浅议向量教学应注意的问题

精品文档-下载后可编辑浅议向量教学应注意的问题向量是高中数学新课程中的重要内容。《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》)中,在必修课程(数学4)、选修课程(系列2―1)中分别设置了平面向量与空间向量的内容。笔者在新课程教师培训和实验区听课中了解到,相当一部分数学教师认为高中数学课程中的向量主要是作为解决几何问题的一种工具,以简化几何证明。因此,对于向量教学的研究主要集中于向量在解几何问题中的应用,向量教学的重点放在用向量解几何问题的技巧上。下面谈一谈向量教学中应注意的问题。

一、注重向量的代数性质及其几何意义

向量的代数性质主要表现在向量的运算及其运算律方面。运算是贯穿于中学数学中的一条主线,学生最先学习的运算是数的运算,向量的运算与数运算既有联系又有区别。例如,向量的加法运算与数的加法运算从代数运算的角度看是一致的,都是A×AA型的运算。但是,向量的加法运算的法则是三角形或平行四边形法则,这与数的加法运算的法则不同。向量的数乘运算不同于数的乘法运算,它扩展了运算的对象与运算的类型,属于A×BB型的运算。向量的数量积运算也不同于数的乘法运算,它是A×AB型的运算。

在向量的教学中,应关注运算的意义和运算律。运算与运算律赋予向量集特定的结构,产生群、线性空间、线性赋范空间等不同的数学模型。例如,向量集V对于向量的加法(+)运算满足结合律、交换律、有零元(存在零向量)、有负元(每个向量都有与其方向相反、长度相等的向量),这是构成交换群的基本性质;V中向量的加法、实数域R中的实数与向量的数乘运算满足数乘对向量加法的分配律(λ(a+b)=λa+λb)、数乘对数加法的分配律((λ+γ)a=λa+γa)、数乘运算的结合律((λγ)a=λ(γa))等,这是构成线性空间的基本性质。在教学中,应引导学生在具体运算的基础上总结这些运算律,认识这些运算律对于研究向量和运用向量解决问题以及建构数学体系的重要意义。

在向量的教学中,特别要重视向量的数乘运算、数量积运算与数的乘法运算的区别与联系,应将向量的运算及运算律与数的运算及运算律进行比较,帮助学生理解向量运算的意义及其运算律,为进一步理解其他代数运算奠定基础。例如,对于数运算来说,0是唯一的加法“零元”,1是唯一的乘法“单位元”。对于向量的加法运算来说,零向量0也是唯一的加法“零元”,对于任何向量a,0+a=a。但是向量的数乘运算与数量积运算则具有不同于数运算的运算律:对于任何向量a,0a=0,1a=a,0a=0。虽然也有单位向量的概念,但单位向量不是数量积运算的单位元,即ea≠a,而且单位向量也不唯一。若把单位向量的起点放在同一点,则所有单位向量构成一个单位圆(球);数的乘法运算满足结合律、消去律,即对于任何数a、b、c,(ab)c=a(bc),若ab=ac,且a≠0,则b=c。对于向量的数量积运算来说,(ab)c≠a(bc)。这是因为,ab,bc都是实数,(ab)c是与c方向相同或相反的向量,a(bc)是与a方向相同或相反的向量,而a与c不一定共线,即使共线,(ab)c与a(bc)也不一定相等。若向量a、b、c是三个互相垂直的非零向量,则ab=ac=0,且a≠0,但b≠c。因此,向量的数量积运算不满足结合律、消去律。在教学中,应让学生明确向量运算与数运算的这些区别,这样才能对向量运算乃至代数运算有深入的认识。

在向量的教学中,还应注意揭示向量代数性质的几何意义。向量代数性质的几何意义对于运用向量刻画几何对象是非常重要的。例如,向量数乘运算λa的几何意义是与a平行的向量,也可以表示一点和一个方向向量a所确定的直线,两个不共线向量a与b的线性组合λa+γb表示向量a与b所确定的平面。这就把向量的线性运算与直线、平面联系起来了。aa的几何意义就是向量a的长度的平方,这就把向量的数量积运算与向量的长度联系起来,从而,也就把向量的数量积运算与两点间的距离公式联系起来了。ab=0的几何意义是向量a与b垂直,这就把向量的数量积运算与向量的位置关系联系起来,从而,也就把向量的数量积运算与直线的位置关系以及点到直线的距离联系起来了。设e是单位向量,则ae表示向量a在单位向量e上的投影的长度,这就把向量的数量积运算与向量夹角的三角函数联系起来了。在教学中,应帮助学生将向量代数运算与它的几何意义联系起来,这样才能运用向量代数性质更好地刻画几何对象,从而体会代数与几何的联系。

二、关注向量在物理、数学、现代科学技术中的应用

向量在数学中有着广泛的应用,向量及其代数运算可以刻画几何对象以及几何度量问题,可以表示三角函数、证明三角函数的公式,可以表示重要的不等式。例如,向量的线性运算可以刻画直线与平面以及平行、共面等关系,向量的数量积运算可以刻画角度、长度、面积、体积等几何度量问题以及相交、垂直等关系;运用向量的数量积也可以定义三角函数(设(e1,e2)是平面上的标准正交基,a是平面上的向量,a与e1的夹角为α,则可以定义三角函数如下:

运用向量的数量积也很容易推导出两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;向量的数量积还蕴涵着一个重