2023高考数学解题模板39 轨迹方程求解方法

专题39轨迹方程求解方法

【高考地位】

求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的问题之一，是用代数方法研究几何问题的基础。这类

题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。因而也是历年高考所要考查的重要内容

之一。

【方法点评】

方法一直接法

使用情景：可以直接列出等量关系式

解题步骤：第一步根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公

式等。）

第二步根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。

例1在平面直角坐标系X。），中，动点尸（x,y）与两点4（—1,0）,8（1,0）的连线PAPB的斜率之积为L则

y

点P的轨迹方程为（）

A.%2-y3=l（y00）B.x2+y3=l（x21）

C.f_y3=]D.X2+V3=1

【答案】A

【解析】因为动点尸（乂田与两点4（T0）,3（L0）的连线尸4尸3的斜率之积为工，所以

y

=

^PJL-^PB~~-~~=—（JH。）,化为/一》'=i（y工0）,故选A.

x+1x-1y

【变式演练1]已知4（L0）,B（-LO）,动点“满足阿川-也/?|=2,则点时的轨迹方程是（）

A.y=o（x<-i）B.y=o（x>i）

c.y=o（-i<x<i）D.y=o（|x|>i）

【答案】A

【解析】•.•点4（1,0）,B（-1,0）学科&网

：.AB=2

又•.•动点M满足IM川-|MB|=2

.♦.点M的轨迹方程是射线：7=0(%<-1),故选A

例2【2018云南昆明一中模拟】已知点4(一3,0),.3(3,0),动点尸满足利=2］冏，则点P的轨迹为

()

A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线

【答案】B

【解析】点P的坐标为(％,>)，则J(x+3)?+y2=2j(x_3j+y2,化简可得(x-5『+y2=16,所以

点尸的轨迹为圆，选B.

【变式演练2］已知点M到点F(2,0)的距离比到点M到直线x+6=0的距离小4；求点M的轨迹。的方程；

【答案】/=8x

【解析】

试题分析：结合图形知，点M不可能在y轴的左侧，由抛物线的定义可知M的轨迹是抛物线，

其中p=4

试题解析:结合图形知，点M不可能在N轴的左侧，即M到点尸(2,0)的距离等于M到直线X=-2的距离M

的轨迹是抛物线，尸(2,0)为焦点，4=-2为准线二M的轨迹方程是：y2=8x.

方法二定义法

使用情景：轨迹符合某一基本轨迹的定义

解题步骤：第一步根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹(如圆、椭圆、双

曲线、，抛物线等)

第二步直接根据定义写出动点的轨迹方程。

22

例3已知两圆G:(x-4)+/=169,C2:(%+4)+/=9，动圆在圆G内部且和圆C1相内切，和圆相

外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()

x2y22xy2_x2y2,22y

6448486464484864

【答案】C学科&网

【解析】设圆M的半径为r,则|，G|+|MG|=13-厂+3+r=16)|GG|=8，

22

的轨迹是以G，G为焦点的椭圆，且2a=16,2c、=8,故所求的轨迹方程为三+匕=1.故选C.

［变式演练1】己知点,直线/:x=-；，点8是直线/上动点，若过B垂直于y轴的直线与线段BF

的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（）

A、双曲线B,抛物线C、椭圆D、圆

【答案】B

【解析】由题意知=点M的轨迹为抛物线。学科&网

例2已知定点F（3,0）和动点P（x,y）,H为PF的中点，0为坐标原点，且满足目=2.求点P

的轨迹方程；

22

【答案】----^―=l(x>0)

45

试题解析：如图取尸'（-3,0）连接P广，|0川一|“耳=2’二.|尸父一归目=4，由双曲线定义知，点P

的轨迹是以尸，尸为焦点的双曲线的右支:.a=2,c=3,.•./=。2_々2=9_4=5,.•.点尸的轨迹方程

22

为：二一匕=1（无＞0）.

45V7

【变式演练2】已知点P（6l）和圆O:/+y2=16,过点P的动直线与圆。交于M,N,则弦MN的中

点。的轨迹方程.

【解析】记A（N的中点为C,连接OC,连接OP两者为定点，则三角型OPC是直角三角形，以6为直

径，点C在圆上，故圆心是OP的中点,半径为OP的一半。故可以求得圆的标准方程。

122J

故答案为x~~^~+（丁一；）=i.

