【解析】广东省广州市增城区横岭学校2022-2023学年七年级（下）期中数学试卷

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广东省广州市增城区横岭学校2022-2023学年七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（2023七下·增城期中）的平方根是（）

A．6B．±6C．D．

2．（2023七下·遵义期中）下列所示的图案分别是奔驰、雪铁龙、大众、三菱汽车的车标，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（）

A．B．C．D．

3．（2023七下·增城期中）如图，小手盖住的点的坐标可能为（）

A．（5，2）B．（﹣3，﹣3）

C．（﹣6，4）D．（2，﹣5）

4．（2023七下·增城期中）估算7-的值，下列结论正确的是（）

A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间

5．（2023七下·增城期中）下列各式中，正确的是（）

A．＝±5B．C．＝2D．-=-4

6．如图，在下列条件中，能够证明AD∥CB的条件是（）

A．∠1=∠4B．∠B=∠5

C．∠1+∠2+∠D=180°D．∠2=∠3

7．（2023七下·南宁月考）下列说法中，错误的是（）

A．8的立方根是2B．的平方根是±3

C．4的算术平方根是±2D．立方根等于﹣1的实数是﹣1

8．（2023七下·增城期中）广州，美丽的羊城，没有冬季严寒，是热门旅游城市之一，经济发达，历史人文底蕴深厚．下列表示广州市地理位置最合理的是（）

A．在中国南部B．毗邻港滨

C．距离北京2000公里D．东经、北纬

9．（2023七下·乐亭期中）如图，将沿BC方向平移得到对应的．若，则的长是（）

A．B．C．D．

10．（2023七下·增城期中）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点P的坐标是（）

A．（2023，﹣1）B．（2023，0）

C．（2023，2）D．（2023，1）

二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．（2023七下·增城期中）﹣64的绝对值是．

12．（2023七下·增城期中）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C放在一起，∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°．点E在直线AC的上方，且∠ACE＜90°，当这两块三角板有一组边互相平行时，∠ACE的度数是．

13．（2023七下·增城期中）如图，在正方形的网格中建立平面直角坐标系，若B、C两点的坐标分别是，，则A点的坐标为．

14．（2023七下·增城期中）把命题“任意两个直角都相等”改写成“如果…，那么…”的形式是．

15．（2023七下·增城期中）若不等式组无解，则m的取值范围是．

16．（2023七下·增城期中）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，有A（﹣1，1），B（﹣1，﹣3）两点，点C在x轴正半轴上，且∠ACB＝45°，可求得点C的坐标为．

三、解答题（共8小题，满分72分）

17．（2022七上·招远期末）计算：

（1）；

（2）．

18．（2023七下·南宁月考）求下列各式中x的值：

（1）x2﹣25＝0；

（2）（x﹣2）3﹣8＝0．

19．（2023七下·增城期中）如图，在平面直角坐标系网格中，三角形ABC的顶点坐标分别是A（1，﹣2），B（2，1），C（﹣3，2）．将三角形ABC平移，使顶点B平移到坐标原点O处，得到三角形A1OC1．

（1）A1的坐标是，C1的坐标是；

（2）画出平移后的三角形A1OC1；

（3）P（x，y）为三角形ABC中任意一点，则平移后对应点P′的坐标为；

（4）求△A1OC1的面积．

20．（2023七下·增城期中）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．

请填空．证明：∵AF⊥CE（已知）

∴∠AOE＝90°（▲）

又，∵∠1＝∠B（已知）

∴▲（同位角相等，两直线平行）

∴∠AFB＝∠AOE（▲）

∴∠AFB＝90°（▲）

又，∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）

∴∠AFC+∠2＝（▲）°

又∵∠A+∠2＝90°（已知）

∴∠A＝∠AFC（▲）

∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）

21．（2023七下·增城期中）已知正数x的两个不同的平方根是2a+3和1﹣3a，y的立方根是﹣3，求x+y的值．

22．（2023七下·增城期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．

（1）若∠BOD＝70°，∠DOF＝90°．则∠EOF＝°；

（2）若OF平分∠COE，∠DOE＝40°，求∠BOF的度数．

23．（2023七下·增城期中）已知点P（﹣3a﹣4，2+a），解答下列各题：

（1）若点P在x轴上，则点P的坐标为；

（2）若Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为；

（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2023+2024的值．

24．（2022·深圳模拟）

（1）【问题情境】

如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．

（2）【尝试应用】

如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；

（3）【拓展提升】

如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．

①求∠DMC的度数；

②连接AC交DE于点H，直接写出的值．

答案解析部分

1．【答案】D

【知识点】平方根

【解析】【解答】解：=6，故的平方根为±.

