小学奥数总复习教程课件（下）（小升初必备）

小学奥数总复习教程

（下）

小升初数学学习备战辅导小学奥数总复习教程

（下）小升初数学学习备战辅导1方程的妙用——用方程解决应用题方程的妙用2

知识点梳理1、列方程解应用题的方法

（1）综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程，这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。

（2）分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，进而列出方程，这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。知识点梳32、列方程解应用题的步骤：（1）分析题意，弄清已知条件和所求问题；（2）根据分析设定未知数；（3）利用等量关系列出方程；（4）求解方程；（5）将结果代回原题检验，答。2、列方程解应用题的步骤：4典型例题精讲（生活中问题）例1.有两根绳子，第一根长56cm，第二根长36cm,同时点燃后，平均每分钟都烧掉2cm,多少分钟后，第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。典型例题精讲5解析

解：设X分钟后第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。56-2X=3(36-2X)X=13答：13分钟后第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。解析解：设X分钟后第一根绳子的长度是第二根绳子长度6趣味数学例2.同学们参加野炊，一位同学到负责后勤的老师领碗，老师问他领多少，他说领55个，又问他多少人吃饭，他说一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗，问这名同学给多少人领碗？趣味数学7解答

解:设这名同学给X个同学领碗.

X=30答：这名同学给30个同学领碗。解答解:设这名同学给X个同学领碗.8

鸡兔同笼问题例3.鸡兔同笼，鸡比兔多10只，共有脚110只，求鸡兔各有几只？

9解析方法一：鸡比兔多10只，假设兔加上10只就和鸡一样多了，这样要加上40只脚，总共150只脚。然后一对一配对，每对里有一只鸡和一只兔子，共6只脚。共配了多少对，就求出鸡的只数了。解：（110+10×4）÷（4+2）=25（只）……鸡25-10=15（只）……兔答：鸡有25只，兔有15只。解析方法一：鸡比兔多10只，假设兔加上10只就和鸡一样多10解答

方法二：用方程做解设：有X只兔，有鸡（X+10）只。4X+2(X+10)=1106X=90X=1515+10=25(只)答：鸡有25只，兔有15只。解答方法二：用方程做11

行程问题例4.甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，4小时相遇，甲车再开3小时到达B城。已知甲车每小时比乙车每小时快20千米。A、B两地相距多少千米？

12解析

解设：乙的速度每小时行驶X千米，甲的速度是（X+20)千米。4X=3（X+20)（60+20）×（4+3）=560千米X=60答：AB两地相距560千米。解析解设：乙的速度每小时行驶X千米，甲的速度是（X+213

工程问题例5.一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，如果两人合做，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的五分之四，乙只能完成原来的十分之九。现在要求8天完成这项工程，两人合做的天数尽可能少，那么两人要合做多少天？

14解析甲的工作效率=1÷10=，合做后的工效=乙的工作效率=1÷15=，合做后的工效=效率和=解设：合做X天，甲单独做（8-X）天。

答：两个人合做要用5天。解析甲的工作效率=1÷10=，合做后的工效=15例6.设有六位数1abcde,乘3后，变为abcde1,求这个六位数。

数论问题数论问题16解答

解设：abcde五位数为X。3（100000+X）=10X+1X=42857答：这个六位数是142857。解答解设：abcde五位数为X。17平面几何例7.如右图，以直角三角形ABC的两条直角边为直径作两个半圆，已知这两段半圆弧的长度之和是37.68厘米，那么三角形ABC的面积最大是多少平方厘米？（π取3.14）平面几何18解答解设：直角边长为X和Y,则弧长为：

πX÷2+πY÷2=37.68

π（X+Y）÷2=37.68X+Y=24（厘米）当X=Y时乘积最大即X=Y=12（厘米）三角形面积=12×12÷2=72（平方厘米）答：三角形面积是72平方厘米。解答解设：直角边长为X和Y,则弧长为：19巧求面积——引辅助线法巧求面积20典型例题精讲例1.如图所示，平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，求图中阴影部分的面积。