方法三相关点法（代入法）

使用情景：动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动

解题步骤：第一步判断动点P（x,y）随着已知曲线上的一个动点Q（x,y）的运动而运动

第二步求出关系式x'=/(x,y),y'=g(x,y)

第三步将。点的坐标表达式代入已知曲线方程

例4已知|阴=3,分别在y轴和x轴上运动，。为原点，OP=goA+goB,点P的轨迹方程

为().

2222

A.—+y2=1B.x2+—=1C.—+y2=1D.x2+—=1

449-9

【答案】A

__i2

【解析】设动点尸坐标为凡工)，)，40,a),3(40),由OP=-OA+-OB得：

33

12

(x,y)=-(0,a)+—(6,0)

33

3__

a=3y.b=—x,v|AS|=3,a*+6*=9,

二(3),尸+；=9,即、+)2=1

故选A.

【点睛】本题考查轨迹方程的求法，其中合理准确运用利用相关点法是解题的关键

【变式演练1】已知在平面直角坐标系xO.y中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为尸16,0),且右顶

点为0(2,0).设点A的坐标是。

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)若.P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程。

元2/1\2(1\2

【答案】⑴Fy~—1；(2)x—I+4y—=1学科&网

4I2JI4,

【解析】⑴.椭圆中心在原点，左焦点为尸卜6,0卜。=6.

又•.•右顶点为。（2,0）,二a=2.二b=J==l

二椭圆的标准方程^-+y:=1

⑵设尸（再,M）.„为"的中点,

1+x

x------

2=2x-1

1,即=2尸;

+yi

y=-2-----

-2

点尸（再,M）在椭圆^-+v*=l±,'"+1Y

2j--；=1。

44

即点M的轨迹是=1

40472

例5如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点0为AB的中点，|AB|=、一8|=2--—,AC1BD,^

33

为CD的中点.

（I）求点M的轨迹方程.；

（II）过M作AB的垂线，垂足为N,若存在正常数4，使用P=4/W,且P点到A、B的距离和为定值,

求点P的轨迹E的方程;

【答案】（I）%2+>2=1,（%/0）；（II）%=2.9f+y2=L（xwO）.学科&网

【解析】

试题分析：（I）设点M的坐标为M（x,y）（xwO）,则C（x,y-1+：拉）,D（x,y+l-|夜）.从而可得AC和3。的

坐标，根据两向量垂直数量积为0可得关于羽y的方程，即点〃的轨迹方程.（II）设P（x,y）,由

MP=4）PN可得M（（l+4）x,y）,代入（I）中所得点M的轨迹方程可得点P的轨迹方程.可知点P的

轨迹是以为焦点的椭圆但去掉长轴两个端点.由椭圆中关系式4=02+02可得％的值.(III)设直线

方程y=丘+g.与椭圆方程联立,消去y可得关于x的一元二次方程.由韦达定理可得两根之和，两根之

积.从而可求得三角形面积，再用配方法求其最值.

试题解析：解：(I)设点M的坐标为M(X,y)(XHO),则C(x,yT+|0),D(x,y+l-|何

又A(0,平),B(0,-|扬.由AC_LBD有AC.8£)=0,即(x,y-l).(x,y+1)=0,Ax2+/=1,(%^0).

(【I)设P(x,y)，则M((1+4))x,j)，代入M的轨迹方程有(1++/=l(x#0).

即一f,+)，2=1(XH0),P的轨迹为椭圆(除去长轴的两个端点).学科&网

(—―)2

1+4

要尸到A,8的距离之和为定值，则以A,B为焦点，故1-一二=(2&)2.

d+A)r3

••・4=2.从而所求P的轨迹方程为9f+y2=l,(xHo).

考点：1轨迹问题;2椭圆的定义，简单几何性质.

【变式演练2】已知/是抛物线y=的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段P厂中点的轨迹方程是

()

A.X2=y--B.x2=2y———C.x1=2y-\D.x2=2y-2

216

【答案】C

【解析】抛物线尸工炉的焦点为F(0,1),

4

设P(p,q)为抛物线一点，则：p：=4q,

设Q(x,y)是PF中点，

即p=2x,q=2y-1,

代入/=4q得：(2x):=4(2y-1),

即为x:=2y-1.

故选：C.