故答案为：D.

【分析】若(±a)2=b，则±a为b的平方根，据此解答.

2．【答案】B

【知识点】图形的平移

【解析】【解答】根据平移的性质可知：

平移改变方向和距离，

所以B选项可以看作由“基本图案”经过平移得到.

故答案为：B.

【分析】根据一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案.即可判断.

3．【答案】D

【知识点】点的坐标与象限的关系

【解析】【解答】解：由数轴可得：小手盖住的点位于第四象限，则（2，-5）可能为小手盖住的点.

故答案为：D.

【分析】由数轴可得：小手盖住的点位于第四象限，然后根据第四象限内的点：横坐标为正，纵坐标为负进行判断.

4．【答案】A

【知识点】估算无理数的大小

【解析】【解答】解：∵90可得x>2，

∵不等式组无解，

∴m≤2.

故答案为：m≤2.

【分析】首先求出不等式2x-4>0的解集，然后根据不等式组解集的确定方法“大于大的，小于小的”无解可得m的范围.

16．【答案】（1+，0）

【知识点】点的坐标；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质

【解析】【解答】解：过M作ME⊥AB于点E，过M作MD⊥x轴于点D，设AB与x轴的交点为F，连接MA、MB、MC，

∵A（-1，1），B（-1，-3），

∴AB=4，AB∥y轴，AF=OF=1，

∴∠EFD=90°.

∵∠MEF=∠MDF=90°，

∴四边形MEFD为矩形，

∴EF=MD，ME=DF.

∵MA=MB，

∴ME=AE=AB=2，

∴EF=AE-AF=1，OD=DF-OF=ME-OF=1，

∴M（1，-1）.

∵A=（-1，1），

∴AM==，

∴MC=MA=.

∵∠MDC=90°，MD=1，

∴CD==，

∴OC=OD+CD=1+，

∴C（1+，0）.

故答案为：（1+，0）.

【分析】过M作ME⊥AB于点E，过M作MD⊥x轴于点D，设AB与x轴的交点为F，连接MA、MB、MC，由点A、B的坐标可得AB=4，AB∥y轴，AF=OF=1，易得四边形MEFD为矩形，则EF=MD，ME=DF，由等腰三角形的性质可得ME=AE=AB=2，然后求出EF、OD的值，表示出点M的坐标，利用勾股定理求出AM，即为CM，然后利用勾股定理求出CD，再求出OC，据此可得点C的坐标.

17．【答案】（1）解：原式

（2）解：原式

【知识点】实数的运算；二次根式的性质与化简

【解析】【分析】（1）先利用二次根式和立方根的性质化简，再计算即可；

（2）先利用二次根式和立方根的性质化简，再计算即可。

18．【答案】（1）解：x2﹣25＝0

x2=25

x=±5，

∴x的值为5或-5

（2）解：∵（x﹣2）3﹣8＝0，

∴（x﹣2）3=8

∴x-2=2，

解之：x=4

【知识点】平方根；立方根及开立方

【解析】【分析】（1）先移项，再利用正数的算术平方根有两个，它们互为相反数，可求出x的值.

（2）先移项，再利用立方根的性质，可求出方程的解.

19．【答案】（1）（﹣1，﹣3）；（﹣5，1）

（2）如图，△A1OC1即为所求；

（3）（x﹣2，y﹣1）

（4）的面积.

【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；用坐标表示平移

【解析】【解答】解：（1）∵B（2，1），O（0，0），

∴平移步骤为：先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度.

∵A（1，-2），C（-3，2），

∴A1（1-2，-2-1），即为（-1，-3），A1（-3-2，2-1），即为（-5，1）.

故答案为：（-1，-3），（-5，1）.

（3）∵平移步骤为：先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，P（x，y），

∴P′（x-2，y-1）.