典型例题精讲例1.如图所示，平行四边形ABCD的面积是40平21解析

连辅助线BD,S△OBD和S△OBC是等底等高的三角形，面积相等，是平行四边形面积的一半。S阴40÷2÷2=10（平方厘米）解析连辅助线BD,S△OBD和S△OBC是等底等高22例2.如图，正方形ABCD和正方形EFGC并排放置，BF和EC交于H点，已知AB=4厘米，EF=6厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？例2.如图，正方形ABCD和正方形EFGC并排放置，BF和E23解析连接DF,三角形DGH的面积等于三角形DFH的面积，原来阴影部分的面积等于三角形BDF的面积。S大正=6×6=36（平方厘米）S小正=4×4=1636+16=52（平方厘米）S△ABD=16÷2=8（平方厘米）S△EFD=（6-4）×6÷2=6（平方厘米）S△BFG=（4+6）×6÷2=30（平方厘米）S阴=52-8-6-30=8（平方厘米）解析连接DF,三角形DGH的面积等于三角形DFH的面积，24例3.如图，四边形ABCD是长方形，EC=2DE，F是DG的中点，G是BC中点，阴影部分的面积是20平方厘米，则长方形ABCD的面积是_______。

例3.如图，四边形ABCD是长方形，EC=2DE，F是DG25解析连接CF,F是中点，S△CFG=S△CFD,S△BDF=S△BFG,G是BC中点，S△CFG=S△BFG=S△CFD=S△BDF,DE:EC=1：2，S△DEF:S△CFE=1：2，S△CFG:S△EFC=3:2,S△CFG=20÷5×3=12（平方厘米）S长=12×4×2=96（平方厘米）解析连接CF,F是中点，26例4.在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO面积是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？例4.在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO27解析连接OC，把DCEO分成两个三角形ECO和DCO设ECO面积为x，DCO面积为y由条件知，EO：OB＝1：2，AO：OD＝2：3则（AEO+ECO）:DCO＝2:3ECO：（DCO+BOD）＝1:2即：x：(y+3)=1：2(x+1)：y=2：3解得：x=9,y=15所以DCEO＝x+y＝24解析连接OC，把DCEO分成两个三角形ECO和DCO28例5.已知E为边长AD的中点,正方形的边长为8厘米，P是CE的中点，求阴影部分的面积。例5.已知E为边长AD的中点,正方形的边长为8厘米，P是C29解析连结BE,三角形BCE的面积=正方形面积的一半=8×8÷2=32（平方厘米）S△BPC的=S△BCE÷2=16（平方厘米）S△CDE=8×4÷2=16（平方厘米）S△PDC的面积=S△CDE÷2=8（平方厘米）S阴=S正÷2-16-8=8（平方厘米）解析连结BE,三角形BCE的面积=正方形面积的一半=8×8÷30

例6.如图△ABC是一个等腰直角三角形，AB=BC=10，求图中阴影部分的面积。（单位：分米）小学奥数总复习教程课件（下）（小升初必备）31解析我们做辅助线。做AE垂直AB,EC平行AB,得到正方形ABCE。S半圆=5×5×3.14÷2=39.25（平方厘米）S正=10×10=100（平方厘米）S△ADE=10×15÷2=75（平方厘米）S阴=（39.25+100-75）÷2=32.125（平方厘米）解析我们做辅助线。做AE垂直AB,EC平行AB,得到正32例7.如图，已知长方形ABCD的面积是54平方厘米，BE=2AE，CF=2BF，则四边形ACFE的面积是多少平方厘米？例7.如图，已知长方形ABCD的面积是54平方厘米，BE=33解析S△ABC=54÷2=27连接CE。因为AE:EB=1：2，所以：S△ACE:S△BCE=1：2，S△ACE=27÷3=9(平方厘米),S△BCE=27-9=18(平方厘米)因为BF:FC=1：2，所以SBEF:SCEF=1：2，SCEF=18÷3×2=12(平方厘米)SACFE=9+12=21(平方厘米)解析S△ABC=54÷2=2734课后作业如图，正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的顶点G在BC边上，则长方形的面积为多少平方厘米？课后作业如图，正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的35巧求面积——割补法巧求面积36典型例题精讲例1.下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。典型例题精讲例1.下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分37解析

