2023年中考数学一轮复习考点函数中的最值问题（培优篇）

专题3.16函数中的最值问题（培优篇）

一、单选题

1.（2020•江苏宿迁•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-gx+2

上的一个动点，将Q绕点P（l,0）顺时针旋转90。，得到点Q',连接OQ',则OQ'的最小值

为（）

Q,

A.迪B.旧C.—D.延

535

2.（2018•内蒙古赤峰•中考真题）如图，直线>=-3+3与x轴、y轴分别交于A、B

两点，点P是以C（-1,0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA,PB,则E1PAB面积

的最小值是（）

3.（2021•广东•统考中考真题）设。为坐标原点，点/、8为抛物线y=f上的两个动

点，且。4,08.连接点/、8,过。作于点C,则点C到y轴距离的最大值（）

A.；B.也C.且D.1

222

4.（2022•江苏宿迁•统考中考真题）如图，点/在反比例函数y=（（x>0）的图像上，

以。4为一边作等腰直角三角形。其中□。钻=90。，AO=4},则线段08长的最小值

是（）

A.1B.y/2C.20D.4

5.（2018•江苏镇江•中考真题）如图，一次函数y=2x与反比例函数y=4（k>0）的图

X

象交于A,B两点，点P在以C（-2,0）为圆心，1为半径的DC上，Q是AP的中点，

6.（2022•四川遂宁•模拟预测）在直角坐标系xOy中，点0（0,0）,动点A（fj）在第一象

限，动点5（°，〃?）在丫轴上.当钻=4时，面积的最大值为（）

A.8B.4夜+4C.4行+4D.8a

7.（2020・贵州遵义•统考三模）如图，在平面直角坐标系xoy中，点4,C分别在坐标

轴上，且四边形O4BC是边长为3的正方形，反比例函数y=?x>0）的图像与8C,A8边分

别交于E,。两点，的面积为4,点尸为y轴上一点，则PD+PE的最小值为（）

A.3B.275C.3V2D.5

8.（2023•广西玉林•一模）如图，已知直线、=丘+2々交x、y轴于A、8两点，以A8

为边作等边A8C（4、B、C三点逆时针排列），D、E两点坐标分别为（-6,0）、（-1,0）,连

9.（2022•安徽淮南•统考二模）已知抛物线>=0^+汝+3在坐标系中的位置如图所示,

它与x,v轴的交点分别为4B,P是其对称轴x=l上的动点，根据图中提供的信息，以下

结论中不正确的是（）

x=l

3

A.2ci+b=0B.ci>——

2

c.二周长的最小值是石+3啦D.x=3是依2+法+3=0的一个根

10.（2022・江苏无锡•统考二模）如图，半径为1的M经过平面直角坐标系的原点O,

与x轴交于点出点”的坐标为（6,0）,点8是直角坐标系平面内一动点，且/4BO=30。,

A.\/3+1B.>/3+—3C.yj3+2D.>/3+—5

二、填空题

11.（2021•四川绵阳•统考二模）已知二次函数-2x-3在区0+3时的最小值是t,

则t的值为.

12.（2022•四川成都•统考中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射

物体，物体离地面的高度A（米）与物体运动的时间八秒）之间满足函数关系力=_5/+,”+丹，

其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒.设

w表示0秒到r秒时h的值的“极差”（即0秒到f秒时h的最大值与最小值的差）,则当0Wf41

时，w的取值范围是；当2"43时，w的取值范围是.

13.（2019•广西贵港•中考真题）我们定义一种新函数：形如>=辰2+辰+。|（4/0,

且4a>0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|xZ2x-3|

丫=卜2-2%-3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：：图象与坐标轴的交点为

（3,0）和（0,3）；□图象具有对称性，对称轴是直线x=l；□当-14x41或x23时，函数值V

随x值的增大而增大；口当x=-1或x=3时，函数的最小值是0；□当x=l时，函数的最大

值是4.其中正确结论的个数是.

