数字信号处理-时域离散信号和系统的频域分析-课件3

序列x(n)的Z变换定义为：

注意：式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。在定义中，对n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式

2.5序列的Z变换

在模拟信号和系统中，用FT进行频域分析，用拉普拉斯变换对信号进行复频域分析。

在时域离散信号和系统中，用序列的FT进行频域分析，用Z变换进行复频域分析。2.5.1Z变换的定义2023/8/3序列x(n)的Z变换定义为：2.5序列的Z变换1

Z变换存在的条件：等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即：

使上式成立的Z变量取值的域称为收敛域。收敛域一般为环状域

令：Z=rejw

，代入上式可得到：Rx-<r<Rx+2.5序列的Z变换收敛域分别是以为Rx-和Rx+为半径的两个圆形成的环状域2023/8/3Z变换存在的条件：等号右边级数收敛，要求级数绝对可和2

常用的Z变换是一个有理函数，可用两个多项式之比表示

收敛域总是用极点限定其边界。

对比序列的FT和ZT的定义式，可得到FT和ZT之间的关系：

单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。根据已知序列的Z变换求序列的FT的条件是：收敛域中包含单位圆。

z=ejω：表示在z平面上r=1的圆，称为单位圆2.5序列的Z变换Q(z)的根是X(z)的极点P(z)的根是X(z)的零点2023/8/3常用的Z变换是一个有理函数，可用两个多项式之比表示32.5.2Z变换的收敛域1.有限长序列

这类序列只在有限的区间（n1≤n≤n2）具有非零的有限值，其z变换为

因为X(z)是有限项级数之和，故只需级数的每一项有界，则级数就收敛，即要求|x(n)z-n|<∞。由于x(n)有界，故要求|z-n|<∞。2023/8/32.5.2Z变换的收敛域1.有限长序列这类序列只在4显然，在0<|z|<∞上都满足此条件。在n1、n2满足特殊条件下，收敛域还可进一步扩大1.有限长序列2.5.2

Z变换的收敛域2023/8/3显然，在0<|z|<∞上都满足此条件。在n1、n2满足特殊条52．右边序列在n≥n1时，序列值不全为零，而在n<n1，序列值全为零。第一项为有限长序列，其收敛域为0≤|z|＜∞。第二项为因果序列，其收敛域为Rx-<|z|≤∞。右边序列Z变换的收敛域为如果序列是因果序列，其收敛域为Rx-<|z|≤∞2023/8/32．右边序列在n≥n1时，序列值不全为零，而在n<n1，序列63．左边序列左序列是在n≤n2时，序列值不全为零，而在

n>n2，序列值全为零的序列。第一项为反因果序列，其收敛域为0≤|z|＜Rx+。第二项为有限长序列，n2>0时，其收敛域为0<|z|≤∞；n2≤0时,0≤|z|<∞。2023/8/33．左边序列左序列是在n≤n2时，序列值不全为零，而在n>74．双边序列

双边序列是从n=-∞延伸到n=+∞的序列。其z变换为：显然，可以把它看成右边序列和左边序列的z变换叠加。如果Rx-<Rx+，则存在一个如下的公共收敛区域

Rx-<|z|<Rx+所以，双边序列的收敛域通常是环状区域。

2023/8/34．双边序列显然，可以把它看成右边序列和左边序列的z变换叠加81.有限长双边序列的双边Z变换的收敛域一般为

0<|z|<∞；单位序列δ(n)的双边Z变换的收敛域为全Z复平面。2.无限长右边序列的双边Z变换的收敛域为

Rx-<|z|<∞，即收敛域为半径为Rx-的圆外区域。

因果序列，收敛域为

Rx-<|z|≤∞。

3.无限长左边序列双边Z变换的收敛域为|z|＜Rx+，

即收敛域为以为Rx+半径的圆内区域。

总结2023/8/31.有限长双边序列的双边Z变换的收敛域一般为总结294.无限长双边序列双边Z变换的收敛域为Rx-<|z|<Rx+，即收敛域位于以Rx-为半径和以Rx+为半径的两个圆