点睛：本题主要考查轨迹方程的求解，利用了相关点法即代入法，关键是寻找动点之间的关系，再利用己

知动点的轨迹求解.一般过程是求谁设谁，再根据条件找新方程上的点和已知曲线上的点之间的坐标关系,

用已知曲线的点坐标表示要求的点的坐标，再代入已知曲线，化简即可。学科&网

方法四参数法

使用情景：动点的运动受另一个变量的制约时

解题步骤：第一步引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标x,y；

第二步消去参数，得到关于的方程，即为所求轨迹方程。

例6、己知过点（0,1）的直线与圆Y+y2=4相交于A、B两点,若。4+O3=OP,则点P的轨迹方程

是（）

A./+0-；）=1B.X2+（y-l）2=1

C.八口-£|=2D.x2+（y-l）2=2

【答案】B

【解析】设尸（x,y）,N（再,弘）3（电，y2）,过点（01）的直线为¥=狂+1,

由ON+03=。尸得（x,田=（再+巧，川+%），直线y=%+1代入x2=4得

2k2

（l+k,x2+2辰-3=0贝i］再+W二一

2

2k所以/+（尸1）2=1

即x=-4P，产RF，

故选B

【点评】参数法是求轨迹方程的重要方法，其关键是选择适当参数，常用的参数有线参数、角参数、上参

数、/参数和点参数等。

【变式演练1］已知圆C:/+/2=25,过点M（—2,3）作直线/交圆C于A,3两点，分别过A,B两点作

圆的切线，当两条切线相交于点N时，则点切的轨迹方程为..

【答案】2九一3丁+25=0

【解析】考虑如下问题：已知卢7冷0)和点P(a外若点P在C内，过P作直线/交。于4B两点，

分别过45两点作C的切线，当两条切线相交于点。时，求点。的轨迹方程.

圆UxUpur2的圆心C为(0,0),

设.4(X1ji*(X2，

因为乂。与圆C相切，所以NQ1C4.

所以(XLXO)(XI-O)WI寸o)(yi-0)=0，

即x-i-xoxi=0，

因为x2i*),2i=r!,

所以writynvi^,

同理x<jxi^yoyi~^.

所以过点4B的直线方程为必-)》=反

因直线AB过点俗力).

所以代入得皿+加)=户，

所以点。的轨迹方程为：-

结合题意可知，点N的轨迹方程为2x—3y+25=0.

方法五交规法

使用情景：涉及到两曲线的交点轨迹问题

解题步骤：第一步解两曲线方程组得到x=/(r),y=g(r)

第二步消去动曲线中的参数.。

2

例7、已知双曲线土—丁=1的左右顶点分别为A，4，点P(x，yJ,Q(X2，y2)是双曲线上不同的两个动

点，求直线AP与&Q交点的轨迹E的方程。

2

【答案】土+丁=1,工H0且X。土近。学科&网

2

【解析】由题设只N|>0，4（-VIO），4（JIO）,则有

直线4尸的方程为y=」，①

%+42

直线4。的方程为卜=口耳。②

&一,2

设点M（x,y）是4尸与4。交点，①X②得

/=亏鼻（1-2）③

再一2'/

又点尸（再,凶）在双曲线上，因此羊一方=1,即4=手-1。

代入③式整理得:+K=L

因为点尸,Q是双曲线上的不同两点,所以它们与点4.4均布重合，故点4和人均不在轨迹后上。

故轨迹E不经过点（01）,（0「1）。

2

综上分析，轨迹E的方程为―+）,2=LxxO且XH士Ji。

【点评】用交规法求动点轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消掉参数，得出产点的两个坐标

间的关系即可。

【变式演练11已知正方形的四个顶点分别为0（0,0），A（l,o）,8（1,1）,C（0,l）,点O,E分别

在线段OC,A3上运动，且OD=BE,设AO与OE交于点G,则点G的轨迹方程是（）.

A.^=x（l-x）（O<x<l）B.x=y（l-^）（O<^<l）

C.y=x2（0<x<l）D.y=l-x2（0<x<l）

【答案】A

【解析】设D（0,m）（0>mWl）,则七（1,1-加）,学科&网

所以直线A。的方程.为%+2=1,.

m

直线£）£■的方程为：y=（l-〃?）x,设G（x,y）,

y

,x+—=1x=m

则由｛m,可得｛，

y=(l-〃?)xy=^-m)m

消去加可得y=(l—x)x(O</?/<1).

