第10章-期权定价模型与数值方法课件

第10章期权定价模型与数值方法第10章10.1

期权基础概念

1．期权的定义期权分为买入期权（calloption）和卖出期权（putoption）。

买入期权:又称看涨期权（或敲入期权），它是赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。

卖出期权:又称看跌期权（或敲出期权），它是赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。2．期权的要素期权的四个要素：行权价（exerciseprice或strikingprice）、到期日（maturingdata）、标的资产（underlyingasset）、期权费（optionpremium）。对于期权的购买者（持有者）而言，付出期权费后，只有权利没有义务；对期权的出售者而言，接受期权费后，只有义务没有权利。10.1.1

期权及其有关概念10.1期权基础概念1．期权的定义10.1.1期权3．期权的内在价值买入期权在执行日的价值CT为CT=max(ST

－E,0)式中:E表示行权价；ST表示标的资产的市场价。卖出期权在执行日的价值PT为PT=max(E－ST,0)根据期权的行权价与标的资产市场价之间的关系，期权可分为价内期权（inthemoney）(S>E)、平价期权（atthemoney）(S=E)和价外期权（outofthemoney）(S<E)。10.1.1

期权及其有关概念说明期权价格与股票价格相关3．期权的内在价值10.1.1期权及其有关概念说明期权10.2.4

Black-Scholes方程求解BlackScholes微分方程的风险中性定价。在风险中性事件中，以下两个结论称为风险中性定价原则:

任何可交易的基础金融资产的瞬时期望收益率均为无风险利率，即恒有μ=r;

任何一种衍生工具当前t时刻的价值均等于未来T时刻其价值的期望值按无风险利率贴现的现值。BlackScholes期权定价公式，欧式买权或卖权解的表达式为式中：10.2.4Black-Scholes方程求解BlackMATLAB中计算期权价格的函数为blsprice函数，语法为\[Call,Put\]=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)输入参数：Price：标的资产市场价格；Strike：执行价格；Rate：无风险利率；Time：距离到期时间；Volatility：标的资产价格波动率；Yield：（可选）资产连续贴现利率，默认为0。输出参数：Call:Calloption价格；Put：Putoption价格。10.2.4

Black-Scholes方程求解10.2.4Black-Scholes方程求解例10.2

假设欧式股票期权,三个月后到期,执行价格95元,现价为100元,无股利支付,股价年化波动率为50%,无风险利率为10%,计算期权价格。代码如下:10.2.4

Black-Scholes方程求解%标底资产价格Price=100;%执行价格Strike=95;%无风险收益率（年化）10%Rate=0.1%剩余时间Time=3/12;%年化波动率Volatility=0.5[Call,Put]=blsprice(100,95,0.1,0.25,0.5)>>Call=13.70%买入期权>>Put=6.35%卖出期权例10.2假设欧式股票期权,三个月后到期,执行价格9510.2.5

影响期权价格的因素分析期权价格受到当前价格S、执行价格E、期权的期限T、股票价格方差率σ2及无风险利率r五个因素的影响。下面以欧式看涨期权为例来分析。期权对这五个因素的敏感程度称为期权的Greeks，其计算公式与计算函数如下。1.德尔塔（Delta）δ期权δ是考察期权价格随标的资产价格变化的关系，从数学角度看，δ是期权价格相对于标的资产价格的偏导数,有计算函数为blsdelta.m,函数语法如下：10.2.5影响期权价格的因素分析期权价格受到当前价格S10.2.5

影响期权价格的因素分析[CallDelta,PutDelta]=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)输入参数：Price：标的资产市场价格；Strike：执行价格；Rate：无风险利率；Time：距离到期时间；Volatility：标的资产价格波动率；Yield：（可选）资产连续贴现利率，默认为0。输出参数：CallDelta:看涨期权的δ；PutDelta：看跌期权的δ。10.2.5影响期权价格的因素分析[CallDelta,例10.2假设欧式股票期权,三个月后到期,执行价格95元,现价为100元,无股利支付,股价年化波动率为50%,无风险利率为10%,计算期权δ。代码如下:Price=60:1:100;%标底资产价格Strike=95;%执行价格Rate=0.1;%无风险收益率（年化）Time=(1:1:12)/12;%剩余时间Volatility=0.5;%年化波动率[CallDelta,PutDelta]=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility)