同学们请看图，我们将图形进行割补。把阴影部分割补成四个半圆形和一个正方形，求出阴影部分面积就可以了。2S圆=5×5×3.14×2=157（平方厘米）S正=（5×2）×（5×2）=100（平方厘米）S阴=157+100=257（平方厘米）解析同学们请看图，我们将图形进行割补。38例2.求图中阴影部分的面积例2.求图中阴影部分的面积39解析在图中分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。如右图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，5×5=25。解析在图中分割的两个正方形中，右边正方形的40例3.求图中阴影部分的面积例3.求图中阴影部分的面积41解析

如图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。解：π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。解析如图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图42

例4.在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见下图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

例4.在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形43解析从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角形拼成一个长方形见右图。显然，阴影部分正好是长方形的三分之一，所以原题阴影部分占整个图形面积的三分之一。还可以拼成一个平行四边形或将其分成9个三角形。

解析从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角44

例5.如下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。例5.如下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形45解析

因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形，图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（平方厘米）。解析因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以46例6.ABC是三个圆的圆心，圆的半径都是10分米，求阴影部分的面积。例6.ABC是三个圆的圆心，圆的半径都是10分米，求阴影部分47解析我们用割补法，将阴影部分割补成一个半圆形，求出阴影部分面积就可以了。S半圆=10×10×3.14÷2=157平方分米解析我们用割补法，将阴影部分割补成一个半圆形，求出阴影48

例7.如图所示，空白部分占正方形面积的几分之几？

例7.如图所示，空白部分占正方形面积的几分之几？49解析

将阴影割补成一个长方形，正好占正方形面积的一半。解析将阴影割补成一个长方形，正好占正方形面积的一50例8.求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。例8.求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。51解析看图，我们用割补法，阴影部分的面积等于扇形的面积减去空白三角形的面积。S扇=4×4×3.14÷4=12.56（平方厘米）S△=4×4÷2÷2=4（平方厘米）S阴=12.56-4=8.56（平方厘米）解析看图，我们用割补法，阴影部分的面积52例9.如图，圆O的直径是8厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？例9.如图，圆O的直径是8厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘53解析

我们用割补法。看图，阴影部分的面积就是扇形的面积减去正方形的面积。S扇=8×8×3.14÷4=50.24（平方厘米）S正=8×8÷2=32（平方厘米）50.24-32=18.24（平方厘米）答：阴影部分的面积是18.24平方厘米。解析我们用割补法。看图，阴影部分的面积就是扇形54课后作业

以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。课后作业以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见55巧求面积——放大法巧求面积56典型例题精讲例1.图中两块阴影部分的面积相等，三角形ABC是直角三角形，BC是直径，长20厘米，计算AB的长度。典型例题精讲例1.图中两块阴影部分的面积相等，三角形ABC57解析

解：三角形ABC的面积与半圆形的面积相等

半径=20÷2=10厘米

10

×10×3.14

÷2

=314÷2=157（平方厘米）所以AB的长为：

157×2÷20=15.7（厘米）答：AB的长是15.7厘米．解析解：三角形ABC的面积与半圆形的面积相等58

例2.如图所示，平行四边形ABCD的边长BC为10厘米，直角三角形BCE的直角边EC为8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求CF的长。

例2.如图所示，平行四边形ABCD的边长BC为10厘米，直59解析：因为CF是平行四边形的高，要想求出CF的长，我们只要求出平行四边形的面积就可以了。根据已知条件，我们可以求出三角形的面积。三角形的面积加10就是平行四边形的面积。

解：S平=10×8÷2+10=50（平方厘米）

CF=50÷10=5（厘米）

答：CF长5厘米。解析：因为CF是平行四边形的高，要想60

例3.如右图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等。求扇形所在的圆面积。

例3.如右图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A61

解析我们将图甲和图乙放大，同样加上一个空白，就可以得到三角形和一个扇形。因为甲和乙的面积相等，所以，三角形的面积和扇形的面积相等。S△ABC=10×10÷2=50（平方厘米）。S扇=50×8=400（平方厘米）答：扇形所在的圆面积是400平方厘米。