本题选择A选项.

点睛：求轨迹方程的常用方法

(1)直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系尸(x,y)=0.

(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程.

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨

迹方程.学科&网

(4)代入(相关点)法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(xo,yo)的变化而运动，常利用代入法求动

点P(x,y)的轨迹方程

【高考再现】

2

1、【2017课标II,理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：—+/=1±,过M作x轴的垂线，垂足为

2

N,点、P满足NP=6NM。

(1)求点尸的轨迹方程；

(2)设点。在直线x=—3上，且OP-PQ=1。证明：过点尸且垂直于OQ的直线/过C的左焦点尸。

【答案】(1)f+/2=2。

(2)证明略。

【解析】

试题分析：(1)设出点P的坐标，利用丽=收而得到点P与点:M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为

x2+y2=2»

(2闲用而盛=1可得坐标关系-3m-疝+5一标=1,结合⑴中的结论整理可得而.而=o,即

OQ工PF,据此即可得出题中的结论。

试题解析：⑴设尸(xy),M(%％),设N(卬0),沏=(x-0y),M/=(O,%)。

由赤=出而得升=%%=日)，。

因为M(毛Jo)在C上，所以万+1=1°

因此点P的轨迹方程为X2+)二=2。

<2)由题意知尸(TO)。设。(T)尸(典江则

00=(-3,f)sPF=(-1—w=-n).00PF=3+3w-f>:,

OP=(mJ«)=PO=(—3-w:r-»)°

由万•丽=1得一3次一加2+M一〃2=1,又由(1)知冽？+/=2,故

3+3w-r»=0o

所以OQ-PF=0,即应_L而。又过点P存在唯一直线垂直于。。，所以过点P且垂直于OQ的直线/过

C的左焦点尸。

【考点】轨迹方程的求解；直线过定点问题。

1名师点睛】求轨迹方程的常用方法有：

(1)直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系尸(x,y)=0o

(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程。

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。

(4)代入(相关点)法：动点Rx,丁)依赖于另一动点Q(x),刈的变化而运动，常利用代入法求动点Rx,y)的轨

迹方程。

2.12016高考新课标3理数】已知抛物线C：y2=2尤的焦点为尸，平行于x轴的两条直线乙4分别交C

于A8两点，交。的准线于P,。两点.

(I)若尸在线段AB上，R是PQ的中点，证明AH.FQ；

(H)若△PQF的面积是八钻尸的面积的两倍，求A6中点的轨迹方程.

【答案】(I)见解析：(II)y2=x-i.学科&网

【解析】

试题分析：（I）设出与X轴垂直的两条直线，然后得出4522及的坐标，然后通过证明直线.次与直

线地的斜率相等即可证明结果了；（n）设直线/与x轴的交点坐标。（.0）,利用面积可求得演，设出AB

的中点£（xy），根据■力与X轴是否垂直分两种情况结合kAB=的E求解.

试题解析：由题设尸（g：0）,设。：），:y=b,贝iJabwO,且

/（J①B自㈤：尸（一；，项。（一；®K（Y,4）.

记过4/两点的直线为/,贝I”的方程为2x-（a+b）y+ab=0..............3分

（I）由于产在线段45上，故l+ab=0.

记4?的斜率为自，尸2的斜率为4，则匕:二：一^-白二卫二一方:占，

1+da"-abaa

所以/伍〃世...........5分

（II）设/与x轴的交点为。（40）,

FD

则S^BF=J卜一4\=^\b-a\x]-^,S"QF=.

由题设可得：弧一4西一g=\4,所以％=0（舍去），〜=1.

设满足条件的AB的中点为E（x,y）.

当A8与x轴不垂直时，llikAB=kDE可得-=—=上（尤。1）.

a+bx-1

而,"+力=y,所以V=%一1（%w1）.

当AB与x轴垂直时，E与。重合，所以，所求轨迹方程为.......12分

考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系：3、轨迹求法.

【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明;

（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点

与从动点.

3、【2011年湖北高考理科第19题】（本小题满分13分）

AOB

如图，在以点。为圆心，|AB|=4为直径的半圆AO8中，OD1AB,尸是半圆弧上一点，NPQ3=30。,

曲线C是满足||M41—|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线。过点P.

(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(II)设过点。的直线1与曲线可相交于不同的两点£、F.