例10.2假设欧式股票期权,三个月后到期,执行价格95若要分析期权δ与标的资产价格、剩余期限的关系，即不同的Price与Time计算不同的δ三维关系，可以编写如下代码：Price=60:1:100;%标底资产价格Strike=95;%执行价格Rate=0.1;%无风险收益率（年化）Time=(1:1:12)/12;%剩余时间Volatility=0.5;%年化波动率[Price,Time]=meshgrid(Price,Time);[Calldelta,Putdelta]=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility);%mesh(Price,Time,Calldelta);mesh(Price,Time,Putdelta);xlabel('StockPrice');ylabel('Time(year)');zlabel('Delta');若要分析期权δ与标的资产价格、剩余期限的关系，即不同的Pri第10章-期权定价模型与数值方法ppt课件10.2.5

影响期权价格的因素分析2.西塔（Theta）θθ表示期权价格对于到期日的敏感度，称为期权的时间损耗。10.2.5影响期权价格的因素分析2.西塔（Theta3.维伽（Vega）νν表示方差率对期权价格的影响。4.珞（Rho）ρρ为期权的价值随利率波动的敏感度，利率增加，使期权价值变大。

5.伽玛（Gamma）ΓΓ表示δ与标的资产价格变动的关系。10.2.5

影响期权价格的因素分析3.维伽（Vega）ν10.2.5影响期权价格的因素分10.3

B－S公式隐含波动率计算BlackScholes期权定价公式，欧式期权理论价格的表达式：式中：隐含波动率是将市场上的期权交易价格代入权证理论价格BlackScholes模型反推出来的波动率数值。由于期权定价BS模型给出了期权价格与五个基本参数之间的定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入定价公式，就可以从中解出惟一的未知量，其大小就是隐含波动率。10.3.1

隐含波动率概念10.3B－S公式隐含波动率计算BlackScholes期10.3.2

隐含波动率计算方法隐含波动率是把权证的价格代入BS模型中反算出来的，它反映了投资者对未来标的证券波动率的预期。BlackScholes期权定价公式中已知St(标的资产市场价格)、X(执行价格)、r(无风险利率)、T－t(距离到期时间)、看涨期权ct或者看跌期权pt,根据B－S公式计算出与其相应的隐含波动率σyin。数学模型为式中:求解方程fc(σyin)=0,fp

(σyin)=0的根。本质上是非线性方程10.3.2隐含波动率计算方法隐含波动率是把权证的价格代10.3.3

隐含波动率计算程序利用fsolve函数计算隐含波动率，fsolve是MATLAB最主要内置的求解方程组的函数，具体fsolve的使用方法可以参看相关函数说明。例10.4假设欧式股票期权，3个月后到期，执行价格95元，现价为100元，无股利支付，股价年化波动率为50%，无风险利率为10%，计算期权价格。计算结果如下：假设目前其期权交易价格为Call=15.00元，Put=7.00元，分别计算其相对应的隐含波动率。>>[Call,Put]=blsprice(100,95,0.1,0.25,0.5)>>Call=13.6953Put=6.349710.3.3隐含波动率计算程序利用fsolve函数计算隐步骤1：建立方程函数。看涨期权隐含波动率方程的M文件ImpliedVolatitityCallObj.M，其语法如下：f=ImpliedVolatitityCallObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Callprice)程序代码如下:functionf=ImpliedVolatitityCallObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Callprice)%ImpliedVolatitityCallObj%codebyariszheng@2009-8-3[Call,Put]=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility);%存在一个波动率使得下列等式成立%fc(ImpliedVolatitity)=Call-Callprice=0f=Call-Callprice;10.3.3

隐含波动率计算程序步骤1：建立方程函数。functionf=ImpliedV看跌期权隐含波动率方程的M文件为ImpliedVolatitityPutObj.m,其语法如下:f=ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Putprice)程序代码如下:functionf=ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Putprice)%ImpliedVolatitityCallObj%codebyariszheng@2009-8-3%根据参数，使用blsprice计算期权价格[Call,Put]=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility);%fp(ImpliedVolatitity)=Put-Putprice=0%目标使得寻找X使得目标函数为0f=Put-Putprice;10.3.3

隐含波动率计算程序看跌期权隐含波动率方程的M文件为ImpliedVolati步骤2：求解方程函数。求解方程函数的M文件为ImpliedVolatility.m,其语法如下：\[Vc,Vp,Cfval,Pfval\]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)function[Vc,Vp,Cfval,Pfval]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)%ImpliedVolatility%codebyariszheng@2009-8-3Volatility0=1.0;%优化算法初始迭代点;%CallPrice对应的隐含波动率[Vc,Cfval]=fsolve(@(Volatility)ImpliedVolatitityCallObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,CallPrice),Volatility0);%CallPrice对应的隐含波动率[Vp,Pfval]=fsolve(@(Volatility)ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,PutPrice),Volatility0);10.3.3