之间的环状区域。5.在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点。6.不同序列的双边Z变换可能相同，即序列与其双边

Z变换不是一一对应的。序列的双边Z变换连同收

敛域一起与序列才是一一对应的。

总结2023/8/34.无限长双边序列双边Z变换的收敛域为Rx-<|z|<Rx+102.5.3逆Z变换

已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列的变换称为z反变换，正、反变换表示为：

c是X(z)收敛域中一个逆时针方向环绕原点的围线。求z反变换的方法通常有三种：

留数法、幂级数法和部分分式展开法。2023/8/32.5.3逆Z变换已知函数X(z)及其收敛域，反过来110c图2.5.3

围线积分路径2023/8/30c图2.5.3围线积分路径2023/7/29121.用留数定理求逆Z变换

如果X(z)zn-1在围线c内的极点用zk表示，根据留数定理

式中表示被积函数X(z)zn-1在极点z=zk的留数，逆Z变换则是围线c内所有的极点留数之和。

如果zk是单阶极点，则根据留数定理2023/8/31.用留数定理求逆Z变换式中13

表明，对于N阶极点，需要求N-1次导数，这是比较麻烦的。如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，可以根据留数辅助定理改求c外的所有极点留数之和，使问题简单化。

设被积函数用F(z)表示，即如果zk是N阶极点，则根据留数定理1.用留数定理求逆Z变换

2023/8/3表明，对于N阶极点，需要求N-1次导数，这是比较如果14

F(z)在z平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c将z平面上极点分成两部分：一部分是c内极点,设有N1个极点，用z1k表示；另一部分是c外极点，有N2个，N=N1+N2，用z2k表示。根据留数辅助定理下式成立：

成立的条件是F(z)的分母阶次比分子阶次必须高二阶以上。设X(z)=P(z)/Q(z)，P(z)与Q(z)分别是M与N阶多项式。即N-M-n+1≥2，因此要求

N-M-n≥1

注意：如果满足,c圆内极点中有多阶极点，而c圆外极点没有多阶的，可以改求c圆外极点留数之和，最后加一个负号。

2023/8/3F(z)在z平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c15

已知

，求出x(n)

X(z)有两个极点：z1=0.5,

z2=2，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况：|z|<0.5，0.5<|z|<2，2<|z|。三种收敛域对应三种不同的原序列。

（1）收敛域|z|<0.5；（2）收敛域0.5<|z|<2；（3）收敛域|z|<2:

令2023/8/3已知，求16

n≥0时，因为c内无极点，x(n)=0;

n≤－1时，c内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有z1=0.5,z2=2，那么

(1)收敛域|z|<0.5；2023/8/3n≥0时，因为c内无极点，x(n)=0;(1)收17

(2)收敛域0.5<|z|<2；n≥0时，c内有极点0.5，

n<0时，c内有极点0.5、0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，

x(n)=－Res［F(z),2］=－2·2nu(－n－1)最后得到2023/8/3(2)收敛域0.5<|z|<2；n≥0时，c内有极点0.18（3）收敛域|z|<2；

n≥0时，c内有极点0.5、2，

n<0时，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0；或者这样分析，c内有极点0.5、2、0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。

最后得到2023/8/3（3）收敛域|z|<2；n≥0时，c内有极点0.5、192.幂级数展开法(长除法)|z|<Rx+|z|>Rx-

Rx-<|z|<Rx+2023/8/32.幂级数展开法(长除法)|z|<Rx+|z|>R20(2)反因果序列，收敛域为(3)双边序列，收敛域为(1)因果序列，收敛域为,X(z)为z-1的幂级数，幂级数各项的系数为x(n)的值。2023/8/3(2)反因果序列，收敛域为(3)双边序列，收敛域为(1)因果21

已知

,用长除法求其逆Z变换x(n)。

因果序列1+3z-1+7z-32023/8/3已知,用长除22

已知

，用长除法求其逆Z变换x(n)。左边序列2023/8/3已知，用23

已知求F(z)的原函数f(k)。

因果序列反因果序列2023/8/3已知求243．部分分式展开法若X(z)为有理分式，则X(z)可表示为：

式中，ai(i=0，1,2,…,n)、bj(j=0，1,2,…,m)为实数，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成下式

