正弦定理第二课时课件苏教版必修

1．1

正弦定理第二课时课标要求：1.掌握正弦定理及其变式的结构特征和功能，明确应用正弦定理解斜三角形的可解类型，能熟练地运用正弦定理解斜三角形，会用计算器求三角形的近似解．

2．探究三角形面积公式的表现形式，会结合正弦定理解与面积有关的斜三角形问题．重点难点：本节重点：三角形面积公式的理解及应用．本节难点：三角形解的个数的判定．课标定位基础知识梳理1．三角形面积公式(1)S△＝

.(2)S△＝(其中ha，hb，hc分别表示三边a，b，c上的高)1＝2absinC

＝1＝

2a·ha12bcsinA12c·hc1＝

2b·hb12acsinB2．已知两边a，b和一边的对角B，求角A时的解的情况已知a、b和B，用正弦定理求A时，由于已知三角形的两边和其中一条边所对的角不能确定惟一的三角形，因此，解答此类题目时常常出现无解、一解、两解三种情况，具体解的情况如下：(1)当角B为锐角时①当b＝asinB时，如图1，以点C为圆心，以b为半径画弧，弧与射线BA相切，只有一个交点，此时三角形只有一解；②当b＜asinB时，如图2，以点C为圆心，以b为半径画弧，弧与射线BA相离，无交点，此时三角形无解；③当asinB＜b＜a时，如图3，以点C为圆心，以b为半径画弧，弧与射线BA有两个交点，此时三角形有两解；④当b＞a时，如图4，以点C为圆心，以b为半径画弧，弧与射线BA只有一个交点，此时三角形只有一解；⑤当b＝a时，显然只有一解．当角B为钝角时①当b＜a时，如图，以点C为圆心，以b为半径画弧，弧与射线BA无交点，此时三角形无解；②当b＞a时，如图，以点C为圆心，以b为半径画弧，弧与射线BA只有一个交点，此时三角形只有一解；③当b＝a时，无解．当角B为直角时①当b＞a时，显然一解；②当b＜a时或当b＝a时，无解．课堂互动讲练题型一三角形解的情况的判定已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其它的边与角．由于三角形的形状不能惟一确定，因而会出现一解、两解和无解三种情况．可结合示意图进行判断．在△ABC

中，分别根据所给条件指出解的个数：(1)a＝4，b＝5，A＝30°；(2)a＝5，b＝4，A＝60°；a＝a＝3，b＝3，b＝2，B＝120°；6，A＝60°.例1【分析】画出示意图，由草图判定解的个数．2【解】

(1)∵a<b，bsinA＝5<4＜5，∴有两解．(2)∵a>b，A<90°，∴B<A＜90°，∴有一解．

(3)∵B>90°，a>b，∴A＞B＞90°，∴无解．(4)∵a<b，bsinA＝6×

3＝32

22，∴a<bsinA<b，∴无解．【点评】

在△ABC

中，已知

a、b

及

A，则a(1)若sinB＝bsinA>1，无解．a(2)若sinB＝bsinA＝1，一解．(3)若sinB＝bsinA<1，a①a>b

时，比较sinB

与sinA

的大小：若sinA>sinB，则A>B，一解．若sinA≤sinB，无解．②a＝b时，一解．③a<b时，比较sinB与sinA的大小：若sinA≥sinB，无解．若sinA<sinB，则A<B，两解．1．在△ABC

中，分别根据下列条件指出解的个数．(1)a＝2，b＝3，A＝60°；(2)a＝2

3，b＝2

2，A＝45°.解：(1)∵a<b，bsinA＝3 3，∵a<bsinA<b，∴无解．2(2)∵a>b，A<90°，∴B<A，∴有一解．变式训练在解决与三角形面积有关的问题时合理地使用公式，尤其是

S

1

1

1＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA，会使问题简化．题型二利用三角形面积公式解决问题(2009

年高考北京卷)在△ABC中，角A、B、C

的对边分别为a、b、c，Bπ

4＝3，cosA＝5，b＝

3.(1)求sinC

的值；(2)求△ABC

的面积．例2【分析】(1)根据三角形内角和定理，A＋C＝π－B

2π，＝

32π

4即C＝

3

－A，只要再根据cosA＝5求出sinA

的值，根据两角差的正弦公式即可求出sinC

的值；(2)相当于知道了三角形三个内角以及一条边长，只要再求出一条边长就可以根据三角形面积公式求出△ABC

的面积．π【解】

(1)因为角

A，B，C

为△ABC

的内角，且

B＝3，4cosA＝

5，所以C＝2π－A，sinA＝3.3

53

2

2

10于是

sinC＝sin(2π－A)＝

3cosA＋1sinA＝3＋4

3.(2)由(1)知sinA3103＋4

3＝5，sinC＝

.π又因为B＝3，b＝3，所以在△ABC

中，由正弦定理得a＝bsinA＝6.sinB

51

6于是△

ABC

的面积

S＝1absinC＝

×

×2

2

5103×3＋4

3＝36＋9

3.50【点评】

本题主要考查三角形的边角关系和面积计算，灵活运用三角变换公式是解决问题的关键．2．在△ABC

中，c＝22，a>b，Cπ＝4，且sinA3

10＝

10，sinB＝2

5，试求a，b

及三角形的面积．5变式训练解：由正弦定理得：csinAa＝

sinC

＝3

102

2·

10

22＝6

105，c·sinBb＝

sinC

＝2

52

2·

5

228

5＝

5

.∴S△ABC5＝1

6 10

8

52·

·

5

·sin4π＝245

.在利用正弦定理解题时要注意定理本身和以下的变式：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，或bsinA＝asinB，csinB＝bsinC

csinA＝asinC；a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；S△ABC＝1absinC＝1bcsinA＝1acsinB.另外三角函数中的一些公式2

2

2也要注意，这些是解决有关问题的重要手段．题型三正弦定理及其变形的简单应用在△

ABC

中，

若

a

∶

b

∶

c

＝

1

∶

3

∶

5

，

求2sinA－sinB

sinC的值．例3【分析】

由结构a∶b∶c＝1∶3∶5想到正弦定理的变式．【解】

由条件

＝a

sinAc

sinC1

1＝5，∴sinA＝5sinC，5同理可得sinB＝3sinC，sinC2sinA－sinB

5

5

∴

＝2×1sinC－3sinCsinC1＝－5【点评】利用比例性质可使问题简化．规律方法总结1．正弦定理表达了三角形的边和角的关系，其作用是解三角形，而且正弦定理有若干变形形式，应用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的互相转换．通过应用还应发现它与三角函数、平面向量知识在解三角形中有密切的联系．2．应用正弦定理，要明确角化边或边化角的方向，正确判断解的个数，特别注意对已知