62例4.如图A与B是两个圆（只有四分之一）的圆心。那么，两个阴影部分的面积相差多少平方厘米？（单位：厘米）例4.如图A与B是两个圆（只有四分之一）的圆心。那么，两个阴63解析

长方形的面积=阴影1+空白，扇形的面积=阴影2+空白+S小扇。

所以，阴影2+空白=S大扇-S小扇，阴影部分的差=（阴影2+空白）-（阴影1+空白）S长=2×4=8(平方厘米)S小扇=2×2×3.14÷4=3.14(平方厘米)S大扇=4×4×3.14÷4=12.56(平方厘米)12.56-3.14=9.42(平方厘米)S阴差=9.42-8=1.42(平方厘米)解析长方形的面积=阴影1+空白，扇形的面积=阴影2+空白64例5.如图所示，扇形ABD的半径是4厘米，阴影部分②比阴影部分①大6.56平方厘米，求直角梯形ABCD的面积。例5.如图所示，扇形ABD的半径是4厘米，阴影部分②比阴影部65解析如果求出BC的长度，根据梯形面积公式就可以求出梯形的面积。根据放大法，图②比图①大6.56平方厘米，扇形DAB的面积比三角形ABC的面积大6.56平方厘米。S扇=4×4×3.14÷4=12.56（平方厘米）S△ABC=12.56-6.56=6（平方厘米）BC=6×2÷4=3（厘米）S梯=（4+3）×4÷2=14（平方厘米）解析如果求出BC的长度，根据梯形面积公式就可以求出梯形的面积66例6.图中∠BOA＝90°，以AO为直径画半圆交OD于E。如果图中①的面积为1平方厘米，求阴影部分的面积。例6.图中∠BOA＝90°，以AO为直径画半圆交OD于E。67解析

大圆的半径OA是小圆的直径，即小圆与大圆的直径比为1：2，则小圆与大圆的面积比为：1:4小圆半圆的面积就是大圆面积的：1/4×1/2＝1/8。大圆中圆心角为45度的扇形OAD的面积也是大圆面积的1/8。S扇OAD=S半圆，如果从这两个图形里都减去不规则的OAE（空白部分），剩下部分图形面积一定也相等。即所求阴影部分面积就等于图中①的面积为1平方厘米。解析68例7.图中平行四边形的长边是6厘米，短边长是3厘米，高是2.6厘米，求阴影部分的面积。例7.图中平行四边形的长边是6厘米，短边长是3厘米，高是269解析观察图，是由2个半径6厘米的扇形、2个半径3厘米的扇形和一个平行四边形组合而成的。阴影部分②是以O为圆心大扇形OAB与以D为圆心的小扇形DAC的重叠部分，分解图形可得，阴影部分①和②的面积和就等于这两个扇形的面积和减去平行四边形的面积:3.14×6×6÷6＋3.14×3×3÷6－6×2.6＝7.95(平方厘米)S阴=7.95×2＝15.9(平方厘米)解析观察图，是由2个半径6厘米的扇形、2个半径3厘米的扇形和70课后作业