14.（2015•吉林长春•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线

y=/-2x+2上运动，过点A作4C，x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD，连结8。,

则对角线8。的最小值为.

15.（2018•内蒙古通辽•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y（k

X

>0）的图象与半径为5的口0交于/、N两点，的面积为3.5,若动点尸在x轴上,

则PM+PN的最小值是.

16.（2021•广西柳州・统考中考真题）如图，一次函数y=2x与反比例数y=£（Z>0）的

图像交于48两点，点〃在以C（2,O）为圆心，半径为1的C上，，是4W的中点，已知

17.（2023•江苏苏州•统考一模）如图，在矩形A8CD中，DC=3,AD=^DC,尸是

AO上一个动点，过点尸作PGLAC,垂足为G,连接8尸，取BP中点E,连接EG,则线

段EG的最小值为

18.(2022•河北保定•统考三模)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，反。的

边A8垂直x轴于点B,反比例函数F=?x>0)的图像经过A。的中点C,与边A8相交于点

D,若。的坐标为(4,〃?)，AD=3.

X

(2)设点E是线段CD上的动点，过点E且平行>轴的直线与反比例函数的图像交于

点尸，贝IOEF面积的最大值是.

三、解答题

19.(2023•江苏苏州•统考一模)如图，在矩形ABC。中，AB=f),BC=W,E是A2上

HF

一点，BE=2.尸是8C上的动点，连接E尸，H是C尸上一点且二=k(%为常数，氏W0),

CF

分别过点尸，H作EF,BC的垂线，交点为G.设BF的长为x,G”的长为

(1)若x=4,y=6,则火的值是.

(2)若％=1时，求y的最大值.

(3)在点F从点8到点C的整个运动过程中，若线段AD上存在唯一的一点G,求此时k

的值.

20.(2022•四川绵阳•东辰国际学校校考模拟预测)如图，在Rt^ABC中，Z4CB=9O°,

斜边A8=8,A3经过原点。，点C在y轴的正半轴上，AC交x轴于点。，且8:43=4:3,

反比例函数)一月的图象经过“、8两点.

X

(1)求反比例函数的解析式.

(2)点尸为直线AC上一动点，求3P+OP的最小值.

21.(2022•四川成都•统考二模)已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数

y=*>0)的图象交于点4(3,4)和点8(6"),与x轴交于点C,与y轴交于点。.

(1)求反比例函数的表达式和直线A8的表达式；

(2)若在x轴上有一异于原点的点尸，使为等腰三角形，求点尸的坐标；

(3)若将线段A3沿直线y=/nr+〃(机工0)进行对折得到线段4内，且点儿始终在直线

Q4上，当线段4河与x轴有交点时，求〃的取值的最大值.

22.(2023•安徽滁州•校考一模)如图，已知抛物线？=♦+加-3经过点A(-3,0),8(1,0),

与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为该抛物线上一点，且点尸的横坐标为机.

□当点尸在直线AC下方时，过点P作PE〃x轴，交直线AC于点E,作尸F〃y轴.交

直线AC于点尸，求PE+尸尸的最大值；

「若NPC8=3NOCB,求机的值.

23.(2023•辽宁沈阳•沈阳市第一二六中学校考一模)如图，直线y=gx-2与x轴交于

点8,与y轴交于点C,抛物线y=+反+。经过仄C两点，且与x轴交于另一点4

(1)求出点8的坐标和抛物线的解析式；

(2)如图1,点尸是抛物线的顶点，连接反，FC,试求出,FBC的面积；

(3)如图2,点P是线段8c下方的抛物线上的动点(不与点2、C重合)，过尸作尸D〃y

轴交8c于点。，作PEL8C于E,尸。取得最大值时，将绕着点。旋转一周，在旋

转的过程中，点、P、D、E的对应点分别记为P、D、E,当点P，恰好落在坐标轴上时，请

直接写出相应的点E'坐标.