隐含波动率计算程序步骤2：求解方程函数。function[Vc,Vp,Cf步骤3：函数求解。M文件TestImpliedVolatility.M代码如下：%TestImpliedVolatility%市场价格Price=100;%执行价格Strike=95;%无风险利率Rate=0.10;%时间（年）Time=0.25;CallPrice=15.0;%看涨期权交易价格PutPrice=7.0;%看跌期权交易价格%调用ImpliedVolatility函数[Vc,Vp,Cfval,Pfval]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)10.3.3

隐含波动率计算程序步骤3：函数求解。%TestImpliedVolatili隐含波动率与期权价格关系图Price=100;Strike=95;Rate=0.10;Time=1.0;Volatility=0:0.1:2.0;n=length(Volatility);Call=zeros(n,1);Put=zeros(n,1);fori=1:n[Call(i),Put(i)]=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility(i));endsubplot(2,1,1)plot(Volatility,Call,'-*');legend('CallPrice')subplot(2,1,2)plot(Volatility,Put,'-o');legend('PutPrice')隐含波动率与期权价格关系图Price=100;第10章-期权定价模型与数值方法ppt课件知识脉络图期权定价理论数值实现期权定价函数blsprice.m影响期权价格因素的计算函数blsdelta.mblsgamma.mblslambda.mblsrho.mblstheta.mblsvega.m隐含波动率计算知识脉络图期权定价理论数值实现期权定价函数blsprice.10.4期权二叉树模型二叉树期权定价模型是由J.C.Cox、S.A.Ross和M.Rubinstein于1979年首先提出的，已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以应用。10.4.1

二叉树模型的基本理论二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔Δt，并假设在每一个时间间隔Δt内证券价格只有两种运动的可能：从开始的S上升到原来的u倍，即到达Su；下降到原来的d倍，即Sd。其中，u>1，d<1。价格上升的概率假设为p，下降的概率假设为1－p。相应地，期权价值也会有所不同，分别为fu和fd，如右图所示。

Δt

时间内资产价格的变动10.4期权二叉树模型二叉树期权定价模型是由J.C.Cox期权二叉树模型定价计算方法单阶段情形多阶段情形无风险原则无套利原则期权二叉树模型定价计算方法单阶段情形无风险原则无套利原则10.4.2

二叉树模型的计算在MATLAB的finance工具箱中提供二叉树模型计算期权价格的函数binprice，其语法如下：\[AssetPrice,OptionValue\]=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,Flag,DividendRate,Dividend,ExDiv)输入参数：Price：标的资产市场价格；Strike：执行价格；Rate：无风险利率；Time：距离到期时间；Increment:每个阶段的时间间隔，例如1年分12阶二叉树，每阶段时长1个月；Volatility：波动率；Flag:期权种类标记，flag=1看涨期权，flag=0看跌期权；DividendRate：（可选）分红率；Dividend：（可选）分红金额向量；ExDiv：（可选）额外份额金额。输出参数：AssetPrice：标的资产价格；OptionValue：期权价格。10.4.2二叉树模型的计算在MATLAB的10.4.2

二叉树模型的计算例10.5

假设欧式股票期权,六个月后到期,执行价格95元,现价为100元,无股利支付,股价年化波动率为50%,无风险利率为10%,则期权价格代码如下:%标底资产价格Price=100;%执行价格Strike=95;%无风险收益率（年化）Rate=0.1;%10%%剩余时间Time=6/12;%;%看涨期权

flag=1;%每阶段间个1个月Increment=1/12;%波动率

Volatility=0.5;%调用binprice函数[AssetPrice,OptionValue]=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,flag)10.4.2二叉树模型的计算例10.5假设欧式股票期运行结果期权价格二叉树走势图标的资产价格二叉树走势图运行结果期权价格二叉树走势图标的资产价格二叉树走势图知识脉络图期权二叉树定价模型计算函数binprice.m算例实验知识脉络图期权二叉树定价模型计算函数binprice.m算例10.5期权定价的蒙特卡罗方法10.5.1模拟基本思路以欧式期权f(t,S)（即期权价值只与两个状态变量：资产价格S和时间t有关，且利率为常数）为例，以说明蒙特卡罗模拟的基本方法：①从初始时刻的标的资产价格开始，直到到期T，为S取在风险中性事件跨越整个有效期的一条随机路径，这就给出了标的资产价格路径的一个实现；②计算出这条路径下期权的回报；③重复①、②，得到许多样本结果，即风险中性事件中的期权回报的值；④计算这些样本回