支，可以列出不定方程：7x3y50,其中x和y都是自然数.怎么求解呢？练习1、（1）求3x5y35的所有自然数解；（2）求11x12y160的所有自然数解练习1、（1）求3x5y35的所有自然数解；（2）求11x12y160的所有自然数解般地,如果m是axbync的一组解,那么xmb（当na时）也是axbynaamabbnabyn这

ambnc.另外，因b.,（当mb时）a也是axbyc的一组解,理由相同这条性质有什么用呢？我们以求x10x10一组自然数解.应用上面的规律，2x3y50的自然数解为例,我们容易看出它有这条性质有什么用呢？我们以求x10x10一组自然数解.应用上面的规律，2x3y50的自然数解为例,我们容易看出它有y10然数），所得结果仍然是x25都是2x3yy0增加2，所得结果也是2x3y50的一组解，所以y50的自然数解.另外x每次减少2x3y50的自然数解,所以是2x3y50的自然数解.而且这样就已经求出了2xx每次增加3,y每次减少2（只要y还是自x13x16x19x228、、y、y23（只要x还是自然数）,y每次x7x4x1、、也都y12y14y163y50的所有自然数解，它们是：x是：x19x22x25我们可以先找出一组解,之后12y10y8的所有解都可由这一组解的x76y6）ax（by:d3（a、b、c为正整的不定方程的自然数解时,数）数）其余x值每次变化b，y值每次变化a得到（注意变化的方向相反，一个增加，另一个就得减少，才能保证axby的大小不变）例2．采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋．采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？「分析」采购员要买多少个大盒，多少个小盒？大盒个数与小盒个数之间有什么联系？练习2、点心店里卖大、小两种蛋糕．一个大蛋糕恰好够7个人吃，一个小蛋糕恰好够4个人吃，现在有100个人要吃蛋糕，应该准备大、小蛋糕各多少个才不浪费？如果每个大蛋糕10元，每个小蛋糕7元，那么至少要花多少钱？前面的两道例题只要求方程的解是自然数即可，但有的问题除了要求“解必须是自然数”外，还会有一些其它的约束．下面我们就来看几道这样例题．例3．甲、乙两个小队去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人植树10棵．已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？「分析」不妨设甲小队有X人，乙小队有y人由“两小队植树棵数相等”，你能列出一个关于x与y的不定方程吗？所列出来的不定方程又该如何求解？练习3、天气炎热，高思学校购置了大、小空调若干．每台大空调每天耗电38度，每台小空调每天耗电13度．已知所有大空调日耗电量之和恰好比所有小空调日耗电量之和少1度．请问：单位里最少购进了多少台空调？例4．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分最少是多少厘米？「分析」不妨设已经截出了x根长36厘米的管子和y根长24厘米的管子•合金铝管如果刚好能够被用完，方程应该怎么列？列出来的方程有自然数解吗？练习4、酒店里有500升女儿红，李一白每次路过这里就打走35升，杜二甫每次路过这里就打走21升．那么若干天后，酒店剩余的女儿红最少是多少升？二元一次不定方程只要找到一组自然数解，就能利用方程系数有规律地写出所有自然练习练习6、求22x26y33z65w194的所有自然数解.数解而含有更多未知数的不定方程又当如何求解呢?例5.我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？「分析」题中有几个未知量？由这些未知量你能列出几个方程？:；《张丘建算经》■-张丘建，北魏清河（今山东邢台市清河县）人，中国古代数学家，著有《张丘建算.经》.该书的体例为问答式，条理精密、文辞古雅，是中国古代数学史上少有的杰作.；；《张丘建算经》现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，:各种等差数列问题的解决，某些不定方程问题的求解.百鸡问题就是其中一个著名的不定方程问题.-张丘建所处的年代是中国古代的南北朝时期尽管当时的中国战火连年，朝代更迭::频繁，且一直处于分裂状态，但数学发展的脚步依然没有停下与《张丘建算经》同时代的算经还有《孙子算经》和《夏侯阳算经》，而与张丘建本人同时代的数学家还有大＞名鼎鼎的祖冲之.例6.卡莉娅到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后她共花了360元，且每种糖都买了请问：卡莉娅买了多少包奶糖？「分析」题目中出现了四种糖果，我们不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有x包、y包、z包和w包，再由已知的单价、总价可以列出方程13x17y7.8z10.4w360•这是-个四元一次方程，如果按通常的解法枚举出所有解，势必会有太多可能性需要讨论，过于繁琐而且题目也没要我们求出所有解，只要我们求出奶糖的数量即可.那有没有办法不求其它糖果，只求奶糖的数量呢？蝴蝶效应蝴蝶效应、田气象学家Lorenz提出一篇论文，名叫“一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在德克萨斯州引起龙卷风？”课论述某系堂统如果内初期条外件差一点点，结果会很不稳定，他把这种现象戏称做「蝴蝶效应」就像我们投掷骰子两次，无论我们如何刻意去投掷，两次的物理现象和投出的点数也不一定是相同的.Lorenz为何要写这篇论文呢?这故事发生在1961年的某个冬天，他如往常一般在办公室操作气象电脑.平时，他只需要将温度湿度、压力等气象数据输入，电脑就会依据三个内建的微分方程式，计算出下一刻可能的气象数据，因此模拟出气象变化图.这一天，Lorenz想更进一步了解某段纪录的后续变化，他把某时刻的气象数据重新输入电脑，让电脑计算出更多的后续结果当时，电脑处理数据资料的数度不快，在结果出来之前，足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵在一小时后，结果出来了，不过令他目瞪口呆结果和原资讯两相比较，初期数据还差不多，越到后期，数据差异就越大了，就像是不同的两笔资讯.