24.(2023•陕西西安•校考一模)如图1,矩形。叫户的一边落在矩形ABCO的一边上,

并且矩形8E尸矩形45cO,其相似比为1:4,矩形A8C0的边钙=4,BC=4B

(1)矩形。£应F的面积是;

(2)将图1中的矩形四绕点。逆时针旋转90。，若旋转过程中OF与04夹角(图2

中的NFOA)的正切的值为x,两个矩形重叠部分的面积为了，求N与x的函数关系式；

(3)将图1中的矩形°力耳"绕点。逆时针旋转一周，连接EC、EA,AACE的面积是否

存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由.

参考答案

1.B

【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q'的坐标，然后根据勾股

定理并利用二次函数的性质即可解决问题.

设Q(m，一(加+2),则PM=m-l,QM=-；m+2,

PMQ=PNQ，=QPQ'=90。，

QPM+iNPQ'=「PQN+NPQZ,

□匚QPM=「PQN,

在DPQM和匚QPN中，

ZPMQ=ZPNQ'=9a。

<NQPM=4PQ'N,

PQ=Q'P

PQM口QTN(AAS),

PN=QM=一工机+2,QrN=PM=,n-l,

0N=l+PN=3--w,

2

Q'(3—;1-m)f

OQ"=(3-L%)2+(1-m)2=-m2-5m4-10=—(m-2)2+5,

244

当m=2时，OQ，2有最小值为5,

OQ'的最小值为石，

故选：B.

【点拨】本题考查了•次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判

定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题

的关键.

2.A

【分析】作CHLN8于”交。。于E、F.当点P与E重合时，的面积最小，求

出EH、AB的长即可解决问题

解：作CHL4B于H交。。于E、F.连接8C.

,：A(4,0),B(0,3),：.OA=4,02=3,AB=S.

■:S4ABC=^AB-CH=^AC'OB,

：.AB'CH=AC-OB,.\5C//=(4+l)X3,解得：CH=3,

:.EH=3-1=2.

当点夕与E重合时，△必8的面积最小，最小值=gx5X2=5.

故选A.

【点拨】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位

置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属

于中考填空题中的压轴题.

3.A

【分析】设小防解)，B(b,为，求出N8的解析式为y=(a-')x+l，进而得到。。=1,

a

由□OCB：%呵知，C点在以OO的中点E为圆心，以r=1OD=:为半径的圆上运动，当

22

CH为圆E半径时最大，由此即可求解.

解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为〃，与x轴的交点为，

设4(a,a2),B("b2),其中存0,厚0,

OAOB,

koA，koB=7，

//

-----!-------1,

ab

即ab=—l,

设48的解析式为：y=(a--)x+m,代入｛(a,a2),

a

解得：m=\f

OD=\,

OCrABf即NOC3=90，

C点在以。0的中点E为圆心，以r=\oD=\为半径的圆上运动，

22

当C，为圆E的半径时，此时C”的长度最大，

故C”的最大值为「=；,

故选：A.

【点拨】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出力8与y轴

交点的纵坐标始终为1,结合NOCB=90,山此确定点E的轨迹为圆进而求解.

4.C

【分析】如图，过A作AM〃尤釉，交歹轴于"，过B作比＞_Lx轴，垂足为Q,交MA

于“，则？OM4?AHB90?,证明VAQMAAA"，可得=47,AM=3”，设

,则AM=/n,OM=2■认可得B：Sz+—,--m,再利用

:初"？mmmmm

勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案.

解：如图，过A作4"〃工轴，交y轴于过3作BO_L%轴，垂足为。，交于H,

则？0M4?AHB90?,

\1MOA2MAO90?,

QAO二A3,AO八AB,

\?MAO?BAH90?,

\?MOA?BAH,

\NAOM必BAH,

\OM=AH,AM=BH,

2222

一,则AM=m,OM=—,MH=m+—,BD=—m,

mmmm

优＞0,而当〃＞0,。＞0时，则4+Z?22j^,

Q

2〃广+二的最小值是8,

nr

0B的最小值是&=2&.

