第11182次概率论与数理统计经济数学第一章吴传生版课件

在我们所生活的世界上，充满了不确定性

从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化……，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性.一.概率论简介

当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个.而且在每次试验或观察前都无法确知其结果，即呈现出偶然性.或者说，出现哪个结果“凭机会而定”.带有随机性、偶然性的现象.随机现象的特点随机现象的统计规律性随机现象并不是没有规律可言在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性.由意大利数学家和赌博家卡丹诺(1501-1576)1564年他写了一本《机遇博弈》于1663年发表.标志着概率论的诞生.

例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.

了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.

了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.福尔莫斯破密码请看福尔莫斯为什么能破译出那份密码?对案情的深入了解和分析;运用字母出现的统计规律性.二.古典概率---比率分析:10个人,共分3张音乐会票.

准备一个盒子,里面放10个大小和质地一样的球其中白球3个,黑球7个,充分扰乱以后,让每个人抽取一个球,凡抽到白球者得票.每个人得到票的机会相等一个试验,有n个同等可能的结果,其中有k个结

果是使某事件A发生,那么事件A发生的概率为称为古典概率.常常把这样的试验结果称为“等可能的”.e1,e2,…，eN试验结果你认为哪个结果出现的可能性大？

在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.基本计数原理

这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的1.加法原理设完成一件事有m种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法,…；第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n1+n2+…+nm

种方法.基本计数原理则完成这件事共有种不同的方法.2.乘法原理设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法,…；第m个步骤有nm种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，3.排列、组合的几个简单公式排列和组合的区别：顺序不同是不同的排列3把不同的钥匙的6种排列而组合不管顺序从3个元素取出2个的排列总数有6种从3个元素取出2个的组合总数有3种a排列:从n个不同元素取k个（1kn)的不同排列总数为：k=n时称全排列排列、组合的几个简单公式从n个不同元素取k个（允许重复）（1kn)的不同排列总数为：例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张3241n=4,k=3123第1张4123第2张4123第3张4共有4.4.4=43种可能取法b、组合:从n个不同元素取

k个（1kn)的不同组合总数为：常记作，称为组合系数。组合系数又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：c、组合系数与二项式展开的关系由有比较两边

xk

的系数，可得

运用二项式展开想想看:如何说明音乐会问题中每个人的机会相等分球入箱问题请看下面的演示以球、箱模型为例给出一类常见的古典概型中的概率计算许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：

有n个人，每个人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在

N间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率.人房许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：

某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同.求每天恰好发生一次车祸的概率.车祸天在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？下面的算法错在哪里？错在同样的“4只配成两双”算了两次.97321456810从5双中取1双，从剩下的8只中取2只例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？正确的答案是：请思考：还有其它解法吗？解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法总数为而出现事件A的分法数为n!,故例4n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每堆2只.问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的概率是多少？北京体育彩票（36选7不重复）:特等奖:选中全部7个正选号码一等奖:选中6个正选号码+特别号码五等奖:选中4个正号或3个正号+1个特号例有6张纸牌,其中4张黑桃,2张红桃,从中随机地有放回地取两次,每次只取一张,求(1)取到的两张都是红桃的概率?(2)取到的两张颜色相同的概率?(3)取到的两张至少有一张黑桃的概率?=1-P(A)若抽取是不放回地,求以上三问?(1)取到的两张都是红桃的概率?(2)取到的两张颜色相同的概率?(3)取到的两张至少有一张黑桃的概率?若抽取是任取两张,求以上三问?(1)取到的两张都是红桃的概率?(2)取到的两张颜色相同的概率?(3)取到的两张至少有一张黑桃的概率?说明:(1)在求事件的概率时,应注意随机实验的样本空间(2)“任取k件”与“无放回地逐件取k件”考虑问题的角度不同,但计算概率的结果相同(3)“任取k件与有放回地逐件取k件”所得的概率一般不同(4)“至少”问题常用对立事件解决例2

有r个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.

为求P(A),先求P()解：令A={至少有两人同生日}

={r个人的生日都不同}则用上面的公式可以计算此事出现的概率为

=1-0.524=0.476

美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.

表3.1

人数至少有两人同 生日的概率

200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994

所有这些概率都是在假定一个人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的.实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大.当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.请看演示：生日问题

投掷3颗骰子,胜负规定:若顾客掷出3颗骰子点数之和为3,4,5,6,7,14,15,16,17,18这些数中之一时,顾客胜否则摊主胜,即8,9,10,11,12,13这些结果有等可能性,但是其和为3的只有1种,和为10的结果有27个,逐一检查还发现,使顾客胜的结果只有69种,而摊主获胜的结果有147远远有利摊主在这16中结果中不是等可能,把3颗骰子的所有结果有6×6×6=216种结果,把这些结果一一排出

111,112,113,……661,662,…666掷硬币试验实验者抛掷次数n正面出现次数nA频率fn(A)德摩尔根蒲丰皮尔逊皮尔逊维尼2040404012000240003000010612048601912012149940.5180.50690.50160.50500.4998三.统计概率----频率

在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小.这个性质叫做频率的稳定性.这个定值称为事件A的概率,记为P(A)

频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小.尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非常接近的.频率的性质(3)若A,B不同时发生