【分析】（1）根据点B、O的坐标可得：平移步骤为先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，据此不难得到A1、C1的坐标；

（2）根据点A1、C1的坐标找出相应的位置，然后顺次连接即可得到△A1OC1；

（3）根据平移步骤可得点P′的坐标；

（4）利用方格纸的特点及割补法，用△A1OC1外接矩形的面积分别减去周围三个三角形的面积，即可求出△A1OC1的面积.

20．【答案】证明：∵AF⊥CE（已知），

∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．

又∵∠1＝∠B（已知），

∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），

∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），

∴∠AFB＝90°（等量代换）．

又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），

∴∠AFC+∠2＝90°．

又∵∠A+∠2＝90°（已知），

∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：垂直的定义；CE∥BF；已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；同角的余角相等．

【知识点】平行线的判定与性质

【解析】【分析】根据垂直的定义可得∠AOE＝90°，由已知条件可知∠1＝∠B，推出CE∥BF，根据平行线的性质可得∠AFB＝∠AOE=90°，结合平角的概念可得∠AFC+∠2＝90°，由已知条件可知∠A+∠2＝90°，则∠A＝∠AFC，然后根据平行线的判定定理进行解答.

21．【答案】解：∵正数x的两个平方根分别是2a+3和1﹣3a，

∴2a+3+1﹣3a＝0，

a＝4，

∴x＝（2×4+3）2＝121，

∵y的立方根是﹣3，

∴y＝（﹣3）3＝﹣27，

∴x+y＝121﹣27＝94．

【知识点】平方根；立方根及开立方

【解析】【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数结合题意可得2a+3+1-3a=0，求出a的值，然后求出x的值，根据立方根的概念可得y的值，接下来根据有理数的加法法则进行计算.

22．【答案】（1）55

（2）∵OE平分∠BOD，

∴∠BOE＝∠DOE＝40°＝∠BOD，

∴∠BOD＝2∠DOE＝80°，

∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣40°＝140°，

∵OF平分∠COE，

∴∠COF＝∠EOF＝∠COE＝×140°＝70°，

∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE

＝70°﹣40°

＝30°．

【知识点】角的运算；角平分线的定义

【解析】【解答】解：（1）∵∠BOD＝70°，∠DOF＝90°，

∴∠BOF-∠DOF-∠BOD=20°.

∵∠BOD＝70°，OE平分∠BOD，

∴∠BOE=∠BOD=35°，

∴∠EOF=∠BOF+∠BOE=20°+35°=55°.

故答案为：55.

【分析】（1）根据角的和差关系可得∠BOF-∠DOF-∠BOD=20°，由角平分线的概念可得∠BOE=∠BOD=35°，然后根据∠EOF=∠BOF+∠BOE进行计算；

（2）由角平分线的概念可得∠BOD＝2∠DOE＝80°，由平角的概念可得∠COE的度数，由角平分线的概念可得∠COF＝∠EOF＝∠COE＝70°，然后根据∠BOF＝∠EOF-∠BOE进行计算.

23．【答案】（1）（2，0）

（2）（5，﹣1）

（3）根据题意可得：﹣3a﹣4＝﹣2﹣a，

解得：a＝﹣1，

∴﹣3a﹣4＝﹣1，2+a＝1，

∴（﹣1，1）在第二象限，

把a＝﹣1代入a2023+2024＝2023．

【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系

【解析】【解答】解：（1）∵点P在x轴上，

∴2+a=0，

解得a=-2，

∴-3a-4=2，

∴P（2，0）.

故答案为：（2，0）.

（2）∵Q（5，8），PQ∥y轴，

∴-3a-4=5，

解得a=-3，

∴2+a=-1，

∴P（5，-1）.

故答案为：（5，-1）.

【分析】（1）x轴上的点，纵坐标为0，则2+a=0，求出a的值，进而可得点P的坐标；

（2）平行于y轴上的点：横坐标相同，则-3a-4=5，求出a的值，进而可得点P的坐标；

（3）由题意可得-3a-4=-2-a，求出a的值，据此求解.