故选：C.

【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数

的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“〃+从22浦的变形公式”是解

本题的关键.

5.C

【分析】如图，连接BP,由反比例函数的对称性质以及三角形中位线定理可得OQ=g

BP,再根据0Q的最大值从而可确定出BP长的最大值，由题意可知当BP过圆心C时，BP

最长，过B作BDx轴于D,继而根据正比例函数的性质以及勾股定理可求得点B坐标，

再根据点B在反比例函数产七(k>0)的图象上，利用待定系数法即可求出k的值.

X

解：如图，连接BP,

由对称性得：OA=OB,

Q是AP的中点，

OQ=|BP,

0Q长的最大值为

BP长的最大值为,x2=3,

如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BDZlx轴于D,

□CP=1,

BC=2,

B在直线y=2x上，

设B(t,2t),则CD=t-(-2)=t+2,BD=-2t,

在RtZiBCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2,

22=(t+2)2+(-2t)2,

4

t=0(舍)或t=-不

B(J,]),

点B在反比例函数y=-(k>0)的图象上,

X

,48、32

k="-x(--)=—,

5525

故选C.

【点拨】本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中

位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过

点C时0Q有最大值是解题的关键.

6.B

【分析】根据AB=4,当点。到的距离最大时，&OAB面积的最大，再根据等腰直

角三角形的性质和三角形的面积公式求解，即可得出答案.

解：如图，根据题意，可得：ZAOB=45°,AB=4,

以AB为弦，所对的圆周角为45。作辅助圆，如图所示:

当点。位于优弧中点时，点。到AB的距离最大，AB为定值4,

此时面积的最大，设辅助圆的圆心为G,

ZAGB=90°,

AG=BG»AB=4，

AG=BG=2/，

点G到弦A8的距离为2，

当点。位于优弧中点时，点。到直线AB的距离为2c+2，

面积的最大值为gx4x(2夜+2)=4a+4.

故选：B

【点拨】本题考查了三角形的面积、坐标与图形、等腰直角三角形的性质，解本题的关

键在理解当点。到A3的距离最大时，QA8面积的最大.

7.B

【分析】由正方形。WC的边长是3,得到点。的横坐标和点E的纵坐标为3,求得

E(1,3),根据三角形的面积列方程得到以3,2),£(2,3),作E关于＞轴的对称点

E',连接OE交y轴于P,则DE的长=PD+PE的最小值，根据勾股定理即可得到结论.

解：•正方形Q4BC的边长是3,

点。的横坐标和点E的纵坐标为3,

LL

A0(3,-),呛3),

kk

:.BE=3-上,BD=3--,

33

・「△ODE的面积为4,

/.3x3--x3x---x3x---x(3~—)2=4,

232323

.•M=3或一3(舍去)，

0(3,1),£(1,3),

作后关于y轴的对称点色，连接交y轴于尸，则的长=叨+。£的最小值，

CE=CE'=T=AD,

:.BE'=4,BD=2,

DE'=^BE'2+BDT=V42+22=2石，

即PD+PE的最小值为2石，

故选：B.

【点拨】本题考查了反比例函数的系数%的几何意义，轴对称中最小距离问题，勾股定

理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键.

8.D

【分析】在x轴上方作等边口4。尸，证明/081口/尸。(S4S),所以点C的轨迹为定直

线CF,作点E关于直线CF的对称点£,连接C£,CE=CE,当点。、C、£•在同一条直

线上时，Z)£=8+CE的值最小，再根据勾股定理，即可解答.

