微分方程(罗兆富等编)第九章-非线性偏微分方程的Adomian分解法课件

第九章非线性偏微分方程Adomian分解法

的第一节非线性项的Adomian多项式分解

第二节用Adomian分解法解非线性偏微分方程第三节数学物理中的几个著名偏微分方程第四节非线性常微分方程的Adomian分解法第九章非线性偏微分方程Adomian分解法的第一节(9.1.01)而得到其解,其中级数的通项un(x,y)由递推方式确定.第一节非线性项的Adomian多项式分解

在求解线性微分方程时,Adomian分解法将方程中的未知函数u分裂成一个无穷级数然而,将(9.1.01)代入非线性微分方程时,由于非线性项的存在,我们得不到un递推公式.

例如方程中的项sinu,6u2ux都是非线性项.(9.1.01)而得到其解,其中级数的通项un(x,y(9.1.02)

下面,我们将犹如sinu,6u2ux

这样的非线性项抽象地记为F(u),Adomian分解法的处理办法是将F(u)线性化,具体作法是将F(u)分裂成一个无穷级数其中每一个An称为Adomian多项式,

(9.1.03)由下式确定其中ui来自于(9.1.01).(9.1.02)下面,我们将犹如sinu,(9.1.03)一般表达式(9.1.03)可简化如下:.............................................................(9.1.04)(9.1.03)一般表达式(9.1.03)可简化如下:例1.

计算F(u)=u2的Adomian多项式.

解:

■例1.计算F(u)=u2的Adomian多项式.解例2.

计算F(u)=ux3的Adomian多项式.

解:

■例2.计算F(u)=ux3的Adomian多项式.例3.

计算F(u)=uux的Adomian多项式.

解:

■由例1,G(u)=u2

的的Adomian多项式已求出,只须对其乘以再关于x求一阶导数就得到F(u)=uux的Adomian多项式:例3.计算F(u)=uux的Adomian多项式.例4.

计算F(u)=sinu的Adomian多项式.

解:

■例4.计算F(u)=sinu的Adomian多项式.例5.

计算F(u)=sinhu的Adomian多项式.

解:

■例5.计算F(u)=sinhu的Adomian多项式.例6.

计算F(u)=eu的Adomian多项式.

解:

■例6.计算F(u)=eu的Adomian多项式.解:本节结束！本节结束！(9.1.01)而得到其解,其中级数的通项un由递推方式确定,只是在非线性项中用Adomian多项式的展开式代替即可.

具体而言之,我们考虑算子形式的非线性微分方程(9.2.01)第二节用Adomian分解法解非线性偏微分方程与线性偏微分方程的情形一样,非线性偏微分方程的Adomian分解法也是将方程中的未知函数u分裂成一个无穷级数

(9.1.01)而得到其解,其中级数的通项un由递推方式确其中Lx是一个关于x的最高阶微分算子,Ly

是一个关于y的最高阶微分算子,R是关于其它变量的线性偏微分算子,F(u)是非线性项,g是自由项

.学者们已证明,无论是从算子方程Lxu还是从Lyu开始都可得到解并且这样得到的解都是等价的并且都收敛于精确解.

然而,在Lx

和Ly选用哪一个来求解定解问题则依赖于下列两个基点：(1)能使计算量达最小;(2)具有使解级数具有加速收敛的附加条件.

具体而言之,我们考虑算子形式的非线性微分方程(9.2.01)其中Lx是一个关于x的最高阶微分算子,Ly是一个关于y的

我们将逆算子Lx-1作用于(9.2.02)的两端并利用已给初边值条件,得到假设Lxu满足上述两个条件,则由(9.2.01),得(9.2.02)(9.2.03)其中(9.2.01)(9.2.04)我们将逆算子Lx-1作用于(9.2.02)的两(9.2.03)(9.2.04)Adomian分解法指出,通项un的递推公式是(9.2.05)也就是............................(9.2.03)(9.2.04)Adomian分解法指出,

将这些求出的un代入(9.1.01)就得到方程(9.2.01)的级数形式的解.