如图，长方形ABCD的长是8厘米，宽6厘米，延长BC到E，阴影部分甲比乙面积多16平方厘米，求CE长。课后作业如图，长方形ABCD的长是8厘米，宽6厘米，延长71长方体和正方体的体积长方体和正方体的体积72体积和容积体积概念：常用的体积单位：长方体的体积公式：正方体的体积公式：长方体和正方体统一公式：用字母表示：容积概念：容积单位：体积和容积体积概念：73典型例题精讲例1.一个长方体，表面积是368平方厘米，底面积是40平方厘米，底面周长是36厘米，求这个长方体的体积。典型例题精讲例1.一个长方体，表面积是368平方厘米，底面74解答368-40×2=288平方厘米288÷36=8（厘米）V=40×8=320（立方厘米）答：这个长方体的体积是320立方厘米。解答368-40×2=288平方厘米75例2.将一个长方体的长减小5厘米，变成了正方体，正方体表面积比原来长方体表面积减少了60平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？例2.将一个长方体的长减小5厘米，变成了正方体，正方体表76解答60÷4=15（平方厘米）15÷5=3（厘米）3×3×（5+3）=72（平方厘米）答：原来长方体的体积是72立方厘米。解答60÷4=15（平方厘米）77例3.有甲，乙两个水箱，从里面测量，甲水箱长15分米，宽10分米，高8分米，乙水箱长10分米，宽10分米，高9分米，甲水箱装满水，乙水箱空着，现将甲水箱里的一部分水抽到乙水箱中，使两箱水水面高度一样，两个水箱的水面高度是多少分米？例3.有甲，乙两个水箱，从里面测量，甲水箱长15分米，宽178解答甲水箱的体积=15×10×8=1200（立方分米）1200÷（15×10+10×10）=4.8（分米）答：两个水箱的水面高度是4.8分米。解答甲水箱的体积=15×10×8=1200（立方分米）79例4.一个长方体的长为12厘米，高为8厘米，前后两个面，上面和侧面各一个面的面积之和是392平方厘米，求另外两个面积是多少平方厘米？这个长方体的体积是多少立方厘米？例4.一个长方体的长为12厘米，高为8厘米，前后两个面，上802023/8/2解答

（1）另外两个面积是:392-12×8×2=200（平方厘米）（2）200÷（12+8）=10（厘米）体积=12×10×8=960（立方厘米）答：另外两个面积是200平方厘米，长方体的体积是960立方厘米。2023/7/31解答（1）另外两个面积是:392-181例5.某工人用薄板钉成一个长方体的邮包包装箱，并用编织绳在三个方向上加固，使用的编织绳长度分别为365厘米、405厘米、485厘米。若每根编织绳加固时结头都是5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米？例5.某工人用薄板钉成一个长方体的邮包包装箱，并用编织绳在82

解析（365-5）÷2=180厘米（405-5）÷2=200厘米（485-5）÷2=240厘米长+宽+高=(180+200+240)÷2=310厘米长=310-180=130厘米宽=310-200=110厘米高=310-240=70厘米V=130×110×70=1001000立方厘米=1.001立方米

83例6.有甲乙丙三种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的二分之一，乙的棱长是丙的棱长的三分之二。如果用甲乙丙三种木块拼成一个尽可能小的大正方体（每块至少用一块），那么最多需要这三种木块共多少块？最少需要用这三种木块共多少块？例6.有甲乙丙三种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱84解析根据已知条件得知甲乙丙棱长之比是：甲：乙：丙=1:2:3（1）最少：如果用棱长是3厘米的丙正方体拼成较大的正方体，至少用8块，拿掉一块丙用乙和甲来补，需要乙1块，甲19块，共需要甲+乙+丙=19+1+7=27块。（2）最多用92块。如果拼成棱长是5厘米的正方体，用一块丙和一块乙，需要甲=5×5×5-2×2×2-3×3×3=90（块）90+1+1=92（块）解析根据已知条件得知甲乙丙棱长之比是：甲：乙：丙=1:2:85例7.在底面边长是60厘米的正方形的一个长方体容器里，直立着一个长100厘米，底面为边长15厘米的正方形的四棱柱铁棍，这时容器里的水深为50厘米，现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱，浸湿部分长多少厘米？例7.在底面边长是60厘米的正方形的一个长方体容器里，直86

方法一、15×15×24÷（60×60-15×15）=1.6厘米24+1.6=25.6厘米答：浸湿部分长25.6厘米。解答

87解答

方法二、解设：拔出24厘米后，浸在水里的部分为X厘米。（60×60-15×15）X+60×60×24=（60×60-15×15）×503375X=82350X=24.450-24.4=25.6（厘米）答：露出水面的四棱柱，浸湿部分长25.6厘米。解答方法二、88课后作业