解：「点B在直线丫="+2k上，

.•"(x+2)=0,

♦.MMO,

.\x-2=O.,

.•・5(-2,0),

£(-l,O),£>(-6,0),

在x轴上方作等边，AOF,

,ZCAB=ZFAO=M°,

：.ZCAB+ZBAF=ABAF+ZFAO,即NC4尸=ZBAO,

又CA=BA,AF=AO,

AOB=AFC^SAS),

:.ZAFC=ZAOB=90°,

•・•点C的轨迹为定直线CF,

作点E关于直线C尸的对称点£,连接CELCE=CE',

：.CD+CE=CD+CE',

；・当点。、C、9在同一条直线上时，DE'=CD+CE的值最小，

AF=AO=2,ZFAO=60°,ZAFG=90°,

NAG尸=30°,/G=2x2=4,EG=3,

二.(CD+CE)的最小值=£>?=J(_6-g)2+(0-1Gy=7

【点拨】本题考查最短路径，勾股定理，轴对称等知识点，解题关键是熟练掌握以上知

识点、根据条件好问题作出辅助线

9.C

【分析】根据对称轴方程求得“、b的数量关系即可判断A；根据抛物线的对称性知抛

物线与x轴的另一个交点的横坐标是3,则x=3时，尸0,得到3a+3=0,即2a+3=-a>0即可

判断B、D；利用两点间直线最短来求处8周长的最小值即可判断C.

解：A.根据图象知,对称轴是直线则4-2°,即2a+40,故A正确；

2a

B.根据图象知，点力的坐标为(10),对称轴是x=l,则根据抛物线关于对称轴对称的

性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0),

□x=3时，尸9〃+36+3=0,

口9a-6a+3=0,

3。+3=0,

□2a+3=・m

抛物线开口向下，则。<0,

2。+3=-。>0,

3

La>--,故B正确；

2

C.点4关于尸1对称的点是4(3,0),即抛物线与x轴的另一个交点,

连接8,与直线尸1的交点即为点P,

则匚R/8的周长的最小值是(8/'+48)的长度，

□4-1,0),5(0,3).4(3,0),

AB=4lO,BA'=3>[i，

即刃8周长的最小值为9+3万，故C错误；

D.根据图象知，点4的坐标为(-1,0),对称轴是尸1,则根据抛物线关于对称轴对称的

性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3.0),所以x=3是0?+法+3=0的一个根，

故D正确.

故选C.

【点拨】本题考查了二次函数综合题，涉及二次函数图象与系数的关系，二次函数图象

的性质及两点之间线段最短.解答该题时，充分利用了抛物线的对称性.

10.C

【分析】分两种情况进行讨论，即当8点在X轴上方时，作。3的外接圆P,连

接OP、AP,过点尸作PCLOA丁点C,延长CP交0P丁点夕，则点8在点E处时，8例的

值最大，先求得一。我是等边三角形，OA=4i，从而得OC=4C=；O4=3,进而由勾股

定理，得小=〃。2-"2==(,CM7OM2-OC2=；,从而求得PM=PC-CM=1,即可求

得8/0的最大值；

当8点在X轴下方时，结合中所求结果，可求得此时8M的最大值为6+2,进行

比较即可.

解：当8点在x轴上方时，作；0/8的外接圆P,连接0P、/P,过点P作PCJ_Q4

于点C,延长CP交P于点阴如图:

则点8在点夕处时，8M的值最大，理山如下：

•••点8是直角坐标系平面内一动点，且！JBO=30°,

•••APO=2ABO=60°

PO=PA,/（百,0）,

。物是等边三角形，OA=43,

•••PO=PA=OA=A

PCOA,

OC=4C二。公®,

22

"点在"C上，点5在点9处时，的值最大，

在加POC中，由勾股定理，得

PC=JP02_0C2k同_j等

连接。M,如图:

M的半径为1,

：..OM=\,

在RtZXOMC中，由勾股定理，得

221

CM=-JOM-OC二一，

2

31

：.PM=PC-CM=—-<,

22

B'M=PB'+PM=&1,

此时，3A/的最大值为6+1；

当5点在x轴卜.方时，作045的外接圆［P,连接。/、AP＞过点P作PC_LOA于

点C,延长CP交P卜点B〃,如图：

B"M=B"C+CM=舟2+'=舟2,

22

A/3+2>A/^+1,

8M的最大值为6+2.

