相似三角形几何模型-一线三等角

相似三角形几何模型-一线三等角2022-9一线三等角引入：已知：∠B=∠ACE=∠D=a求证：：（1）△ABC∽△CDE（3）如图2当c为BD为中点，求证：AC平分∠BAE，EC平分∠AED.反之亦然。图1图2例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°当BD=1，FC=3时，则BE=变式：如图，D是等边△ABC边AB上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E、F分别在边AC和BC上，则=_______．例2：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．（1）证明：△BDA∽△CED；（2）若∠B＝45°，BC＝6，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）．且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．例3：如图，已知直线y=-x+b与y轴相交于点B（0，3），与x轴交于点A，将△AOB沿y轴折叠，使点A落在x轴上的点C．（1）求点C的坐标；（2）设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合．联结PB．以点P为端点作射线PM交AB于点M，使∠BPM=∠BAC．①求证：△PBC∽△MPA．②是否存在点P，使△PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．课后作业：1.如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，，且DM交AC于F，ME交BC于G．找出图形中所有的相似三角形2.如图，D是等边△ABC边AD上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC、BC上，则CE：CF=（）A． B． C． D．3.如图，等边的边长为，点是边上一动点，将等边沿过点的直线折叠，该直线与直线交于点，使点落在直线上的点处，且折痕为则的长为______．4.等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．

(1)如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE～△CFP；

(2)操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．探究１：△BPE与△CFP还相似吗？探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；设EF=m,△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S。5.数学模型学习与应用．【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得∠1=∠D；又，可以通过推理得到≌．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；(1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且．若，，，用含x的式子表示CD的长；(2)【拓展】在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，，，．若为直角三角形，求CD的长；(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B为平面内任一点．是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标．6.（1）数学课上，老师给出了一个模型∶如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠+2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因为∠ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．应用∶（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．若BC=a，AB=b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）．

拓展∶（3