24．【答案】（1）证明：方法1，平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示：

由平移的性质得：FG∥BH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，

∴四边形BFGH是平行四边形，

∴BH＝FG，

∵FG⊥AE，

∴BH⊥AE，

∴∠BKE＝90°，

∴∠KBE+∠BEK＝90°，

∵∠BEK+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠CBH，

在△ABE和△BCH中，

∴△ABE≌△BCH（ASA），

∴AE＝BH，

∴AE＝FG；

方法2：平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示：

则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，

∴FH＝BC，∠FHG＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABE＝90°，

∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG，

∵FG⊥AE，

∴∠HFG+∠AKF＝90°，

∵∠AEB+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠HFG，

在△ABE和△FHG中，

∴△ABE≌△FHG（ASA），

∴AE＝FG；

（2）解：将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示：

∴∠AOC＝∠FDC，

设正方形网格的边长为单位1，

则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，

由勾股定理可得：CF＝，CD＝，DF＝，

∵

∴CF2+CD2＝DF2，

∴∠FCD＝90°，

∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝；

（3）解：①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示：

则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形，

∴DC＝GB，

∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，

∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°

∴DC＝AD＝AP＝GB，

∴AG＝BP＝BE，

在△AGD和△BEG中，

∴△AGD≌△BEG（SAS），

∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，

∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，

∴∠EGD＝90°，

∴∠GDE＝∠GED＝45°，

∴∠DMC＝∠GDE＝45°；②

【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合

【解析】【解答】(3)②如图3﹣2所示：

∵AC为正方形ADCP的对角线，

∴AD＝CD，∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，

∴△ACD是等腰直角三角形，

∴AC＝AD，

∵∠HCM＝∠BCA，

∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，

∴△ADH∽△ACB，

∴

【分析】（1）方法1：由平移的性质得：FG∥BH，得出四边形BFGH是平行四边形，证出△ABE≌△BCH（ASA），得出AE＝BH，即可得出结论；方法2：平移线段BC至FH交AE于点K，则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，证出△ABE≌△FHG（ASA），即可得出结论；

（2）将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，设正方形网格的边长为单位1，则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，由勾股定理可得出CF的值，推出CF2+CD2＝DF2，

由tan∠AOC＝tan∠FDC＝即可得解；

（3）①平移线段BC至DG处，连接GE，由SAS证出△AGD≌△BEG，得出DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，证明∠EGD＝90°，得出∠GDE＝∠GED＝45°，即可得解；②证出△ACD是等腰直角三角形，再利用相似证出△ADH∽△ACB，即可得解。

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广东省广州市增城区横岭学校2022-2023学年七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（2023七下·增城期中）的平方根是（）

A．6B．±6C．D．

【答案】D

【知识点】平方根

【解析】【解答】解：=6，故的平方根为±.

故答案为：D.

【分析】若(±a)2=b，则±a为b的平方根，据此解答.

2．（2023七下·遵义期中）下列所示的图案分别是奔驰、雪铁龙、大众、三菱汽车的车标，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】图形的平移

【解析】【解答】根据平移的性质可知：

平移改变方向和距离，

所以B选项可以看作由“基本图案”经过平移得到.

故答案为：B.

【分析】根据一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案.即可判断.

3．（2023七下·增城期中）如图，小手盖住的点的坐标可能为（）

A．（5，2）B．（﹣3，﹣3）

C．（﹣6，4）D．（2，﹣5）

【答案】D

【知识点】点的坐标与象限的关系

【解析】【解答】解：由数轴可得：小手盖住的点位于第四象限，则（2，-5）可能为小手盖住的点.

故答案为：D.

【分析】由数轴可得：小手盖住的点位于第四象限，然后根据第四象限内的点：横坐标为正，纵坐标为负进行判断.

4．（2023七下·增城期中）估算7-的值，下列结论正确的是（）

A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间

【答案】A

【知识点】估算无理数的大小

【解析】【解答】解：∵90可得x>2，

∵不等式组无解，

∴m≤2.

故答案为：m≤2.

【分析】首先求出不等式2x-4>0的解集，然后根据不等式组解集的确定方法“大于大的，小于小的”无解可得m的范围.

16．（2023七下·增城期中）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，有A（﹣1，1），B（﹣1，﹣3）两点，点C在x轴正半轴上，且∠ACB＝45°，可求得点C的坐标为．

【答案】（1+，0）

【知识点】点的坐标；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质

【解析】【解答】解：过M作ME⊥AB于点E，过M作MD⊥x轴于点D，设AB与x轴的交点为F，连接MA、MB、MC，

∵A（-1，1），B（-1，-3），

∴AB=4，AB∥y轴，AF=OF=1，

∴∠EFD=90°.