若aOEF的面积不少干2企,求直线/斜率的取值范围.

22

【答案】⑴三-]=1⑵直线/的斜率的取值范围为[―JI—

【解析】(1)解法1：以。为原点，AB、CD所在直线分别为x轴、j轴，建立平面直角坐标系，则/(-2,

0),B(2,0),2X0,2),?(73,1),依题意得

\MA\-\MB\=\PA\-\PB\=(2+73)2+12-+12=2->/2<\,45|=4.

曲线。是以原点为中心，乂、5为焦点的双曲线.

设实平轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,

则c=2,2a=2及，：dAFHW

2v2

二曲线C的方程为二x-——=1.

22

解法2:同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得||-|A/S|=|P4|-|P5|<

\AB|=4.

二曲线C是以原点为中心，/、5为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为二一5=l(a>0,J>0)

a2b2

1=i

则由尸一解得？=松=2,

\a2+b2=4

..•曲线C的方程为==L

22

(H)解法1：依题意，可设直线/的方程为］=比2,代入双曲线C的方程并整理得(l-F)xJ4H-6=0.

...直线/与双曲线C相交于不同的两点E、F,

.1-k2Ho体H±1

A=(-4jt)2+4x6(l-il2)>0[Y<k(出

(-73.-1)U(-1,1)U(1,73)

4k6

设E(X,y),尸(Q*),则由①式得XI+XL；~~77,国电=----，于XE

1一炉1-k

1EF1=J(再一巧产+(川+巧产=/(1+无’乂不一巧产

=J1+左2-J(xi+巧)'-4再巧=J1+左2-

2

而原点O到内•线1的距离d=,，

.平A斗导.

2112TITF|i-*2||i-v|

若△OEF面积不小于2百,即SOEF>2V2，则有

2行‘3-七之2啦o)4一)2—2《0,解得—OwkwO.③

n

综合②、③知，直线/的斜率的取值范围为［—五i)u(—1』)口(1,司

解法2：依题意，可设直线/的方程为j=fcv-2,代入双曲线C的方程并整理,

得(1-Z2)x2-4K6=0.

...直线/与双曲线C相交于不同的两点E、尸，

’1一k2Ho伍工±1

・二=

A=(-4A:)2+4x6(l-jt2)^0»出YkY出

.：.kE(-73,-1)U(-1,1)U(1,V3).

设Eg由),尸8m),则由①式得

晨田|~(再+巧)-4g=臼="y③

当E、尸在同一去上时(如图1所示"

$=“二国8射-SgQE|=—|0Z)|-||?q|-|x2||=-pZ)|也一巧I；

当E、尸在不同支上时(如图2所示).

S,OEF=Sb0DF+$_8£=奉。。卜(㈤+上|)=弓|。卦|占一切.

/X

综上得S二OEF=g|0°H再—xj于是

2国3-妙

由I0。I=2及③式，得S-E产

若△OEF面积不小于20,即1皿N20则有

空勺『之2/=*—12W0.解得一&MkWJI④

k-的一

综合②、④知，直线/的斜率的取值范围为卜近,-1)口(-1,1)°(1,忘］。

【反馈练习】

1、设力为圆(X—1/+/=1上的动点，为是圆的切线且|为1=1,则。点的轨迹方程是()

A.(%—1)2+y=4B.(x—1)'+/=2

C.y=2xD.y=-2x

【答案】B

【解析】设圆0-1)?+产=1圆心为C,贝ijPC2=P42+r2=2”点的轨迹方程是(片—。2+炉=2,选艮

2、【广东省韶关市十校2015届高三10月联考，理20】如图所示，已知圆C:(x+l)2+y2=8,定点A(l,0),M

为圆上一动点，点尸在4以上，点N在CM上，且满刀口=2而瓦•而=0,点JV的轨迹为曲线E.

(I)求曲线E的方程；

(II)若过定点/(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G,"(点G在点尸，〃之间)，且满足

FG=AFH,求4的取值范围.

【答案】

【解析】

试题分析:(I)利用线段的垂直平分线的性质得到=y.r2=r>|d|,在利用桶扇的定义知点N

的轨迹是以点为焦点的椭圆，最后由待定系数法可得椭圆廿方程；

(二)不妨设直线GN斜率为上得到直绊勿方程为j=fcv+2,与椭圆方程联立，结合题设

条件求出2的取值范围

试题解析：3)因为万7=21二不7=。

所以直线XP为线段㈤/的垂直平分线，..

