河北省廊坊市名校2023年数学高二第二学期期末达标检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（）A．[3-,） B．[3+,） C．[,） D．[,）2．设函数，则（）A．为的极大值点 B．为的极小值点C．为的极大值点 D．为的极小值点3．方程所表示的曲线是（）A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分 C．圆的一部分 D．直线的一部分4．已知函数，，若方程在上有两个不等实根，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．5．不等式x-5+A．-5,7 B．-∞,+∞C．-∞,-5∪7,+∞6．函数f(x)=x3+ax2A．-3或3 B．3或-9 C．3 D．-37．已知复数，为的共轭复数，则的值为（）A． B． C． D．8．近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升．某品牌公司一直默默拓展海外市场，在海外设了多个分支机构，现需要国内公司外派大量中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从中青年员工中随机调查了位，得到数据如下表：愿意被外派不愿意被外派合计中年员工青年员工合计由并参照附表，得到的正确结论是附表：0.100.010.0012.7066.63510.828A．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“是否愿意外派与年龄有关”；B．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“是否愿意外派与年龄无关”；C．有99%以上的把握认为“是否愿意外派与年龄有关”；D．有99%以上的把握认为“是否愿意外派与年龄无关”．9．设函数满足：，，则时，（）A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值10．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A，B两个贫困县各有15名村代表，最终A县有5人表现突出，B县有3人表现突出，现分别从A，B两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B县选取的人表现不突出的概率是（）A． B． C． D．11．已知二次函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．12．已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离为（）A．1 B． C．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有一个倒圆锥形的容器，其底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部拿出来，则此时容器内水面的高度为________厘米14．下列说法中错误的是__________（填序号）①命题“，有”的否定是“”，有”；②已知，，，则的最小值为；③设，命题“若，则”的否命题是真命题；④已知，，若命题为真命题，则的取值范围是.15．若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是__________．16．用数学归纳法证明，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是_____项．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论的导函数零点的个数；（2）若函数存在最小值，证明：的最小值不大于1．18．（12分）设函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围；（3）求证：当时，.19．（12分）设，函数.（1）若，极大值；（2）若无零点，求实数的取值范围；（3）若有两个相异零点，，求证：.20．（12分）某服装超市举办了一次有奖促销活动,消费每超过600元(含600元),均可抽奖一次,抽奖方案有两种,顾客只能选择其中的一种.方案一:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,一次性摸出3个球,其中奖规则为:若摸到3个红球,享受免单优惠；若摸到2个红球,则打6折；若摸到1个红球,则打7折；若没摸到红球,则不打折.方案二:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,有放回每次摸取1球,连摸3次,每摸到1次红球,立减200元.(1)若两个顾客均分别消费了600元,且均选择抽奖方案一,试求两位顾客均享受6折优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1000元,试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算.21．（12分）如图，在以为顶点的多面体中，面，，，，，（Ⅰ）请在图中作出平面，使得平面，并说明理由；（Ⅱ）证明：平面.22．（10分）已知数列满足，，.（Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由题意可得,,故.设,则.

关于

对称,故

在上是增函数,当时有最小值为,无最大值,故的取值范围为,

故选B.2、D【解析】试题分析：因为，所以．又，所以为的极小值点．考点：利用导数研究函数的极值；导数的运算法则．点评：极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点．3、B【解析】

方程两边平方后可整理出椭圆的方程，由于的值只能取非负数，推断出方程表示的曲线为一个椭圆的一部分．【详解】解：两边平方，可变为，即，表示的曲线为椭圆的一部分；故选：．【点睛】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意的范围，注意数形结合的思想．4、C【解析】

对的范围分类，即可将“方程在上有两个不等实根”转化为“在内有实数解，且方程的正根落在内”，记，结合函数零点存在性定理即可列不等式组，解得：，问题得解．【详解】当时，可化为：整理得：当时，可化为：整理得：，此方程必有一正、一负根.要使得方程在上有两个不等实根，则在内有实数解，且方程的正根落在内.记，则，即：，解得：.故选C【点睛】本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数零点存在性定理的应用，还考查了计算能力及分析能力，属于难题．5、B【解析】

利用绝对值三角不等式，得到x-5+x+3【详解】x-5x-5+x+3故答案选B【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运算.6、C【解析】

题意说明f'(1)=0，f(1)=7，由此可求得a,b【详解】f'(x)=3x∴f(1)=1+a+b+a2+a=7f'(1)=3+2a+b=0，解得a=3,b=-9时，f'(x)=3x2+6x-9=3(x-1)(x+3)，当-3<x<1时，f'(x)<0，当x>1时，f'(x)>0a=-3,b=3时，f'(x)=3x2-6x+3=3∴a=3．故选C．【点睛】本题考查导数与极值，对于可导函数f(x)，f'(x0)=0是x0为极值的必要条件，但不是充分条件，因此由7、D【解析】试题分析：,故选D.考点：1.复数的运算；2.复数相关概念.8、A【解析】

由公式计算出的值，与临界值进行比较，即可得到答案。【详解】由题可得：故在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“是否愿意外派与年龄有关”，有90%以上的把握认为“是否愿意外派与年龄有关，所以答案选A;故答案选A【点睛】本题主要考查独立性检验，解题的关键是正确计算出的值，属于基础题。9、B【解析】

首先构造函数，由已知得，从而有，令，求得，这样可确定是增函数，由可得的正负，确定的单调性与极值．【详解】，令，则，所以，令，则，即，当时，，单调递增，而，所以当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；故有极小值，无极大值，故选B.【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，解题关键是构造新函数，，求导后表示出，然后再一次令，确定单调性，确定正负，得出结论．10、B【解析】