如图一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形。现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？

课后作业如图一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米89长方体和正方体表面积长方体和正方体表面积90表面积计算公式长方体和正方体六个面的总面积，叫做它的表面积。常用的面积单位有：平方厘米，平方分米，平方米，公顷等。长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，用字母表示S=2（ab+ac+bc）,正方体的表面积S=a×a×6表面积计算公式长方体和正方体六个面的总面积，叫做它的表面积。91典型例题精讲例1.把一个棱长为4厘米的大正方体木块切成棱长为1厘米的小正方体，这些小正方体的表面积的总和是多少平方厘米？典型例题精讲例1.把一个棱长为4厘米的大正方体木块切成棱长92解析方法一：共分成4×4×4=64（个）S=1×1×6×64=384（平方厘米）方法二：沿着长、宽、高分别切三刀，共切9刀，一共增加9×2=18个面，加上原来的六个面共有18+6=24（个）S=4×4×24=384（平方厘米）答：这些小正方体的表面积的总和是384平方厘米。解析方法一：共分成4×4×4=64（个）93例2.把一个长12分米，宽6分米，高10分米的长方体截成3个相同的小长方体，它的表面积最多可以增加多少平方分米？例2.把一个长12分米，宽6分米，高10分米的长方体截成3个94共有三种切法共有三种切法95例3.在棱长为3厘米的正方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞，洞口边长为1厘米的正方形，求挖洞后木块的体积和表面积。例3.在棱长为3厘米的正方体木块的每个面的中心打一个直穿木块96解答

V=3×3×3-1×1×1×7=20（立方厘米）S=3×3×6=54（平方厘米）54-1×1×6+1×1×4×6=72（平方厘米）答：体积是20立方厘米，表面积是72平方厘米。解答V=3×3×3-1×1×1×7=20（立方厘米）97例4.一个正方体木块，棱长是15，从它的八个顶点处各截去棱长分别是1,2,3,4,5,6,7,8的小正方体，求这个木块剩下部分的表面积最少是多少？例4.一个正方体木块，棱长是15，从它的八个顶点处各截去棱98看图解析看图解析99解答

15×15×6=13501350-7×7×2=1252答：这个木块剩下部分的表面积最少是1252。解答15×15×6=1350100例5.有一个正方体，它的六个面分别被涂上互不相同的颜色。如果从不同的角度给这个正方体拍照，那么有时只能拍到一个面，两个面，最多能同时拍到三个面。洗出照片后，照片中正方体的面的颜色搭配种类最多有多少种？例5.有一个正方体，它的六个面分别被涂上互不相同的颜色。如果101解析

一个面的：单独六个面每个拍一张，就有6张了。两个面的：单独面对一个棱，冲着这个棱拍过去，有两个面，立方体一共12条棱，所以就又有12张。三个面的：单独面对一个顶点，冲着顶点拍过去，就有三个面，立方体一共有8个顶点，所以就又有8张了。所以一共有6+12+8=26张。即26种。解析一个面的：单独六个面每个拍一张，就有6张102例6.给一个正方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种，每种颜色涂两个面，共有多少种不同的涂法？（两种涂法，如果经过翻动能使各种颜色的位置相同，就认为是相同的涂法）例6.给一个正方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一103解析

共有4种情况。同种颜色，不是相邻就是相对。红、黄、蓝两个面分别相对时，有三种情况，两两相邻时有一种情况，共有四种情况。解析共有4种情况。同种颜色，不是相邻就是相对。104例7.把正方体的六个面分别划分成9个相等的正方形，然后用红黄篮三种颜色去给每个小正方形染色，要求有公共边的正方形染色不同。问染红色的小正方形最多有多少个？例7.把正方体的六个面分别划分成9个相等的正方形，然后用红黄105染色示意图三个面中共染红色小正方形11块，六个面最多染红色的小正方形22块。黄色的小正方形22块，蓝色的小正方形10块。染色示意图三个面中共染红色小正方形11块，106课后作业（一）如图所示，从一个边长为2厘米的正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为0.5厘米的正方体，接着再在小洞的底面正中再向下挖一个边长为0.25厘米的正方体小洞。求现在得到的立体图形的表面积为多少平方厘米？课后作业（一）如图所示，从一个边长为2厘米的正方体107课后作业（二）