又因为|CV|+\NM\=20,所以|C.V|+=2行、2=|Q4|

「•动点.V的轨迹是以点C(-LO),H(LO)为焦点的椭圆

且相同长轴长为2a=2、点焦距2c=2>：.a==Li*=1.

曲线E的方程为］+y2=1.

(II)当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为y=kx+2

代入椭圆方程三•+/=1.得到(：++4H+3=0.....(*)

依题意得A>0,即(4左>—4x3x(二+二)>0,得左：

设G(x「J、)：H(x”y2)，则修：三是方程(*)的两根

一4左3

所以Xj+X,=----,xxx2=L—........(**)

-+)t:-+k2

2

因为而=/丽，所以(孙弘一2)=2(三,比-2、

故项=羽，所以X]+x：=(l+2)x：,.三七=Ax：，

所以(演+%)'=(1+Q,xj，X；="■

从而(甬+工)：=(1+幺>注，将(**)代入并整理得Y—=丝上

/•二+3Z

2k-

因为左2>3,所以4V<3,从而4<&^匚(竺

23+33A3

2X

8P4<A+-+2<—,解得1<么<3

x33

由题意知0</<1，所以[<N<1

3

.1.

又当直线G8斜率不存在时，FG=±FH,故

33

所以2的取值范围是2J)

3

考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系

3、【河北省唐山市第一中学2015届高三上学期期中考试，理20】已知圆C：(X—iy+(y—1)2=2经过椭圆

v-22

r：3=v=1(。>/?>0)(a>b>0)的右焦点F和上顶点B.

ab

⑴求椭圆r的方程；

(2)如图，过原点O的射线/与椭圆「在第一象限的交点为Q,与圆C的交点为P,.M为OP的中点，求

OM-OQ的最大值.

【答案】（1）二+二=1,⑵2①

84

【解析】

试题分析：（1）求出圆与坐标轴的交点坐标•即得椭巴方程中的。工,进而求出桶扇的方程；（2）联立直线

圆椭圆的方程和直线与图的方程求出交点坐行，利用中点…r公式找出等量关系，最后利用导数进行求解.

试题解析：⑴在C:（xT）2+（）T）2=2中；＞=0,得FJ0）即c=2；

令x=0,得3（0：2）,即6=2；所以。一二8,

即怖圆的标准方程为三+匕=1;

84

（2）由题意，得射线7的斜率存在，设7:j=fc＜x＞0次＞0）,设尸（如烟）,。（林％），

i，=]^x'/T

联立「，，，得(l+2k-)r=8,x>=.

[x*+2r-8=o-TiR

v=kx.,2+2上

联立，..得(1+T)x，—21+k)x=0,/.Xj=

l(x-l)^+(y-l):=2।1+好

|言会,(xi，xj=:(』x_+/xix：)=m1+kz?C、

：.O\I00一、3>0)

J1+2K

k2+2k+1

=20

"3~l+2ic~

—

、凡“、k'+2k+1、,、4/c*—2k+2A/B,,1

设仪»=—~7^-©(x)/(p(x)=----------——>0,归一lvk<一；

l+2k*(1+2K)，2

又左＞0,二双左）在（o：）上单调递噌，在；+一上单调递减，

.,.当A=（时，夕伏）max=。（}=}

即而•丽的最大值为2石.

考点：1.椭圆的标准方程：2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系；4.导数的应用.

4、【2018河省豫南豫北联考联】已知：如图，两同心圆：无2+）2=］和/+,2=4尸为大圆上一动点,

连结OP（。为坐标原点）交小圆于点过点P作x轴垂线PH（垂足为“），再过点M作直线P”的

垂线MQ,垂足为Q.

（1）当点P在大圆上运动时，求垂足。的轨迹方程；

（2）过点冬普,0）的直线/交垂足。的轨迹于A、8两点，若以A8为直径的圆与x轴相切，求直线/的

方程.