故选：C.

【点拨】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理及等边三角形的判定及性以及平面直角

坐标系，熟练掌握垂径定理及圆周角定理是解题的关键.

11.2亘或-3

2

【分析】结合二次函数图形以及利用顶点横坐标在范围《炬什3右侧时以及顶点横坐标

在范围t<x<t+3内时和顶点横坐标在范围&S/+3左侧时，分别结合二次函数增减性求出最

值即可.

解：y—x2-2x-3=(x-1)2-4,分类讨论：

(1)若顶点横坐标在范围依什3右侧时，有f+3<1,BPt<-2,此时y随x的增大

而减小，

当x=f+3时，函数取得最小值，y即避=t=(f+3)2-2(r+3)-3,

口f=-3.

(2)若顶点横坐标在范围03+3内时，即有江13+3,

解这个不等式，即-2W出1.此时当x=1时，函数取得最小值，y麻小面=-4,

0/=-4,

不合题意.

(3)若顶点横坐标在范围依什3左侧时，即f>l时，y随x的增大而增大，

□当x=f时，函数取得最小值,y导V=产-It-3=/,解得t=3+6~或t=(舍

22

弃)，

仁.

2

故答案为：止巨或-3.

2

【点拨】本题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数的增减性等知识，利用数形

结合以及分类讨论得出是解题关键.

12.0<w<55<w<20

【分析】根据题意，得-45+3m+〃=0,4x：5）：7=20,确定小，”的值，从而确定

4x（-5）

函数的解析式，根据定义计算确定即可.

解：根据题意，得-45+3"?+〃=0,4x.5）x/「=20,

4x（-5）

M+20〃-400=0,

m2—60w+500=0，

解得”?=50,m=\0,

当m=50时，n—105；当m=10时，H=15；

抛物线与y轴交于正半轴，

□n>0,

〃=-5/+l0r+15，

对称轴为片―~<<、=1，。=-5<0,

2x（-5）

时，6随/的增大而增大，

当看1时，h最大,且%x=20（米）；当Q0时，人最最小，且如“=15（米）：

=20-15=5,

W的取值范围是04卬45,

故答案为：0Mw<5.

当2443时，卬的取值范围是

对称轴为片一。I<、=1，a=-5<0,

l<2<r<3B'j\〃随/的增大而减小，

当/=2时，/?=15米，且%*=20（米）；当片3时，分最最小，且%n=。（米）；

=2075=5,片%-%=20-0=20,

w的取值范围是54卬420,

故答案为：5<w<20.

【点拨】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性,

新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键.

13.4

【分析】由（TO）,（3,0）和（0,3）坐标都满足函数尸卜2-2》-3|,口是正确的；从图

象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线X=l,也是正确的；

根据函数的图象和性质，发现当-1WX41或X23时，函数值y随X值的增大而增大，

因此也是正确的；函数图象的最低点就是与X轴的两个交点，根据y=0,求出相应的X的

值为户-1或x=3,因此□也是正确的；从图象上看，当x<-l或x>3,函数值要大于当x=l

时的y=|d-2x-3|=4,因此□时不正确的；逐个判断之后，可得出答案.

解：（-1,0）,（3,0）和（0,3）坐标都满足函数y=,-2>3|,是正确的；

从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x=l,因此也是正

确的；

根据函数的图象和性质，发现当-14x41或X23时，函数值》随x值的增大而增大,

因此□也是正确的；

函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据>=0,求出相应的x的值为x=-1或

%=3,因此也是正确的；

从图象上看，当或x>3,函数值要大于当x=I时的y=,-2x-3|=4,因此

是不正确的；

【点拨】理解“鹊桥”函数y=|加+法+］的意义，掌握“鹊桥”函数与产辰,+法+c|与

二次函数y=o?+数+C之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；

二次函数y=or2+bx+c与X轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌

握.