学者们的研究表明,如果方程(9.2.01)存在精确解,则所得到的级数解将快速收敛到精确解.但在具体问题中,如果级数的和函数不容易求出,则可取适当选取项数从而得到高精度的数值解.(9.1.01)(9.2.01)将这些求出的un代入(9.1.01)就得到方程例1.

求解非齐次对流问题其中u=u(x,t).

解:

将方程写成算子形式其中且Lt是可逆的,将其逆算子于方程的两端,并注意到初始条件得到作用例1.求解非齐次对流问题其中u=u(x,t).从而得到递推公式..........................由第一节的例3,记...........................................计算得到..........................所以方程的精确解为■

则从而得到递推公式....................例2.

求解非齐次偏微分方程其中u=u(x,y).

解:

将方程写成算子形式其中并且例2.求解非齐次偏微分方程其中u=u(x,y).从而得到递推公式...................................从而得到递推公式.......................................................................从而得到......................................................................................................................................................................................................................................................所以方程的级数形式的解为■所以方程的级数形式的解为■例3.

求解非线性偏微分方程其中u=u(x,y).

解:

将方程写成算子形式其中且Lxx是可逆的,将其逆算子作用于方程的两端,并注意到初始条件得到例3.求解非线性偏微分方程其中u=u(x,y).从而得到递推公式..........................由第一节的例1,有....................................................计算得到..........................所以方程的精确解为

■

从而得到递推公式....................本节结束！本节结束！第三节数学物理中的几个著名偏微分方程

克莱因-戈登方程(Klein-Gordonequation)是量子场论中的最基本方程,常用于描述色散波现象.克莱因-戈尔登方程是由瑞典物理学家奥斯卡·克莱因和德国人沃尔特·戈登于二十世纪二三十年代分别独立推导得出的.一、克莱因-戈登方程

1.线性克莱因-戈登方程线性克莱因-戈登方程的标准形式是(9.3.01)其中a是常数,h是自由项.当a=0时,(9.3.01)成为非齐次波动方程.第三节数学物理中的几个著名偏微分方程克莱

线性克莱因-戈登方程是量子力学中最重要的方程,由相对论能量公式导出.例1.

求解线性克莱因-戈登方程的初值问题其中u=u(x,t).

解:

将方程写成算子形式其中且Ltt是可逆的,将其逆算子作用于方程的两端,并注意到初始条件得到线性克莱因-戈登方程是量子力学中最重要的方程从而得到递推公式计算得到...................................................................所以方程的精确解为■从而得到递推公式计算得到..............2.非线性克莱因-戈登方程非线性克莱因-戈登方程的标准形式是(9.3.02)其中a是常数,h是自由项,F是u的非线性函数.2.非线性克莱因-戈登方程非线性克莱因-戈登方程的标例2.

求解非线性偏微分方程其中u=u(x,t).

解:

将方程写成算子形式其中且Ltt是可逆的,将其逆算子作用于方程的两端,并注意到初始条件得到例2.求解非线性偏微分方程其中u=u(x,t).从而得到递推公式..........................由第一节的例1,有..........................计算得到噪声?

所以方程的精确解为■例2.

求解非线性偏微分方程其中u=u(x,t).从而得到递推公式....................

3.正弦-戈登方程

正弦-戈登方程(sine-Gordonequation)的标准形式是

(9.3.03)其中c,α是常数.正弦-戈登方程源自微分几何,后来发现它出现在许多物理现象中.例如,电磁流的传播和液体运动的稳定性等.3.正弦-戈登方程正弦-戈登方程(sine-Gord例3.求解正弦-戈登方程的初值问题

其中u=u(x,t).

