电磁场与微波技术+课件(黄玉兰)

第1章矢量分析第1章矢量分析

矢量代数1.1矢量场的散度1.2矢量场的旋度1.3标量场的梯度1.4亥姆霍兹定理1.5常用坐标系

1.6矢量代数1.1矢量场的散度1.2矢量场的旋度1.3标量场

如果在空间的一个区域中，每一点都有一个物理量的确定值与之对应，则在这个区域中就构成了该物理量的场。场的一个重要属性是它占有一个空间，它把物理量用空间和时间的数学函数来描述。标量场在数学上只用一个代数变量描述，只有大小，没有方向。矢量场不仅需要定出大小，而且需要定出方向。如果在空间的一个区域中，每一点都有一个物理量的确定1.1矢量代数

矢量既有大小，又有方向。矢量A可以表示为A=eAA，其中A表示矢量A的大小，eA表示矢量A的方向。1.1矢量代数矢量既有大小，又有方向。矢量

A=exAx+eyAy+ezAz

(1.1)

由式(1.1)可以看出，一个矢量场对应三个标量场。

A=exAx+eyAy+ezA

1.1.1矢量的加法和减法两个矢量相加，等于两个矢量相应的分量分别相加，它们的和还是一个矢量。如图1.1(b)所示。A+B=ex(Ax+Bx)+ey(Ay+By)+ez(Az+Bz)(1.4)1.1.1矢量的加法和减法

两个矢量相减，等于两个矢量相应的分量分别相减，它们的差依旧是一个矢量。如图1.1(c)所示。A-B=A+(-B)=ex(Ax-Bx)+ey(Ay-By)+ez(Az-Bz)(1.5)两个矢量相减，等于两个矢量相应的分量分别相

图1.1矢量加减法图1.1矢量加减法

1.1.2标量与矢量相乘标量k与矢量A相乘，结果是A的方向未变，大小改变了k倍，

kA=eAkA=exkAx+eykAy+ezkAz(1.6)1.1.2标量与矢量相乘

1.1.3矢量的点积矢量A与矢量B的点积，写成A·B，它的结果是一个标量，其大小等于两个矢量的大小与它们夹角θ余弦的乘积，如图1.2所示，表示为

A·B=ABcosθ(1.7a)A·B=AxBx+AyBy+AzBz(1.7b)1.1.3矢量的点积

图1.2点积的图示图1.2点积的图示

1.1.4矢量的叉积矢量A矢量B的叉积，写成A×B，它的结果是一个矢量，其大小等于两个矢量的大小与它们夹角θ正弦的乘积，其方向垂直于矢量A与矢量B组成的平面(符合右手螺旋法则)，如图1.3所示，表示为

A×B=enABsinθ(1.8a)1.1.4矢量的叉积

图1.3叉积的图示及右手螺旋

exeyez

A×B=AxAyAz(1.8c)BxByAz

例1.1已知A=ex3+ey4+ez2,B=ex2+ey4+ez7,求:（1）A·B;(2)A与B的夹角;(3)A×B。解（1）A·B=AxBx+AyBy+AzBz=3×2+4+4+2×7=36例1.1已知A=ex3+ey4+ez2,B=ex

(2)

A·B36cosθ==≈0.80AB32+42+2222+42+72

(2)

(3)exeyez

A×B=AxAyAzBxByAz(3)

=ex(4×7－2×4)+ey(2×2－3×7)+ez(3×4－4×2)=ex20－ey17+ez4=ex(4×7－2×4)+ey(2×2－3×7)1.2矢量场的散度1.2.1矢量场的矢量线矢量场A可以用画图的方式描述，称为矢量场的矢量线（也叫做力线、流线、通量线等）图。矢量线图上每一点处的切线应当是该点矢量场的方向，如图1.4（a）所示。1.2矢量场的散度1.2.1矢量场的矢量线

图1.4矢量场的矢量线图图1.4矢量场的矢量线图

1.2.2矢量场的通量面元矢量dS定义为

dS=en

dS(1.12)1.2.2矢量场的通量

图1.5矢量的通量图图1.5矢量的通量图

1.2.3矢量场的散度散度的定义设有矢量场A，在场中任一点P处做一个包含该点的闭合面S，设闭合面S所包围的体积为Δτ。当体积Δτ以任意方式缩向点P时，每单位体积由闭合面S向外穿出的净通量为矢量场A在该点的散度，即1.2.3矢量场的散度

SA·dSdivA=lim(1.16)Δ

0Δ∮ττ

于是得到A的散度在直角坐标系中的计算公式为于是得到A的散度在直角坐标系中的计算公式为

n的取向有两种情形：一种是面元dS为开表面，这个开表面由一条闭合曲线C围成，选择C的环行方向后，按右手螺旋法则，螺旋前进的方向为en的方向；另一种是面元dS为闭合面上的一个面元，则en

取闭合面的外法线方向。n的取向有两种情形：一种是面元dS为开表

通量=∫S|A|cosθdS=∫SA·dS(1.13)在直角坐标系中，∫S·dS=∫S(exAx+eyAy+ezAz)·(exdSx+eydSy+ezdSz)=∫S(AxdSx+AydSy+AzdSz)通量=∫S|A|cosθdS=∫SA·dS