∵∠MEF=∠MDF=90°，

∴四边形MEFD为矩形，

∴EF=MD，ME=DF.

∵MA=MB，

∴ME=AE=AB=2，

∴EF=AE-AF=1，OD=DF-OF=ME-OF=1，

∴M（1，-1）.

∵A=（-1，1），

∴AM==，

∴MC=MA=.

∵∠MDC=90°，MD=1，

∴CD==，

∴OC=OD+CD=1+，

∴C（1+，0）.

故答案为：（1+，0）.

【分析】过M作ME⊥AB于点E，过M作MD⊥x轴于点D，设AB与x轴的交点为F，连接MA、MB、MC，由点A、B的坐标可得AB=4，AB∥y轴，AF=OF=1，易得四边形MEFD为矩形，则EF=MD，ME=DF，由等腰三角形的性质可得ME=AE=AB=2，然后求出EF、OD的值，表示出点M的坐标，利用勾股定理求出AM，即为CM，然后利用勾股定理求出CD，再求出OC，据此可得点C的坐标.

三、解答题（共8小题，满分72分）

17．（2022七上·招远期末）计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）解：原式

（2）解：原式

【知识点】实数的运算；二次根式的性质与化简

【解析】【分析】（1）先利用二次根式和立方根的性质化简，再计算即可；

（2）先利用二次根式和立方根的性质化简，再计算即可。

18．（2023七下·南宁月考）求下列各式中x的值：

（1）x2﹣25＝0；

（2）（x﹣2）3﹣8＝0．

【答案】（1）解：x2﹣25＝0

x2=25

x=±5，

∴x的值为5或-5

（2）解：∵（x﹣2）3﹣8＝0，

∴（x﹣2）3=8

∴x-2=2，

解之：x=4

【知识点】平方根；立方根及开立方

【解析】【分析】（1）先移项，再利用正数的算术平方根有两个，它们互为相反数，可求出x的值.

（2）先移项，再利用立方根的性质，可求出方程的解.

19．（2023七下·增城期中）如图，在平面直角坐标系网格中，三角形ABC的顶点坐标分别是A（1，﹣2），B（2，1），C（﹣3，2）．将三角形ABC平移，使顶点B平移到坐标原点O处，得到三角形A1OC1．

（1）A1的坐标是，C1的坐标是；

（2）画出平移后的三角形A1OC1；

（3）P（x，y）为三角形ABC中任意一点，则平移后对应点P′的坐标为；

（4）求△A1OC1的面积．

【答案】（1）（﹣1，﹣3）；（﹣5，1）

（2）如图，△A1OC1即为所求；

（3）（x﹣2，y﹣1）

（4）的面积.

【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；用坐标表示平移

【解析】【解答】解：（1）∵B（2，1），O（0，0），

∴平移步骤为：先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度.

∵A（1，-2），C（-3，2），

∴A1（1-2，-2-1），即为（-1，-3），A1（-3-2，2-1），即为（-5，1）.

故答案为：（-1，-3），（-5，1）.

（3）∵平移步骤为：先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，P（x，y），

∴P′（x-2，y-1）.

【分析】（1）根据点B、O的坐标可得：平移步骤为先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，据此不难得到A1、C1的坐标；

（2）根据点A1、C1的坐标找出相应的位置，然后顺次连接即可得到△A1OC1；

（3）根据平移步骤可得点P′的坐标；

（4）利用方格纸的特点及割补法，用△A1OC1外接矩形的面积分别减去周围三个三角形的面积，即可求出△A1OC1的面积.

20．（2023七下·增城期中）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．

请填空．证明：∵AF⊥CE（已知）

∴∠AOE＝90°（▲）

又，∵∠1＝∠B（已知）

∴▲（同位角相等，两直线平行）

∴∠AFB＝∠AOE（▲）

∴∠AFB＝90°（▲）

又，∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）

∴∠AFC+∠2＝（▲）°

又∵∠A+∠2＝90°（已知）

∴∠A＝∠AFC（▲）

∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）

【答案】证明：∵AF⊥CE（已知），

∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．

又∵∠1＝∠B（已知），

∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），

∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），

∴∠AFB＝90°（等量代换）．

又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），

∴∠AFC+∠2＝90°．

又∵∠A+∠2＝90°（已知），

∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：垂直的定义；CE∥BF；已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；同角的余角相等．

【知识点】平行线的判定与性质

【解析】【分析】根据垂直的定义可得∠AOE＝90°，由已知条件可知∠1＝∠B，推出CE∥BF，根据平行线的性质可得∠AFB＝∠AOE=90°，结合平角的概念可得∠AFC+∠2＝90°，由已知条件可知∠A+∠2＝90°，则∠A＝∠AFC，然后根据平行线的判定定理进行解答.