2023/8/33．部分分式展开法若X(z)为有理分式，则X(z)可表示为：25一般先把 展开为部分分式，然后再乘以z，得到用基本形式 表示的X(z)，再根据常用Z变换对（P54）,求Z逆变换。设 的极点为一阶极点。3．部分分式展开法2023/8/3一般先把 展开为部分分式，然后再乘以z，得到用基本设 26两端乘以z，得α<|z|<β

根据X(z)的收敛域和以下变换对

|z|>|zi||z|<|zi|3．部分分式展开法2023/8/3两端乘以z，得α<|z|<β根据X(z)的收敛域和以下变27常见序列Z变换对

2023/8/3常见序列Z变换对2023/7/29282023/8/32023/7/2929

已知

求X(z)的原函数x(n)。

|z|>2

2023/8/3已知求X30

用部分分式法求

的反变换。2023/8/3用部分分式法求的反变换。31)(]2165)21(61[)(nunxnn÷øöçèæ-+=2116521161)(11zzzX++-=--2023/8/3)(]2165)21(61[)(nunxnn÷øöçèæ-+322.5.4

Z变换的性质和定理1、线性若则定义域：一般情况下，取二者的重叠部分

某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。2023/8/32.5.4Z变换的性质和定理1、线性若则定义域：一般情况332、移位特性式中，m为正整数2023/8/32、移位特性式中，m为正整数2023/7/2934零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。2023/8/3零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。2023/7/29353、尺度变换特性若ZT[x(n)]=X(z)，Rx-<|z|<Rx+则：ZT[anx(n)]=X(a-1z)，|a|Rx-<|z|<|a|Rx+4、X(z)的微分性质若：ZT[x(n)]=X(z)，Rx-<|z|<Rx+

则：

上式表明：序列x(n)的Z变换的导数乘以-z等于x(n)经线性加权后的z变换，收敛域不变。若a=-1,则有2023/8/33、尺度变换特性4、X(z)的微分性质若a=-1,则有20236

已知x(n)=anu(n),0<a<1。分别求：(1)x(n)的Z变换；

(2)nx(n)的Z变换；(3)a－nu(－n)的Z变换。(1)(2)(3)2023/8/3已知x(n)=anu(n),0<a<1。分别求：(1375、共轭序列6、反转序列若：则有：2023/8/35、共轭序列6、反转序列若：则有：2023/7/29387、初值定理

对于x(n)=0，n<0的因果序列，有：因此

证明：

8、终值定理设x(n)为因果序列，且X(z)除在z=1处可以有一阶极点外，其它极点都在|z|=1的单位圆内，则有终值定理也可用X(z)在z=1点的留数表示2023/8/37、初值定理因此证明：8、终值定理终值定理也可用X(z)399、序列卷积若ZT[x1(n)]=X1(z)，ZT[x2(n)]=X2(z)，x(n)=x1(n)*x2(n)则ZT[x1(n)*x2(n)]=X1(z)X2(z)其收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的重叠部分。10、复卷积定理若：ZT[x(n)]=X(z)，Rx-<|z|<Rx+ZT[y(n)]=Y(z)，Ry-<|z|<Ry+

w(n)=x(n)y(n)则：

W(z)的收敛域

2023/8/39、序列卷积若ZT[x1(n)]=X1(z)，ZT[x2(n40在z=a处，零极点相消，如果|b|<|a|，收敛域扩大。2023/8/3在z=a处，零极点相消，如果|b|<|a|，收敛域扩大。24111、帕斯维尔(Parseval)定理利用复卷积定理可以证明重要的帕斯维尔定理。那么：v平面上，c所在的收敛域为：2023/8/311、帕斯维尔(Parseval)定理利用复卷积定理可以证明42如果x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，

在上式中令v=ejω，得到：令x(n)=y(n)，得到：和在傅里叶变换中所讲的帕斯维尔定理(2.2.35)式是相同的。表明时域中求