格林公式积分与路径无关的条件课件

第三节一、格林公式

二、积分与路径无关的条件格林公式及其应用

第十一章三、原函数四、全微分方程第三节一、格林公式二、积分与路径无关的条件格林公式及其区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)定理1.

设区域D

是由分段光滑曲线L围成,则有(Green公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,或一、格林公式区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(证明:1)凸的单连通域则证明:1)凸的单连通域则即同理可证①②①、②两式相加得:即同理可证①②①、②两式相加得:2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图复连通区域:

外边界取逆时针方向,内边界取顺时针方向.2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个建立了平面域D上的二重积分与D的边界线上第二类曲线积分之间的联系格林公式

注意三点：

(1)

封闭的边界曲线

(2)

方向

(3)

有连续偏导数建立了平面域D上的二重积分与D的边界线上第二类曲线积分之间的推论:正向闭曲线L

所围区域D

的面积格林公式例如,椭圆所围面积推论:正向闭曲线L所围区域D的面积格林公式例如,解一解一解二P、Q在L所围区域D内有连续的一阶偏导数,由Green公式得解二P、Q在L所围区域D内有连续的一阶偏导数,由Green公例2.求其中从

z

轴正向看去为顺时针方向.解二:记在xoy面的投影曲线L,其包围区域为D.由z=2+y-x,得例2.求其中从z轴正向看去为顺时针方向.解二:记解不封闭加辅助线OA.的一段,求+0解不封闭加辅助线OA.的一段,求+0其中L为①不包围也不通过原点的任意闭曲线②以原点为中心的正向单位圆周③包围原点的任意正向闭曲线例4计算其中L为①不包围也不通过原点的任意闭曲线②以原点为中心的正向其中L为①不包围不通过原点②以原点为中心的正向单位圆周解

①L包围的区域不含原点,满足Green公式的条件.除原点外,有由Green公式得②圆的参数方程为其中L为①不包围不通过原点②以原点为中心的正向单位圆周解①在所为区域D内作小圆取逆时针方向,,对区域应用格林公式,得记l

所围的区域为③=0③包围原点的任意正向闭曲线yxo在所为区域D内作小圆取逆时针方向,,对区域应用格林公式,以及在D内任意两条从A到B

的有向分段光滑曲线,都有设P(x,y)和Q(x,y)定义在区域D上,如果对于D内任意给定的两点A和B,D二、积分与路径无关的条件则称曲线积分在区域D内与路径无关.以及在D内任意两条从A到B的有向分段光滑曲线定理2.

设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)(3)(4)在D内每一点都有在D内与路径无关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,说明:

积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B

的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数证明(2)(3)在D内取定点因曲证明

(3)(4)设存在函数

u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有证明(3)(4)设存在函数u证明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕证明(4)(1)设L为D中任一分定理的说明：两条件缺一不可当积分与路径无关时,积分路径可以自由选择.一般取由起点到终点的折线:线段分别平行于x,y轴.定理的说明：两条件缺一不可当积分与路径无关时,积分路径可以解1AB(1,1)oxy原式解1AB(1,1)oxy原式解除原点外,有如图所示,取圆弧曲线积分在不包含原点的单连通区域内与路径无关注意:解除原点外,有如图所示,取圆弧曲线积分在不包含原点的单连通解即故(沿折线)解即故(沿折线)三原函数若在区域D

内满足则存在函数其全微分为称这一判别法则为全微分准则.称函数为的一个原函数.的全体原函数为C为任意常数.三原函数若在区域D内满足则存在函数其全微分为称这一判的任一个原函数是的任一个原函数是解由例9验证是全微分,并求出原函数知为全微分.全体原函数为解由例9验证是全微分,并求出原函数知为全微分.全体原函解法2不定积分法由而由题设故得解法2不定积分法由而由题设故得解法3凑全微分法知解法3凑全微分法知例10得(x>0)即例10得(x>0)即判别:P,Q

在某单连通域D内有连续一阶偏导数,①为全微分方程则求解步骤:1.求原函数

u(x,y)2.由du=0知通解为

u(x,y)=C.四、全微分方程则称为全微分方程

(又叫做恰当方程

).①判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,①为全例11.求解解:因为故这是全微分方程.则有因此方程的通解为例11.求解解:因为故这是全微分方程.则有因此方程的通内容小结1.格林公式2.积分与路径无关的等价条件在

D

内与路径无关.在

D

内有对D

内任意闭曲线L有在D

内有设P,Q

在单连通域D

内具有连续偏导数,则有(存在原函数)是全微分方程内容小结1.格林公式2.积分与路径无