右图是一个4×5×6的长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？课后作业（二）右图是一个4×5×6的长方体，如果将其108圆柱和圆锥体积圆柱和圆锥体积109体积公式推导底面积高体积公式推导底面积高110圆柱体积公式长方体的体积＝底面积×高圆柱体的体积＝底面积×高圆柱体积公式长方体的体积＝底面积×高111圆锥体积公式圆锥体积公式112圆锥体积公式

结论：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一V柱=ShV锥=Sh÷3圆锥体积公式结论：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三113典型例题精讲例1.一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米。将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？典型例题精讲例1.一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底114解答S底=2×2×3.14=12.56（平方厘米）h高=50.24÷12.56=4（厘米）S增加=4×2×2=16（平方厘米）答：表面积增加了16平方厘米。解答S底=2×2×3.14=12.56（平方厘米）115例2.在一个圆柱形水桶里放入一个半径为5厘米的圆柱形钢块。如果把钢块浸没在水中，桶里的水面就会上升9厘米；如果沿竖直方向把浸没在水中的钢块提起8厘米，桶里的水面就会下降4厘米。求圆柱形钢块的体积？例2.在一个圆柱形水桶里放入一个半径为5厘米的圆柱形钢块116解析

先求出露出水面的圆柱形钢块的体积，因为下降的水的体积与露出水面的圆柱形钢块的体积相等，所以可求出圆柱形水桶的底面积。又因为当钢块浸没在水中时，上升的水的体积与钢块的体积相等，所以可以求出圆柱形钢块的体积。等积转化是本题的考察重点内容。解析先求出露出水面的圆柱形钢块的117解答

解：V钢=3.14×5×5×8=628（立方厘米）下降4厘米的水的体积与拔出8厘米圆柱形钢块的体积相等S水桶=628÷4=157（平方厘米）当钢块浸没在水中时，上升的水的体积与钢块的体积相等。上升的水的体积157×9＝1413（立方厘米）答：圆柱形钢块的体积是1413立方厘米。解答解：V钢=3.14×5×5×8=628（立方厘米）118例3.将一个圆柱体木块沿上下底面圆心切成四块，表面积增加48平方厘米；若将这个圆柱体切成三块小圆柱体，表面积增加50.24平方厘米。现在把这个圆柱体木块削成一个最大的圆锥体，体积减少多少立方厘米？例3.将一个圆柱体木块沿上下底面圆心切成四块，表面积增加48119解析

将圆心切成四块，需要切两刀，增加四个相等的长方形，每个长方形的面积是48÷4=12（平方厘米）。如果切成三个圆柱体，需要用两刀，也增加4个面，是4个相等的底面，每个底面的面积是S底=50.24÷4=12.56（平方厘米），因为2×2×3.14=12.56（平方厘米），所以半径=2厘米，直径是4厘米，高=12÷4=3厘米。圆柱体积V=12.56×3=37.68立方厘米，削成一个最大的圆锥，减少圆柱体积的三分之二，减少37.68÷3×2=25.12立方厘米.解析将圆心切成四块，需要切两刀，增加四个相等的长120例4.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图：已知它的容积为400毫升。当瓶子正放时，瓶内酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米。问：瓶内酒精的体积是多少毫升。例4.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图：已知121解答

将倒置的空白部分和酒精溶液部分拼成一个圆柱体。因为：V=Sh所以：S=V÷hh=6+2=8（厘米）400毫升=400立方厘米S底=400÷8=50（平方厘米）V=50×6=300（立方厘米）=300（毫升）答：瓶内酒精的体积是300毫升。解答将倒置的空白部分和酒精溶液部分拼成一个圆柱体。122例5.如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水多少升？例5.如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一123解答