14.1

【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1）,再根据矩形的性质得BD=AC,

由于4C的长等于点力的纵坐标，所以当点力在抛物线的顶点时，点4到x轴的距离最小,

最小值为1,从而得到8。的最小值.

解：口^=/-2;<:+2=(x-1)2+1,

抛物线的顶点坐标为(1，1),

匚四边形N2CZ)为矩形，

BD=AC,/Cx轴，

4C的长等于点力的纵坐标，

当点”在抛物线的顶点时，点/到x轴的距离最小，最小值为1,

对角线8。的最小值为1.

故答案为：1.

15.572

【分析】设点M(a,b),N(c,d),先求出”?+62=/+/=25,再求出

k+7

同理：bdJ也一刃,即可得出"-瓦U0,最后用两点间的距离公式即可得出结论.

k+7

解：如图，

设点M(a,b),N(c,d),

ab=k,cd=k,

点M,N在O上，

匚a2+b2=c2+d2=25,

作出点N关于x轴的对称点N(c,-d),

SAOMN=^k+y(b+d)(a-c)-yk=3.5,

be-ad=k+7,

-k-c-----k--a=A1+r7,

ac

k(c2-a2)

ac=_l______L,

k+7

同理：bd="("2：/),

k+7

,,k(c2-a2]k(b2-d2}k__

ac-bd=_\______L-______L=------[(c22+d22)-(a-9+b2)1=0,

k+7k+7k+7

M(a,b),N'(c,-d),

MN'2=(a-C)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2-2ac+2bd=a2+b2+c2+d2-2(ac-bd)=50,

MN=5应，

故答案为5&.

【点拨】本题考查了反比例函数图象与圆的综合，反比例函数图象匕点的坐标特征，同

圆的半径相等、最值问题等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活应用相关知识是

解题的关键.

，/32

16.—

25

【分析】根据题意得出ON是的中位线，所以QV取到最大值时，3M也取到最

大值，就转化为研究也取到最大值时&的值，根据B,C,M三点共线时，取得最大值，

解出B的坐标代入反比例函数即可求解.

解：连接BM,如下图：

在中，

O，N分别是的中点,

：.ON是A8W的中位线，

:.ON=-BM,

2

3

已知OV长的最大值为

此时的5M=3,

显然当B,C,M三点共线时，取到最大值：BM=3,

BM=BC+CM=BC+l=3,

.-.BC=2,

设B(r2),山两点间的距离公式：3c="”2)2+4/=2,

(r-2)2+4/2=4,

4

解得：(t=-,t2=0(取舍)，

,8

•."(不彳)，

4Rk

将8(不？代入)，=嚏仕＞0),

32

解得：k=—9

32

故答案是：—.

【点拨】本题考杳了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线

段最大值问题，解题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究BM取最大值时攵

的值.

3

17.-##0.75

4

【分析】建立如图所示的直角坐标系，求得NC4O=30。，设AP=x,求得

G：x，3-—x，利用两点间的距离公式得到EG?关于x的二次函数，利用二次函数的性质

(44}

求得EG?的最大值，据此即可求解.

解:解，在矩形ABCD中，建立平面直角坐标系，坐标原点为点8,如图，过G作GN_L5c

DC=3,AD=y/3DC,

AB=CD=3,AD=BC=>/3DC=3yf3,

CD3x/3

tanZC4D=—

AD3拒一3

ZCAD=30°.