解:

将方程写成算子形式其中且Ltt是可逆的,将其逆算子作用于方程的两端,并注意到初始条件得到例3.求解正弦-戈登方程的初值问题其中u=u(x,t从而得到递推公式..........................由第一节的例4,有..........................计算得到..........................从而得到递推公式....................所以方程的级数解为■二、伯格斯方程

伯格斯方程(Burgersequation)的标准形式是(9.3.04)其中是表示运动粘度的常数.当粘度时,方程称为无粘度伯格斯方程.无粘度伯格斯方程描述空气动力学.所以方程的级数解为■二、伯格斯方程伯格斯方程(Bu例4.

求解伯格斯方程其中u=u(x,t).

解:

将方程写成算子形式其中且Lt是可逆的,将其逆算子于方程的两端,并注意到初始条件得到作用例4.求解伯格斯方程其中u=u(x,t).解:从而得到递推公式..........................由第一节的例3,有......................................计算得到..........................从而得到递推公式....................所以方程的级数解为■三、电报方程

电报方程(telegraphequation)的标准形式是其中u=u(x,t)是电阻,a,b和c分别是与电缆的电感应、电容和电导率相关的常数.电报方程描述的是电缆中电信号的传播.(9.3.05)所以方程的级数解为■三、电报方程电报方程(tel若a=0,c=0,我们得到标准热传导方程三、电报方程

电报方程(telegraphequation)的标准形式是(9.3.05)其中u=u(x,t)是电阻,a,b和c分别是与电缆的电感应、电容和电导率相关的常数.电报方程描述的是电缆中电信号的传播.(9.3.06)当b=0,c=0,我们得到标准波动导方程(9.3.07)(书上有误!)若a=0,c=0,我们得到标准热传导方程三、电报方程例5.

求解电报方程其中u=u(x,t).

解:

将方程写成算子形式其中且Lxx是可逆的,将其逆算子作用于方程的两端,并注意到初始条件得到例5.求解电报方程其中u=u(x,t).解:从而得到递推公式..........................计算得到..........................从而得到递推公式....................所以方程的级数解为■所以方程的级数解为■四、KDV方程

KDV方程(Korteweg-deVriesequation)的标准形式是

(9.3.08)KdV方程是1895年由荷兰数学家科特韦格(Korteweg)和德弗里斯(deVries)在研究浅水槽中小振幅长波运动时共同发现的一种单向运动浅水波偏微分方程(也有人称之为科特韦格-德弗里斯方程,但一般都习惯直接叫KdV方程).

其中a是常数.四、KDV方程KDV方程(Korteweg-deVri例6.

求解伯格斯方程其中u=u(x,t).

解:

将方程写成算子形式其中且Lt是可逆的,将其逆算子于方程的两端,并注意到初始条件得到作用例6.求解伯格斯方程其中u=u(x,t).解:从而得到递推公式..........................由第一节的例3,有......................................计算得到..........................从而得到递推公式....................所以方程的级数解为■所以方程的级数解为■本节结束！本节结束！我们考虑算子形式的非线性常微分方程(9.4.01)

我们在前面已经看到,Adomian分解法在求解偏微分方程时显示出巨大的威力,不仅如此,Adomian分解法对求解非线性常微分程同样也是十分有效的.第四节非线性常微分方程的Adomian分解法其中Lx是一个关于自变量x的最高阶微分算子,R是其它线性微分算子,F(y)是非线性项,g是自由项.由(9.4.01),得(9.4.02)我们考虑算子形式的非线性常微分方程(9.4.01)(9.4.02)

我们将逆算子Lx-1作用于(9.4.02)的两端并利用已给初边值条件,得到(9.4.03)其中(9.4.02)我们将逆算子Lx-1作用于(

我们将逆算子Lx-1作用于(9.4.02)的两端并利用已给初边值条件,得到(9.4.03)(9.4.04)Adomian分解法指出,通项yn的递推公式是也就是............................我们将逆算子Lx-1作用于(9.4.02)的也就是............................将这些求出的yn(x)代入

就得到方程(9.4.01)的级数