2022-2023学年湖南省娄底市冷水江同兴乡温泉中学高三数学理联考试题含解析

2022-2023学年湖南省娄底市冷水江同兴乡温泉中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.以、为焦点的圆锥曲线上一点满足，则曲线的离心率等于A.或

B.或

C.或

D.或参考答案：A略2.(2)设变量x,y满足约束条件，若函数的最大值为12，则k等于

(A)3

(B)-3

(C)3或-3

(D)2参考答案：3.某奶茶店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间的关系如下：x-2-1012y5※221通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程为，但现在丢失了一个数据※，该数据应为（

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：C4.球O与棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个面都相切，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截球O所得截面的面积为（）A． B．π C． D．参考答案：D【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出圆心到截面距离，利用d2+r2=1求出截面半径，即可求出截面的面积．【解答】解：设圆心到截面距离为d，截面半径为r，由VO﹣ACM=VM﹣AOC，即，∴，又d2+r2=1，∴，所以截面的面积为．故选D．5.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()A．

B．C．

D．参考答案：C【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】因为如图为原几何体的直观图，面积中最大的是,

故答案为：C

6.命题，若是真命题，则实数的取值范围是（A）

（B） （C）

（D）参考答案：D略7.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为A． B． C． D．参考答案：B由椭圆的焦点为，可知，又，，可设，则，，根据椭圆的定义可知，得，所以，，可知，根据相似可得代入椭圆的标准方程，得，，椭圆的方程为.

8.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积是（A）（B） （C）（D）参考答案：A略9.已知R，则“”是“”的

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件参考答案：B10.已知直线，若存在实数，使直线与曲线交于两点、，且，则称曲线具有性质，给定下列三条曲线方程：①；②；③．其中，具有性质的曲线的序号是（

）． A．①② B．② C．③ D．②③参考答案：D解：①．与直线至多一个交点，故①不具性质．②．，圆心为，半径为，直线过定点，故存在，使直线与曲线交于、两点，且，具有性质．③过点，直线过定点，故存在，使得直线与曲线交于、两点，且，具有性质．综上，具有性质的曲线的序号是②③．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.手表的表面在一平面上，整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上，从整点i到整点（i+1）的向量记作，则=

．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】把圆分成12份，每一份所对应的圆心角是30度，用余弦定理计算出每个向量的模的平方都是，而所求向量的夹角都是30度，求出其中一个数量积，乘以12个即得可到结果．【解答】解：∵整点把圆分成12份，∴每一份所对应的圆心角是30度，连接相邻的两点组成等腰三角形底边平方为，每对向量的夹角为30°，∴每对向量的数量积为cos30°=，∴最后结果为12×=6﹣9，故答案为：6﹣9．【点评】本题是向量数量积的运算，条件中没有直接给出两个向量的模和两向量的夹角，只是题目所要的向量要应用圆的性质来运算，把向量的数量积同解析几何问题结合在一起．12.函数y=的定义域是．参考答案：{x|x＞2且x≠3}考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由分式的分母不等于0，对数的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．解答：解：由，解得：x＞2且x≠3．∴函数y=的定义域是{x|x＞2且x≠3}．故答案为：{x|x＞2且x≠3}．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题．13.若函数

则不等式的解集为______

.

参考答案：14.已知实数a，b满足等式，给出下列五个关系式中：①②③④⑤则所有可能成立的关系式的序号为___.___.参考答案：①②⑤在同一坐标系下做出函数的图象如图，由图象可知，①，②，⑤正确.15.关于x的方程=k(x-2)+1有两解则k的取值范围是

