概率专题历年高考真题汇总

概率专题历年高考真题汇总1.为了调查某地区中小学生的视力情况，需要从不同学段的学生中进行抽样。已知小学、初中、高中三个学段的学生视力情况差异较大，而男女生间视力情况差异不大。因此，最合理的抽样方法是按学段分层抽样。选C。2.有3名志愿者需要完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作只能由1人完成。不同的安排方式共有36种。解法一：将三人分成两组，一组为三个人，有3种可能；两组前后在排序，在对位找工作即可，有2种可能；共计有36种可能。解法二：工作分成三份有6种可能，在把三组工作分给3个人有6种可能，共计有36种可能。选D。3.陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23。在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为1/15。选C。4.图中正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率为1/π。解法：设正方形边长为2，则圆半径为1，则正方形的面积为4，圆的面积为π，图中黑色部分的面积为2π，故此点取自黑色部分的概率为2π/4=1/π。选B。5.文章中没有第五题。下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域记为构成事件A的区域长度面积或体积。试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为$p_1$，$p_2$，$p_3$，则（）解析：设$BC=r_1$，$AB=r_2$，$AC=r_3$。$r_1=r_2+r_3$，$S_1=11\times4r_1r_2=2r_2r_3$，$S_3=\pir_1^2-2r_2r_3$，$S_2=\pir_2^2+\pir_3^2-S_3=\pir_1^2-\pir_2^2-\pir_3^2+2r_2r_3=2r_2r_3$。$S_1=S_2$，$\thereforep_1=p_2$，故选A。我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23。在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）解析：30以内的素数有10个，满足和为30的素数对有3对，概率为$\frac{3}{\binom{10}{2}}=\frac{3}{45}=\frac{1}{15}$，选C。某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为$p$，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，$D_X=2.4$，$P(X=4)<P(X=6)$，则$p=$（）解析：由$X\simB(10,p)$，$\thereforeD_X=10p(1-p)=2.4$，$\therefore10p-10p+2.4=0$，解之得$p_1=0.4$，$p_2=0.6$，由$P(X=4)<P(X=6)$，有$p=0.6$，选B。安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）解析：第一项工作有3种选择，第二项工作有2种选择，第三项工作有1种选择，第四项工作只能由剩下的人完成，有3种选择。共有$3\times2\times1\times3=18$种不同的安排方式，选B。3.有三个人A、B、C，分别要从12个工作中选择一个工作，每个工作只能由一个人担任。问有多少种不同的选择方案？解法一：先选出一个人担任工作，有3种选择，然后第二个人有11个工作可选，第三个人有10个工作可选，所以总方案数为$3\times11\times10=330$。解法二：将三个人分成两组，一组有两个人，一组有一个人。先选出一个人担任工作，有3种选择，然后从另外两个人中选出一个人来担任剩余的工作，有2种选择，最后剩下的那个人担任最后一个工作，只有1种选择。所以总方案数为$3\times2\times1=6$。但是这样的方案数会重复计算，因为两个人的组合有$C_3^2=3$种，所以实际方案数为$\dfrac{6}{3}=2$。每个方案中，有两个人的选择方案数为$11\times10=110$，有一个人的选择方案数为$12$，所以总方案数为$2\times(110\times12)=2640$。所以正确答案为$\boxed{330}$。10.从区间$[0,1]$随机抽取$2n$个数$x_1,x_2,\ldots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_n$，构成$n$个数对$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$，其中两数的平方和小于$1$的数对共有$m$个，则用随机模拟的方法得到的圆周率$\pi$的近似值为（）。题目中的数对$(x_i,y_i)$在如图所示方格中，而平方和小于$1$的点都在图中的阴影部分中。[asy]size(5cm);draw((-1.2,0)--(1.2,0),Arrow);draw((0,-1.2)--(0,1.2),Arrow);draw(Circle((0,0),1));filldraw(arc((0,0),(0,1),(-1,1))--cycle,gray(0.7));draw((-1.2,1)--(1.2,1),dashed);draw((-1.2,-1)--(1.2,-1),dashed);draw((1,-1.2)--(1,1.2),dashed);draw((-1,-1.2)--(-1,1.2),dashed);label("$1$",(1.2,0),E);label("$-1$",(0,-1.2),S);label("$1$",(0,1.2),N);label("$-1$",(-1.2,0),W);label("$O$",(0,0),N);[/asy]由于圆的面积为$\pi$，半径为$1$，所以圆的面积为$\pi$。正方形的面积为$4$，而阴影部分的面积为$\dfrac{m}{n}\times4$，因为平方和小于$1$的点在阴影部分中，所以$\dfrac{m}{n}\times4$也是圆的面积。所以有$\pi=\dfrac{m}{n}\times4$，即$m=\dfrac{\pin}{4}$。所以正确答案为$\boxed{\textbf{(C)}4m/n}$。动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）。A.12种B.10种C.9种D.8种解析：先从2名教师中选1名，有C(2,1)种选法；再从4名学生中选2名，有C(4,2)种选法。因此，每个小组有C(2,1)×C(4,2)种不同的组合方案。由于两个小组是相互独立的，所以总共的方案数为C(2,1)×C(4,2)×C(1,1)×C(2,2)=12种。因此，答案为A。18.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为多少？解析：每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为P=3/9=1/3，故选A.19.从2名女生，4名男生中选3人参加科技比赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有多少种？解析：方法一：一类：1名女生，2名男生，则有C(2,1)*C(4,2)种；二类：2名女生，1名男生，则有C(2,2)*C(4,1)种；共有C(2,1)*C(4,2)+C(2,2)*C(4,1)=16种.方法二：共有C(6,3)=20种选法，没有女生的选法有C(4,3)=4种，故至少有1名女生的选法的种数C(6,3)-C(4,3)=16种.20.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数为D，求D的期望值。解析：随机变量X∽B(100,0.02)，D(X)=np(1-p)=1.96.21.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是多少？解析：由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足；若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，故甲（1，3）.22.从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为1/14，则n=多少？解析：两数之和等于5的取法有(1,4)，(2,3)，共有C(n,2)种取法，故概率为2/C(n,2)，解得n=8.23.（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正