21．（2023七下·增城期中）已知正数x的两个不同的平方根是2a+3和1﹣3a，y的立方根是﹣3，求x+y的值．

【答案】解：∵正数x的两个平方根分别是2a+3和1﹣3a，

∴2a+3+1﹣3a＝0，

a＝4，

∴x＝（2×4+3）2＝121，

∵y的立方根是﹣3，

∴y＝（﹣3）3＝﹣27，

∴x+y＝121﹣27＝94．

【知识点】平方根；立方根及开立方

【解析】【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数结合题意可得2a+3+1-3a=0，求出a的值，然后求出x的值，根据立方根的概念可得y的值，接下来根据有理数的加法法则进行计算.

22．（2023七下·增城期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．

（1）若∠BOD＝70°，∠DOF＝90°．则∠EOF＝°；

（2）若OF平分∠COE，∠DOE＝40°，求∠BOF的度数．

【答案】（1）55

（2）∵OE平分∠BOD，

∴∠BOE＝∠DOE＝40°＝∠BOD，

∴∠BOD＝2∠DOE＝80°，

∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣40°＝140°，

∵OF平分∠COE，

∴∠COF＝∠EOF＝∠COE＝×140°＝70°，

∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE

＝70°﹣40°

＝30°．

【知识点】角的运算；角平分线的定义

【解析】【解答】解：（1）∵∠BOD＝70°，∠DOF＝90°，

∴∠BOF-∠DOF-∠BOD=20°.

∵∠BOD＝70°，OE平分∠BOD，

∴∠BOE=∠BOD=35°，

∴∠EOF=∠BOF+∠BOE=20°+35°=55°.

故答案为：55.

【分析】（1）根据角的和差关系可得∠BOF-∠DOF-∠BOD=20°，由角平分线的概念可得∠BOE=∠BOD=35°，然后根据∠EOF=∠BOF+∠BOE进行计算；

（2）由角平分线的概念可得∠BOD＝2∠DOE＝80°，由平角的概念可得∠COE的度数，由角平分线的概念可得∠COF＝∠EOF＝∠COE＝70°，然后根据∠BOF＝∠EOF-∠BOE进行计算.

23．（2023七下·增城期中）已知点P（﹣3a﹣4，2+a），解答下列各题：

（1）若点P在x轴上，则点P的坐标为；

（2）若Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为；

（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2023+2024的值．

【答案】（1）（2，0）

（2）（5，﹣1）

（3）根据题意可得：﹣3a﹣4＝﹣2﹣a，

解得：a＝﹣1，

∴﹣3a﹣4＝﹣1，2+a＝1，

∴（﹣1，1）在第二象限，

把a＝﹣1代入a2023+2024＝2023．

【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系

【解析】【解答】解：（1）∵点P在x轴上，

∴2+a=0，

解得a=-2，

∴-3a-4=2，

∴P（2，0）.

故答案为：（2，0）.

（2）∵Q（5，8），PQ∥y轴，

∴-3a-4=5，

解得a=-3，

∴2+a=-1，

∴P（5，-1）.

故答案为：（5，-1）.

【分析】（1）x轴上的点，纵坐标为0，则2+a=0，求出a的值，进而可得点P的坐标；

（2）平行于y轴上的点：横坐标相同，则-3a-4=5，求出a的值，进而可得点P的坐标；

（3）由题意可得-3a-4=-2-a，求出a的值，据此求解.

24．（2022·深圳模拟）

（1）【问题情境】

如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．

（2）【尝试应用】

如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；

（3）【拓展提升】

如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．

①求∠DMC的度数；

②连接AC交DE于点H，直接写出的值．

【答案】（1）证明：方法1，平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示：

由平移的性质得：FG∥BH，

∵四边形ABCD是