【解析】（1）设垂足。（xj）,则尸（北2田

因为尸（x,2y）在V+j二=4上，

所以1+4舅=4,

所以三+丁=1

4

故垂足。的轨迹方程为£+丁=1

4

（2）设直线/的方程为x=my+马普,4（%,）|）,3（々,必），

则有|=必2-9『+（%-/=41+苏民一X|，

又因为圆与x轴相切,

E+%|_Ji+i

所以

221^2->lI

（乂+%『

即1+/

（Xf）2（凹+必）2-4y/2

2V10

x=my+---

47104

由｛消去X整理得0/+4）/+my+—=Q

23f

——厂+y2=1,

4

因为直线/与椭圆交于A、8两点,

4144〃，一64

所以△=-4x（〃/+4）X­=>0，解得m~>—o

999

-4A/T6m4

又X+%

3（/+4）J?9（/+4

；X4X（>+4）9

将上式代入（*）式中得」2

1-

1+m160210

---xm5nr

9

解得加=±1。满足A>0。

故所求的直线l的方程为x=±y+2叵，

3

即3x±3y-2>/iU=0

（

5.已知椭圆C：-7+~T=1（。>b>Q）的左焦点为R（—1,0）,。为坐标原点，点G1,—在椭圆上,

2

I）

过点尸的直线/交椭圆于不同的两点A,8.

（1）求椭圆。的方程；

（2）求弦的中点M的轨迹方程；

（3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于4,5两点，P为x轴上一点，若PAPB是菱形的两条

邻边，求点P横坐标的取值范围.

【解析】3）由题意有/一/=1,且L+^^=1,解得『=2力2=1,

ab2

二椭圆。的方程为f+丁=1.

（2）设A/（x,y）,发（甬,凶）,8（孙），2），贝"x='：入J='I：』，

当再=天时，M点的坐标为（-L0）.

当再工为时，•.,£+）『=1,\+4=1,

两式相减得（-"+七："_七2=_®+%）（川一y2）,

.•.兽=_且二立.，又48过尸点，于是的斜率为"二丝•二汇，

2-2jx1-x2X-4x+1

••————,

2yx+1

整理得/+2/+》=0.

•••（TO）也满足上式，

/.Af的轨迹方程为X2+2/+X=0.

＜3）设尸（肛0）,48的中点“（4力），由（2）知，/+2/+。=0①

'：\PA\=\PB\,

：.PMJLAB

二.左本-左西=—1,即一^--------=-1,整理得=-a"—a+a?w+»j②

a+1a-m

将②代入①中,得a?+a-2m?-2胴=0,化为（a+l）（a-2叫）=0,

・・・a工1一1'.・.m=一Q,

2

由2/=—/一。＞。（当b=o时，且8与x轴垂直，不合题意，舍去），得一1＜。＜0,

于是-g＜加＜0,即尸点的横坐标的取值范围为；'-义"0；

6.已知点A的坐标为（—2,0）,圆C的方程为V+y2=4,动点P在圆C上运动，点M为AP延长线上

一点，^.\AP\=\PM\.

（1）求点M的轨迹方程.

（2）过点Q（3,4）作圆。的两条切线QE,QF,分别与圆C相切于点E,尸，求直线五户的方程，并

判断直线EF与点M所在曲线的位置关系.

【解析】（1）设M（x,y），点A的坐标为（―2,0）,动点P在圆。上运动，点M为AP延长线上一点，目

\AP\=\PM\,则点P为A,M的中点，所以得代入圆C的方程

X2+y2-4,得（x-2）2+/=16.

（2）过点Q（3,4）作圆。的两条切线QE,。口，分别与圆。相切于点E,尸，则

QELEC,QF±FC,则QE=QE,设圆。以。为圆心，以目为半径,

|困=5，.•.|QE|=J|OQj=历,

/.D:(x-3)2+(y-4)2=21.则EF为圆O与圆。的公共弦，

联立C,。，作差得直线EF方程

|2x3-4|2,»

/.£F:3x+4y-4=0,d='—=一<4,相交.

"+425

7.12018广东汕头金山中学模拟】在平面直角坐标系xoy中，设点尸(1,0),直线/:%=—1,点P在直

线/上移动，R是线段PF与y轴的交点，■虹底大改点。满足：RQLFP,PQ11.

(1)求动点。的轨迹的方程；

(2)记。的轨迹的方程为E,过点F作两条互相垂直的曲线E

的弦AB.CD,设AB.CD的中点分别为M,N.问直线MN是否经过某个定点？如果是，求出该定

【解析】(I)依题意知，直线/的方程为：x=T.点K是线段F尸的中点,

且火。1尸尸，.•.及。是线段尸产的垂直