参考答案：（0，】16.设抛物线的焦点为F，点A(0，2)，若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为___________．参考答案：解析：,,将代入解得到该抛物线准线的距离为17.设,对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知a∈R，函数f（x）=x3﹣ax2+ax+a，g（x）=f（x）+（a﹣3）x．（1）求证：曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（2，4）；（2）若g（1）是g（x）在区间（0，3]上的极大值，但不是最大值，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），求出求出方程，从而求出定点即可；（2）求出g（x）的导数，根据g（1）是g（x）在区间（0，3]上的极大值，不是最大值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】（1）证明：∵f'（x）=3x2﹣2ax+a，∴f'（1）=3﹣a，∵f（1）=a+1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（a+1）=（3﹣a）（x﹣1），即a（x﹣2）=3x﹣y﹣2，令x=2，则y=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线过定点（2，4）；（2）解：g'（x）=f'（x）+a﹣3=3x2﹣2ax+2a﹣3=（x﹣1）[3x﹣（2a﹣3）]，令g'（x）=0得x=1或x=，∵g（1）是g（x）在区间（0，3]上的极大值，∴＞1，∴a＞3，令g'（x）＞0，得x＜1或x＞，g（x）递增；令g'（x）＜0，得1＜x＜，g（x）递减，∵g（1）不是g（x）在区间（0，3]上的最大值，∴g（x）在区间（0，3]上的最大值为g（3）=18﹣2a，∴g（3）=18﹣2a＞g（1）=2a﹣2，∴a＜5，又a＞3，∴3＜a＜5．【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．19.在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，，．在梯形中，∥，且，⊥平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若二面角为，求的长．

参考答案：（Ⅰ）证明：在中,所以,由勾股定理知所以．

……2分又因为⊥平面，平面所以．

………4分又因为所以⊥平面，又平面所以．

………6分（Ⅱ）解：因为⊥平面，又由（Ⅰ）知，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则,,，,，.

…………8分设平面的法向量为，则

所以令.所以.

……………9分又平面的法向量

……………10分所以，

解得．

……11分所以的长为．

……12分略20.（本小题满分12分）如图，在底面为梯形的四棱锥中，已知，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求三棱锥的体积．参考答案：（1）证明略；（2）．

（Ⅱ）连接，在中，，为的中点，为正三角形，且，

考点：1.空间中垂直关系的转化；2.几何体的体积．【思路点睛】本题考查空间中垂直关系的相互转化以及几何体的体积的求法，属于中档题；证明空间中的平行或垂直关系，往往要利用线线、线面、面面间的关系的转化，其思想是“立体几何平面化”，即关键是合理平面化；求四面体的体积问题，往往要根据题意合理转化四面体的顶点，使底面积和点到该面的距离可求.21.(本小题满分12分）

已知函数，是常数）在x=e处的切线方程为，既是函数的零点，又是它的极值点．

(1)求常数a,b,c的值；

(2)若函数在区间(1，3)内不是单调函数，求实数m的取值范围；

(3)求函数的单调递减区间，并证明：参考答案：1）由知，的定义域为,,

…1分

又在处的切线方程为，所以有

,①

由是函数的零点，得,②

由是函数的极值点，得，③

由①②③，得，，.

（2）由(1)知，

因此，，所以

.

要使函数在内不是单调函数，则函数在内一定有极值，而

，所以函数最多有两个极值.

令.

（ⅰ）当函数在内有一个极值时，在内有且仅有一个根，即

在内有且仅有一个根，又因为，当

，即时，在内有且仅有一个根

，当时，应有，即，解得，所以有.

.（ⅱ）当函数在内有两个极值时，在内有两个根，即二次函

数在内有两个不等根，所以

解得.

综上，实数的取值范围是.

（3）由，得，

令，得，即的单调递减区间为.

由函数在上单调递减可知，

当时,，即，

亦即对一切都成立，

亦即对一切都成立，

所以，

，

，

…

，

所以有

，

所以.

略22.已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间[0,1]上的最小值；（Ⅱ）若，函数在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围参考答案：（Ⅰ）当时，；当时，；当时，.（Ⅱ）的范围为.试题分析：（Ⅰ）易得，再对分情况确定的单调区间，根据在上的单调性即可得在上的最小值.（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，注意到.联系到函数的图象可知，导函数在区间内存在零点，在区间内存在零点，即在区间内至少有两个零点.由（Ⅰ）可知，当及时，在内都不可能有两个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，且必有.由得：，代入这两个不等式即可得的取值范围.试题解答：（Ⅰ）①当时，，所以.②当时，由得.若，则；若，则.所以当时，在上单调递增，所以.当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.当时，在上单调递减，所以.（Ⅱ）设为在区间内一个零点，则由可知，在区间