散度的定义：设有矢量场A，在场中任一点P处作一个包含该点的闭合面S，设闭合面S所包围的体积为。当体积以任意方式缩向点P时，每单位体积由闭合面S向外穿出的净通量为矢量场A在该点的散度，即1.2.3矢量场的散度1.2.3矢量场的散度

(1.16)

于是得到A的散度在直角坐标系中的计算公式为

(1.17)于是得到A的散度在直角坐标系中的计算公式为

为了方便，我们引入一个矢量微分算子，称为哈密顿算子，它在直角坐标系表示为

(1.18)为了方便，我们引入一个矢量微分算子，称为哈

(1.19)

例１.２已知矢量场

求：（1）（2）计算通量。积分区域为闭合面Ｓ，Ｓ为一个球心在原点、半径为的球面。例１.２已知矢量场

解（1）

（2）的方向与的方向相同，所以有：解（1）

1.2.4散度定理散度定理也称高斯散度定理，表示为

(1.20)

式中积分区域为闭合面S所包围的体积，并假设A及其一阶导数连续。

1.2.4散度定理

例1.3已知现有一个边长为1的单位立方体，它的一个顶点在原点，如图1.7所示。

例1.3已知

图1.7例1.3图图1.7例1.3图

求：（1）矢量场的散度；（2）计算通量，积分区域为如图所示的单位立方体；（3）验证高斯散度定理。求：

解（1）解（1）

（2）A从单位立方体内穿出的通量为分三对面分别计算。（2）A从单位立方体内穿出的通量为

（3）

因此，，高斯散度定理成立。（3）1.3矢量场的旋度1.3.1矢量场的环流设某矢量场A绕着场中某闭合路径C的线积分为

(1.21)上述线积分称为该矢量场A的环流。1.3矢量场的旋度1.3.1矢量场的环流

称为线元矢量，线元矢量既有大小，也有方向。称为线元矢量，线元矢量既有大小，也

1.3.2矢量场的旋度

A的旋度，记为或。

(1.22)式中为矢量在面元矢量上的投影，如图1.8所示。1.3.2矢量场的旋度

图1.8在面元上的投影

图1.8在面元上的投影

(1.24)

旋度有一个重要的性质，就是它的散度恒等于0。

(1.25)

1.3.3斯托克斯定理在矢量分析中，除散度定理外，另一个重要的定理是斯托克斯定理，即

(1.26)式中积分区域面S的外围线为C。1.3.3斯托克斯定理

例1.4已知。现有一个在面内的闭合路径C，此闭合路径由和之间的一段抛物线和两段平行于坐标轴的直线组成，如图1.9所示。例1.4已知。现有

图1.9例1.4图图1.9例1.4图

求：（1）矢量场的A旋度；（2）计算环流。积分区域为如图所示的闭合路径C；（3）验证斯托克斯定理。求：

解（1）解（1）

（2）（2）

（3）斯托克斯定理成立。（3）1.4标量场的梯度

标量场是仅用大小就能完全表征的场。为了研究标量场的空间分布和变化规律，引入等值面、梯度和方向导数的概念。1.4标量场的梯度标量场是仅用大小就能完

1.4.1标量场的等值面等值面就是标量函数相等的点构成的曲面，如图1.10（a）所示。等值面画在二维平面上就成为等值线，例如在地图上的等高线就是等值线，如图1.10（b）所示。1.4.1标量场的等值面

图1.10标量场图图1.10标量场图

1.4.2标量场的梯度

(1.27)而矢量为

(1.28)称为标量场的梯度，也可用表示。梯度是与等值面垂直的一个矢量，是沿等值面法向的变化率。1.4.2标量场的梯度1.4.3标量场的方向导数

为沿方向的变化率，称为标量场沿方向的方向导数。

(1.29)1.4.3标量场的方向导数

例1.5已知标量场。求空间一点A（1,0,1）的梯度和沿方向的方向导数。

例1.5已知标量场

解由梯度公式(1.28)有解由梯度公式(1.28)有

方向的单位矢量为方向的单位矢量为

故沿方向的方向导数为故沿方向的方向导数为

梯度有一个重要的性质，就是它的旋度恒等于0。

(1.30)在直角坐标系中

(1.31)梯度有一个重要的性质，就是它的旋度恒等于0。1.5亥姆霍兹定理

亥姆霍兹定理在空间有限区域内有一矢量场F，若已知它的散度、旋度和边界条件，则该矢量场就唯一确定了。换言之，一个矢量场所具有的特性完全由它的散度和旋度确定。1.5亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理在空间有限

如果一个矢量场的旋度为0，则称为无旋场；如果一个矢量场的散度为0，则称为无散场。矢量场的散度对应标量源，称为发散源；矢量场的旋度对应矢量源，称为旋涡源。对于一个无旋场，可以表示为一个标量场的梯度，这一原则将标量场与矢量场联系了起来。如果一个矢量场的旋度为0，则称为无旋场；如果一个矢1.6常用坐标系1.6.1直角坐标系（1.35）（1.36）1.6常用坐标系1.6.1直角坐标系

（1.37）（1.38）

1.6.2圆柱坐标系图1.15圆柱坐标系1.6.2圆柱坐标系图1.15圆柱坐标系

（1.47）

（1.48）