解设：小圆锥的高度是2厘米，则大圆锥的高度是4厘米，设小圆锥的底面半径是1厘米，则大圆锥的底面半径是2厘米。V小=1×1×π×2÷3=2π÷3V大=2×2×π×4÷3=16π÷3V大：V小=8：150×8=400（升）答：这个容器最多能装水400升。解答解设：小圆锥的高度是2厘米，则大圆锥的高度是4厘米124例6.在一个底面直径是40厘米的圆柱形盛水缸里，有一个直径是10厘米的圆锥形铸件完全浸于水中，取出铸件后，缸里的水下降0.5厘米，求铸件的高？例6.在一个底面直径是40厘米的圆柱形盛水缸里，有一个直径125解答R=40÷2=20厘米，r=10÷2=5厘米S柱=20×20×3.14=1256（平方厘米）S锥=5×5×3.14=78.5（平方厘米）V锥=1256×0.5=628（立方厘米）h锥=628×3÷78.5=24（厘米）答：铸件的高是24厘米。

解答R=40÷2=20厘米，r=10÷2=5厘米126例7.如图所示，皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米。皮球有的体积浸在水中，问皮球掉到水桶中后，水面升高了多少厘米？（注：皮球的体积为）例7.如图所示，皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直127解析

解：皮球的体积是：

水面升高的高度是450π÷900π＝0.5（厘米）答：水面升高了0.5厘米。解析解：皮球的体积是：128

课后作业

如图，在一个正方体的前后面和侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞。已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积。课后作业如图，在一个正方体的前后面和侧面的中心129圆柱和圆锥表面积圆柱和圆锥表面积130圆柱表面积展开图圆柱表面积展开图131小学奥数总复习教程课件（下）（小升初必备）132小学奥数总复习教程课件（下）（小升初必备）133小学奥数总复习教程课件（下）（小升初必备）134小学奥数总复习教程课件（下）（小升初必备）135小学奥数总复习教程课件（下）（小升初必备）136小学奥数总复习教程课件（下）（小升初必备）137小学奥数总复习教程课件（下）（小升初必备）138小学奥数总复习教程课件（下）（小升初必备）139小学奥数总复习教程课件（下）（小升初必备）140小学奥数总复习教程课件（下）（小升初必备）141小学奥数总复习教程课件（下）（小升初必备）142小学奥数总复习教程课件（下）（小升初必备）143小学奥数总复习教程课件（下）（小升初必备）144小学奥数总复习教程课件（下）（小升初必备）145

圆柱表面积推导公式

底面底面底面的周长高长方形的长＝圆柱的底面周长长方形的宽＝圆柱的高圆柱的侧面积＝底面周长×高S侧=Ch=πd·h=2πr·h圆柱的表面积＝侧面积＋两个底面的面积S表=S侧+2S底圆柱表面积推导公式底面底面底面的周长高长方形的146

典型例题精讲例1.做一个圆柱形纸盒，至少需要用多大面积的纸板？（接口处不计，单位厘米）301010

147解答S底=10×10×3.14=314314×2=628（平方厘米）S侧=10×2×3.14×30=1884（平方厘米）S表=628+1884=2512（平方厘米）答：至少需要用2512平方厘米。解答S底=148例2.

一台压路机的滚筒宽1.2米，直径为8分米，如果它滚动10周，压路的面积是多少平方米？例2.一台压路机的滚筒宽1.2米，直径为8分米，如果它滚动149解答8分米=0.8米S侧=0.8×3.14×1.2=3.0144平方米3.0144×10=30.144平方米答：压路的面积是30.144平方米。解答8分米=0.8米150例3.一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的高是12.56厘米，则这个圆柱的表面积是多少？（保留整数）例3.一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的高是12.151

解答r=12.56÷3.14÷2=2（厘米）S底=2×2×3.14=12.56（平方厘米）12.56×2=25.12（平方厘米）S侧=12.56×12.56=157.7536（平方厘米）S表=25.12+157.7536≈183（平方厘米）答：这个圆柱的表面积是183平方厘米。解答r=12.56÷3.14÷2=2（