设AP=x,

PG=二x,AG--—x>MG=—AG=-—x>AM=yfiMG=—x,

22244

GN=3-—X,

4

点E为呼的中点，

13

E-x,一,G[3X,3一且X

2244

/

f339=412-3昂+9）=；9

X-+一

T一一4~416

->0,

4

□当X=挈时，即2有最小值，最小值为斗,

216

线段EG的最小值为

4

故答案为：43­

4

【点拨】本题考查了二次函数的性质，建立坐标系，构造EG?关于x的二次函数，利用

二次函数的性质求解是解题的关键.

18.1i

-x4

【分析】(1)先确定出点Z坐标，进而得出点C坐标，将点C,。坐标代入反比例函数

中即可得出结论；

(2)由m=l,求出点C,。坐标，利用待定系数法即可得出结论，设出点E坐标，进

而表示出点尸坐标，即可建立面积与n的函数关系式即可得出结论.

解：（1）0/10=3,D（4,，〃）,

A(4,加+3),

点。是。力的中点,

〃？+3

C2,

2

点C,。在双曲线上,

X

4/77=k

c机+3.，

2x----=k

2

k=4

m=\

4

■反比例函数解析式为)，=一；

x

(2)D/w=l,

□C(2,2),D(4,1),

设直线CD的解析式为y=ax+b9

j2=2a+b

[1=4〃+/;'

1

a=——

叫2

b=3

直线CD的解析式为y=+3,

故答案为：y=-Q%+3；

C(2,2),D(4,1),

2<w<4,

4

E/一轴交双曲线>=一于用

x

小丁

EF=-^-n+3--,

2n

S^OEF=-―H4-3—）x,7=］［一］"+3〃—4）=一：（九—3）~十；

,2<n<4

〃=3时，SO■最大，最大值为!，

4

故答案为：—

4

【点拨】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解

本题的关键是建立S-OEF与〃的函数关系式.

19.⑴今⑵m⑶K

【分析】（1）先证明△BEf's△”尸G，山相似三角形的性质得到y=?（-x2+10x）,再x

与了的值代入得到关丁次的方程，求解即可；

（2）由（1）知：y=|（-x2+10x）,当上=1时，可得至iJy=-；（x-5『+g,再利用二

次函数的最值求解即可；

（3）根据题意可得V的最大值是6,再由（1）知：y=-j（x-5）2+^,根据二次函

数的最值可得%>o,当工=5时，y的最大值是手，从而得到关于人的方程，求解即可.

解：（1）解：1在矩形48co中，AB=6,BC=10,

NEBF=90。,

NBEF+NEFB=900,

FGLEF,GHIBC,

□ZFHG=ZEFG=90°,

4EBF=/FHG,NHFG+/EFB=90。,

4BEF=4HFG,

△BEFS/\HFG,

BFHG

HF

BE=2,—=设配的长为孙G"的长为八

CF

CF=BC—BF=TO—x,HF=kCF=k(10-x),

丫=专(一/+1°

x=4,y=6,

解得：k=g

故答案为：y.

(2)由(l)知：y=|(-x2+10x),

'"1％=］时，y=—^—x2+10x)=——(x—5)+-^-,

--＜0,

2

n当x=5时，y有最大值，y的最大值是三25.

y的最大值是，25.

(3)在点尸从点8到点C的整个运动过程中，若线段AD上存在唯一的一点G,

y的最大值是6,

由(1)知：y=g(—f+10x)=-g(x-5)~,

k

当一］＜0时，即攵＞0,y有最大值，

当x=5时，y的最大值是三，

25k,

——=6,

2

,12

k=—.

25

12

此时女的值为77.

【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，二次函数的最

值.根据相似三角形的性质建立y与x的函数关系式是解题的关键.

20.(13=_迈(2)4夜

X

【分析】(1)过点/作AE_Lx轴于点E,根据题意可得/、8关于原点对称，再由直角

三角形的性质可得AO=CO=BO=gAB=4,再由平行线分线段成比例可得OE=3,然后根

据勾股定理求出AE=近，可得到点力的坐