第二章 直角三角形的边角关系章末复习题（含解析）

第第页第二章直角三角形的边角关系章末复习题（含解析）中小学教育资源及组卷应用平台

第二章直角三角形的边角关系

章末复习

考点1两个概念

概念1锐角三角函数

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,,则cosA=____________.

2.如图，根据提供的数据回答下列问题：

(1)在图①中,sinA=____________,cosA=__________,sinA+cosA=___________;

在图②中,sinA=______________,cosA=___________,sinA+cosA=_____________.

通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律用一个一般式表示出你的发现并加以证明.

(2)利用你发现的规律求解以下题目：

已知β是锐角,且满足sinβ=3cosβ,求sinβ,cosβ的值.

概念2解直角三角形

3.如图,在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处.若AB=3,BC=5,则tan∠DAE的值为()

4.如图,Rt△ABC中,点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE,使∠ADE=∠B,连接CE,则的值为()

D.2

考点2一个运算——特殊角的三角函数值与实数的运算

5.在△ABC中,已知∠A、∠B都是锐角那么∠C的度数为_______________°.

6.计算:

(1)sin30°+tan60°-sin45°+cos30°;

考点3两个应用

应用1锐角三角函数在学科内的应用

7.如图，现有一把直尺和一块三角尺,其中∠ABC=90°,∠CAB=60°,AB=8,点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A'B'C',点A'对应直尺的刻度为0,则四边形ACC'A'的面积是()

A.96C.192

8.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上,OC:BC=1:2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是()

D.3

应用2解直角三角形在实际生活中的应用

9.如图是一个地铁站入口的双翼闸机.它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为__________cm.

10.如图a,某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处.如图b，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM=30°,其高度AM为0.6千米,山坡②的坡比i=1:1,BN⊥l于N,且CN=千米.

(1)求∠ACB的度数;

(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.

考点4两个技巧

技巧1化斜为直法

11.如图,在△ABC中,AC=2,∠A=15°,∠B=30°,则△ABC的面积为__________.

12.通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化.类似地，可以在等

腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(记作can).如图①,在△ABC中,AB=AC,底角B的邻对记作canB,这时canB=容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的.根据上述角的邻对的定义，解答下列问题：

(1)can30°=____________;

(2)如图②,在△ABC中,求△ABC的周长.

技巧2割补法

13.如图①是一个手机支架，图②是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A,B转动,经测量,BC=8cm,AB=16cm.当AB,BC转动到∠BAE=60°,∠ABC=50°时,求点C到AE的距离(结果保留小数点后一位).

参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,

cos50°≈0.64,tan50°≈1.19.

参考答案

【点拨】由勾股定理，得所以

2.【解】

规律：对于任意锐角α，有sinα+cosα=1.

证明如下：在Rt△A'B'C'中,∠C'=90°,a,b,c分别为∠A',∠B',∠C'的对边，如图所示.

(2)∵β为锐角,∴sinβ>0,cosβ>0.

由解得故sinβ的值为cosβ的值为

3.D【点拨】因为四边形ABCD为矩形,所以AD=BC=5,AB=CD=3,因为矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，所以AF=AD=5,EF=DE,在Rt△ABF中,所以CF=BC-BF=5-4=1,设CE=x,则DE=EF=3-x,在Rt△ECF中,因为CE+FC=EF,所以x+1=(3-x),解得所以所以故选D.

4.D【点拨】如图,设DE交AC于点T,过点E作EH⊥CD于点H.

∵在Rt△ABC中,点D是边BC的中点,∴AD=DB=DC.∴∠B=∠DAB.

∵∠B=∠ADE,∴∠DAB=∠ADE.∴AB∥DE.∴∠DTC=∠BAC=90°.

∵DT∥AB,BD=DC,∴AT=∴EA=EC=ED.∴∠EDC=∠ECD.

∵EH⊥CD,∴CH=DH.∵DE∥AB,∴∠EDC=

5.105【点拨】1,∴∠A=30°,∠B=45°,∴∠C=180°-30°-45°=105°.

6.【解】(1)原式

(2)原式

(3)原式

7.B【点拨】由题意,得四边形ACC'A'为平行四边形,.∴AC=2AB.∴平行四边形ACC'A'的面积=故选B.

8.C【点拨】如图,过点P作PQ⊥x轴于点Q.

∵OP∥AB,∴∠CAB=∠CPO,∠ABC=∠COP.∴△OCP∽△BCA.∴CP:AC=OC:BC=1:2.

∵∠AOC=∠AQP=90°,∴CO∥PQ.∴OQ:AO=CP:AC=1:2.∵P(1,1),∴PQ=OQ=1.∴AO=

9.64【点拨】如图,连接AB,CD,过点A作AE⊥CD于E,过点B作BF⊥CD于F.

∵AB∥EF,AE∥BF,∴四边形ABFE是平行四边形.

∵∠AEF=90°,∴四边形AEFB是矩形,∴EF=AB=10cm,

∵AE∥PC,∴∠PCA=∠CAE=30°,∴CE=AC·sin30°=27cm,同理可得DF=27cm,

∴CD=CE+EF+DF=27+10+27=64(cm).

10.【解】(1)∵山坡②的坡比i=1:1,∴CN=BN.

∴∠BCN=45°.∴∠ACB=180°-30°-45°=105°.

(2)在Rt△ACM中,∠AMC=90°,∠ACM=30°,AM=0.6千米,∴AC=2AM=1.2千米.

在Rt△BCN中,∠BNC=90°,∠BCN=45°,CN==千米,∴千米.

∴AC+BC=1.2+2=3.2(千米).

答：在此过程中该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米.

【点拨】如图，过点D.A作AD⊥BC交BC的延长线于点D,

∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°.

∵∠CAB=15°,∠B=30°,∴∠DCA=30°+15°=45°,AB=2AD,∴AD=CD.

在Rt△ADC中,·

12.【解】(1)

(2)过点A作AE⊥BC于点E.

设BC=8x,AB=5x,

解得(负值舍去)，

∴△ABC的周长为

13.【解】如图,过点B作BD⊥AE于点D,延长BC交AE于点N,过点C作CM⊥AE于点M.

在Rt△ABD