湖南省湘潭市长丰中学高三数学文下学期期末试题含解析

湖南省湘潭市长丰中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P－ABCDEF，则此正六棱锥的体积为（

）A.2

B.4

C.8

D.12参考答案：B2.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有A.

12种

B.

18种

C.36种

D.

54种参考答案：B3.在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝（

）A.12

B.16

C.20

D.24参考答案：B由等差数列的性质“m＋n＝i＋j，m，n，i，j∈N*，则am＋an＝ai＋aj”，得a4＋a8＝a2＋a10＝16.4.已知函数f（x）=，若f（2﹣a）=1，则f（a）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2参考答案：A【考点】3T：函数的值．【分析】当2﹣a≥2，即a≤0时，22﹣a﹣2﹣1=1，从而f（a）=f（﹣1）=﹣2；当2﹣a＜2时，得a=﹣，不成立，由此能求出结果．【解答】解：当2﹣a≥2，即a≤0时，22﹣a﹣2﹣1=1，解得a=﹣1，则f（a）=f（﹣1）=﹣log2[3﹣（﹣1）]=﹣2，当2﹣a＜2，即a＞0时，﹣log2[3﹣（2﹣a）]=1，解得a=﹣，舍去．∴f（a）=﹣2．故选：A．5.将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是（）A．1 B． C． D．参考答案：B【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】求出三封信件投入两个邮箱的所有种数，求出每个邮箱都有信件的种数，然后求解概率．【解答】解：三封信件投入两个邮箱的所有种数：23=8．每个邮箱都有信件的种数：C32?A22=6．将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是：．故选：B．6.已知,则是不等式对任意的恒成立的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略7.2008年春节前我国南方经历了50年一遇的罕见大雪灾，受灾人数数以万计，全国各地都投入到救灾工作中来，现有一批救灾物资要运往如右图所示的灾区，但只有4种型号的汽车可以进入灾区，现要求相邻的地区不要安排同一型号的车进入，则不同的安排方法有

（

）A．112种

B．120种

C．72种

D．

56种参考答案：答案：C8.是经过双曲线焦点且与实轴垂直的直线,是双曲线的两个顶点,若在上存在一点,使,则双曲线离心率的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A考点：双曲线的几何性质及运用.【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和基本不等式的综合运用，属于难题．本题利用双曲线的几何特征,建立关于为变量的正切函数的函数关系式，通过计算求得,即,由此计算得双曲线的离心率．9.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为（A）1

（B）

（C）

（D）参考答案：A10.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}中，a1=a2=1，且an+2﹣an=1，则数列{an}的前100项和为．参考答案：2550【考点】数列的求和．【分析】an+2﹣an=1，可得数列{an}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为1．又a1=a2=1，分组利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：an+2﹣an=1，可得数列{an}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为1．又a1=a2=1，∴S100=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）=50×1++50×1+=2550．故答案为：2550．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.计算：

参考答案：略13.设曲线在点处的切线为,曲线在点

处的切线为.若存在,使得,则实数的取值范围为

▲

．参考答案：函数的导数为,的斜率为,函数的导数为的斜率为,由题设有从而有

因为问题转化为求的值域,所以.

14.设集合

，则集合中元素的最小值是

．

参考答案：15.已知等比数列中，，则______．参考答案：由，可得.16.已知函数是定义在上的奇函数，对都有成立，当且时，有。给出下列命题

(1)

(2)在[-2，2]上有5个零点

(3)

点(2014，0)是函数的一个对称中心

(4)直线是函数图象的一条对称轴．则正确的是

参考答案：(1)(2)(3)略17.已知变量满足约束条件，则的最大值是

．参考答案：9三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图（1）所示，已知四边形SBCD是由直角△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中∠SAB=∠SDC=90°，且点A为线段SD的中点，AD=2DC=1，AB=SD，现将△SAB沿AB进行翻折，使得二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，得到的图形如图（2）所示，连接SC，点E、F分别在线段SB、SC上．（Ⅰ）证明：BD⊥AF；（Ⅱ）若三棱锥B﹣AEC的体积是四棱锥S﹣ABCD体积的，求点E到平面ABCD的距离．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出SA⊥AD，SA⊥AB，从而SA⊥平面ABCD，进而SA⊥BD，再求出AC⊥BD，由此得到BD⊥平面SAC，从而能证明BD⊥AF．（Ⅱ）设点E到平面ABCD的距离为h，由VB﹣AEC=VE﹣ABC，且=，能求出点E到平面ABCD的距离．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形SBCD是由直角△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中∠SAB=∠SDC=90°，二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，∴SA⊥AD，又SA⊥AB，AB∩AD=A，∴SA⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，∴SA⊥BD，在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AD=2CD=1，AB=2，∴tan∠ABD=tan∠CAD=，又∠DAC+∠BAC=90°，∴∠ABD+∠BAC=90°，即AC⊥BD，又AC∩SA=A，∴BD⊥平面SAC，∵AF?平面SAC，∴BD⊥AF．解：（Ⅱ）设点E到平面ABCD的距离为h，∵VB﹣AEC=VE﹣ABC，且=，∴===，解得h=，∴点E到平面ABCD的距离为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查等体积法的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．19.某小区想利用一矩形空地建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，，且中，，经测量得到．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点作一条直线交于，从而得到五边形的市民健身广场．（Ⅰ）假设，试将五边形的面积表示为的函数，并注明函数的定义域；（Ⅱ）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．参考答案：解：（Ⅰ）作GH⊥EF，垂足为H，因为，所以，因为所以，所以

过作交于T，则，所以由于与重合时，适合条件，故,（Ⅱ），所以当且仅当，即时，取得最大值2000，答：当时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为．略20.（本小题满分14分）已知函数.（1）若，使,求实数的取值范围;（2）设,且在上单调递增,求实数的取值范围.参考答案：解（1）解：由,，得,使，………3分所以，或；

………7分（2）解：由题设得

………10分或

………13分

或

………14分

略21.已知函数f（x）=（m+2cos2x）?cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中m∈R，θ∈（0，π）（Ⅰ）求函数f（x）的图象的对称中心和单调递增区间（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f（+）=﹣，c=1，ab=2，求△ABC的周长．参考答案：【考点】复合函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理．【分析】（Ⅰ）把x=代入函数解析式可求得m的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得函数解析式，进而可得函数f（x）的图象的对称中心和单调递增区间（Ⅱ）由f（+）=﹣可得C角，结合余弦定理及c=1，ab=2，可得△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）f（）=﹣（m+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴m+1=0，即m=﹣1，∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（m+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．故f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x?（﹣sin2x）=﹣sin4x，由4x=kπ，k∈Z得：x=kπ，k∈Z，故函数f（x）的图象的对称中心坐标为：（kπ，0），k∈Z，由4x∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[+kπ，+kπ]，k∈Z，即函数f（x）的单调递增区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，（Ⅱ）∵f（+）=﹣sin（2C+）﹣，C为三角形内角，故C=，∴c2=a2+b2﹣2abcosC==，∵c=1，ab=2，∴a+b=2+，∴a+b+c=3+，即△ABC的周长为3+．22.（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，AC交BD于O，H为线段PC上一点．（1）证明：平面BHD⊥平面PAC；（2）若OH⊥PC，PC与底面ABCD所成的角为45°，求三棱锥H﹣BCD的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AC⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面BHD⊥平面PAC．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥H﹣BCD的体积．【解答】证明：（1）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，AC交BD于O，∴AC⊥BD，PA⊥BD，∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD?平面BHD，∴平面BHD⊥平面PAC．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵PC与底面ABCD所成的角为45°，∴PA=AC==2，∴O（1，1