而问题并不出在电脑问题是他输入的数据差了0.000127,而这些微的差异却造成天壤之别所以长期的准确预测天气是不可能的.作业5x2y4z60（1）求5x7y31的所有自然数解；（2）求5x2y4z60的所有自然数解．x2yz36在一次植树节的活动中，参加活动的男生每个人种11棵树，女生每个人种7棵树，最后所有人一共种了100棵树，那么参加活动的一共有多少人？一张纸上写有25个1.21和25个1.3．现在要划去其中的一些数，使留下来的数的总和为20.08，那么应划去多少个1.3？樱木同学特别喜欢吃包子，每天早上都到学一食堂买包子吃．（1）第一天早上，樱木同学花了6元买了一些冬菜包和豆香包，两种包子他都买了．已知冬菜包每个7角，豆香包每个5角，那么樱木同学一共买了多少个包子？（2）第二天早上，樱木同学去学一食堂的路上遇到了晴子．于是樱木邀请晴子一起去吃包子．到学一食堂后，两人除了吃冬菜包和豆香包以外还点了几串羊肉串．已知羊肉串每串1.2元，最后一共花了18元，所点包子与羊肉串数量总和是25．那么两人最多吃了多少串羊肉串？甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书．已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余各捐9册．已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，且每个班捐赠的册数都在400与600之间．各班各有多少人？第七讲不定方程例题：例题1.答案：14或10详解：由于方程两边除以3的余数相同,7x3yxmod3,502mod3,所以x除以3余2•又因为7x50,所以x是不超过7的自然数，只能取2或5•当x2时，y5027312,xy14；当x5时,y505735,xy10．所以张明共买了14支或10支铅笔．例题2.答案：26详解：设买了大盒鸡蛋x盒,小盒鸡蛋y盒,则23x16y500.考虑方程两边除以16的余数,得：7x除以16的余数是4•首先要求7x是4的倍数，所以x是4的倍数，验证x4、8、12、……发现满足7x除以16的余数是4的最小x值是12,相应的y的值是14,即x12•由于1216且1423,所以方程没有其它自然数解,采购员一共y14买了121426盒鸡蛋．例题3.答案：76详解：设甲、乙两小队分别有x人和y人•则两队植树棵数分别为13x1棵和10y2棵•由分析得：10y13x1•将y0、1、2、……代入方程验证x是否是自然数，可以求出方程的y值最小的一组自然数解y4,此时每队的植树棵数均为38棵.x3方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“y值增加13且同时x值增加10”得到（也就是方程的其他所有自然数解是y17,y30,y43,……），每次“yx13x23x33值增加13且同时x值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵，38棵要变为四百多棵，意味着要增加3次,符合要求的自然数解是y43.所以甲队有33人,乙队有x3343人,两队共有334376人.例题4.答案：8详解：设已经截出了x根长36厘米的管子和y根长24厘米的管子，那么被截出的管子一共长36x24y厘米.由36,2412,得：36x24y一定是12的倍数.而380不是12的倍数,所以36x24y380是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽,那么最少会剩下多少厘米呢？由于36x24y—定是12的倍数，小于380且能被12整除的最大自然数是372，而36x24y372的自然数解是存在的，如X1，也就是截出1根长36厘米的管子和y1414根长24厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米所以剩余例题5.答案：有四种符合要求的买鸡方案：公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只；公鸡4只,母鸡18只，小鸡78只；公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只部分最少是3803728厘米.xyz100亜详解：设公鸡、母鸡和小鸡分别买了x只、y只和z只依题意，得：1要5x3y-z1003求这个方程的自然数解，我们用“消元”的想法把它转化成二元一次不定方程求自然数解的问14x8y200它们对7应的题.我们选择“消去”14x8y200它们对7应的题.我们选择“消去”100，它的所有自然数解是y25yz:将第二个方程乘以3,然后减去第一个方程，得:418x8y11xxy4z值分别为75、78、81、84都是自然数，于是原不定方程的所x0x4x8x12有自然数解是：y25、y18、y11和y4.所以我们有四种符合要求的买鸡8只，母鸡11只，小鸡z817只;公鸡812只，母鸡4只，小鸡84只.鸡方案：公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只；公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；公例题6.答案：12详解：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有x包、y包、z包和w包，则13x17y7.8z10.4w360.把系数都化成整数，得：65x85y39z52w1800.由于我们只关心奶糖的数量，我们将未知数y分为一组，其余未知数分为另一组：65x39z52w85y1800•也就是135x3z4w85y1800•令u5x3z4w,则13u85y1800.它的自然数解只有U60，所以阿奇共买了12包奶糖.y12

练习：1-答案：（1）有三组解：X0；X5；x10X8y7y4y1；（2）有一组解：菲简答：（1）考虑方程两边除以3的余数；（2）考虑方程两边除以11的余数答案：有四种购买方案：12个大蛋糕，4个小蛋糕；8个大蛋糕，11个小蛋糕；4个大蛋糕，18个小蛋糕；0个大蛋糕，25个小蛋糕；第一个方案最省钱，只要花121047148元简答：求不定方程7X4y100的自然数解即可.答案：4台简答:38X13简答:38X13y解1的最小自然数X1，最少需要大空调1台，小空调3台y34答案：简答:注意简答:注意35x21y是7的倍数.x75.答案：（x75.答案：（1）有三组解：y1、z2