由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则县选取的人表现不突出的概率是，得解．【详解】由已知有分别从，两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有种不同的选法，又已知有人表现突出，且县选取的人表现不突出，则共有种不同的选法，已知有人表现突出，则县选取的人表现不突出的概率是.故选：B．【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系.11、A【解析】

先求出二次函数在区间内有两个零点，所需要的条件，然后再平面直角坐标系内，画出可行解域，然后分析得出的取值范围.【详解】因为二次函数在区间内有两个零点，所以有：，对应的平面区域为下图所示：则令，则的取值范围为，故本题选A.【点睛】本题考查了一元二次方程零点分布问题，正确画出可行解域是解题的关键.12、A【解析】

首先根据双曲线的焦距得到，再求焦点到渐近线的距离即可.【详解】由题知：，，.到直线的距离.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，同时考查了点到直线的距离公式，属于简单题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、6【解析】

设水面的高度为，根据圆锥体的体积等于全部玻璃的体积加上水的体积列方程求解即可.【详解】解：设在向容器倒满水后，再把玻璃球全部拿出来，则此时容器内水面的高度为，则，解得.故答案为：6.【点睛】本题考查圆锥体积和球的体积的运算，关键要找到体积之间的关系，是基础题.14、①④【解析】①命题“，有”的否定是“∀x1，x2∈M，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）≤0”，故不正确；②已知a＞0，b＞0，a+b=1，则=（）（a+b）=5+≥5+2即的最小值为，正确；③设x，y∈R，命题“若xy=0，则x2+y2=0”的否命题是“若xy≠0，则x2+y2≠0”，是真命题，正确；④已知p：x2+2x﹣3＞0，q：＞1，若命题（￢q）∧p为真命题，则￢q与p为真命题，即，则x的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞），故不正确．故答案为①④．15、【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r,母线长为l，由题意r=l，∴考点：本题考查了圆柱展开图的性质点评：掌握圆柱的性质是解决此类问题的关键，属基础题16、【解析】

根据等式时，考虑和时，等式左边的项，再把时等式的左端减去时等式的左端，即可得到答案．【详解】解：当时，等式左端，当时，等式左端，所以增加的项数为：即增加了项．故答案为：．【点睛】此题主要考查数学归纳法的问题，解答的关键是明白等式左边项的特点，再把时等式的左端减去时等式的左端，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】

（1）根据条件求出f'（x），然后通过构造函数g（x）＝x2ex（x＞1），进一步得到f'（x）的零点个数；（2）由题意可知a≥1时，函数f（x）无最小值，则只需讨论当a＜1时，f（x）是否存在最小值即可．【详解】(1),令,故在上单调递增,且.当时,导函数没有零点,当时,导函数只有一个零点.(2)证明:当时..则函数无最小值.故时,则必存在正数使得.函数在上单调递减,在上单调递增，,令.则令,则,所以函数在上单调递减,在上单调递增，所以,即.所以的最小值不大于1.【点睛】本题考查了函数零点个数的判断和利用导数研究函数的单调性与最值，考查了函数思想和分类讨论思想，属中档题．18、（1）的单调递减区间为；的单调递增区间为；（2）；（3）见解析．【解析】【试题分析】（1）直接对函数求导得，借助导函数值的符号与函数单调性之间的关系求出其单调区间；（2）先将不等式中参数分离分离出来可得：，再构造函数，，求导得，借助，推得，从而在上单调递减，，进而求得；（3）先将不等式等价转化为，再构造函数，求导可得，由（2）知时，恒成立，所以，即恒成立，故在上单调递增，所以，因此时，有：解：（1））当时，则，令得，所以有即时，的单调递减区间为；的单调递增区间为.（2）由，分离参数可得：，设，，∴，又∵，∴，则在上单调递减，∴，∴即的取值范围为.（3）证明：等价于设，∴，由（2）知时，恒成立，所以，∴恒成立∴在上单调递增，∴，因此时，有.点睛：解答本题的第一问时，先对函数求导得，借助导函数值的符号与函数单调性之间的关系求出其单调区间；求解第二问时，先将不等式中参数分离出来可得，再构造函数，，求导得，借助，推得，从而在上单调递减，，进而求得；第三问的证明过程中，先将不等式等价转化为，再构造函数，求导可得，由（2）知时，恒成立，所以，即恒成立，故在上单调递增，所以，因此证得当时，不等式成立。19、（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】分析：（1），根据导数的符号可知的极大值为；（2），就分类讨论即可；（3）根据可以得到，因此原不等式的证明可化为，可用导数证明该不等式.详解:（1）当时，，当时，，当时，，故的极大值为.（2），①若时，则，是区间上的增函数，∵，，∴，函数在区间有唯一零点；②若，有唯一零点；③若，令，得，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；故在区间上，的极大值为，由于无零点，须使，解得，故所求实数的取值范围是．（3）由已知得，所以，故等价于即．不妨设，令，，则，在上为单调增函数，所以即，也就是，故原不等式成立．点睛：导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．而要证明零点满足的不等式，则需要根据零点满足的等式构建新的目标等式，从而把要求证的不等式转化为易证的不等式．20、（1）（2）该顾客选择第一种抽奖方案更合算，详见解析【解析】

（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率值；（2）选择方案一，计算出付款金额的分布列和数学期望值，选择方案二，计算出付款金额数学期望值，比较大小可得出结论.【详解】（1）选择方案一：若享受到6折优惠，则需要摸出2个红球，设顾客享受到6折优惠为事件A，则，所以两位顾客均享受到6折优惠的概率为；（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为0,600,700,1000，，，故的分布列为06007001000所以（元）；若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则，由